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1、二分图匹配二分图匹配培训专用Bi-partite graph二分图的定义：二分图是这样的一个图，它的顶点可以分为两个集合X和Y。所有的边关联的两个顶点中，恰好一个属于集合X，一个属于集合Y。123456二分图的匹配：给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。培训专用二分图的最大匹配定义：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。如右图所示：蓝色部分就构成一个最大匹配，同时它也是一个完美匹配完美匹配：如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。培训专用二分图的最大匹配匈牙利算法（时间复杂度O(nm)）其思想是用宽度优先搜索来找增
2、广路径（和floodfill算法类似转化为单位容量简单网络的最大流问题在二分图的基础上，加入源点s和汇点t，让s与每个X结点连一条边，每个Y结点和t连一条边，所有弧的容量为1。这样，饱和弧就对应着匹配边。培训专用二分图的最大匹配匈牙利算法：寻找增广路：初始时最大匹配为空for二分图左半边的每个点ido从点i出发寻找增广路径如果找到，则把它取反（即增加了总了匹配数）。看一道例题：PKU1469培训专用PKU 1469一共有N个学生跟P门课程,一个学生可以任意选一门或多门课,问是否达成:1.每个学生代表的都是不同的课（如果一个学生选修的那门课，那么他就可以代表这门课）2.每门课都有一个代表培训专用
3、PKU1469输入为:PN(课程数跟学生数)接着有P行,格式为Countstudentistudenti+1studentcount(Count表示对课程1感兴趣的学生数,接着有Count个学生)如第一行212表示学生1跟学生2对课程1感兴趣输出为:若每门课都能找到一位代表则输出”YES”,否则为”NO”培训专用PKU1469假如有三个学生跟三门课程,学生1,2,3.为了跟学生区分,假设3个课程为4,5,6左边节点是学生,右边节点是课程,下图表示,学生1对课程4,5感兴趣,学生2对课程5,6感兴趣,学生3对课程6感兴趣123456于是问题就变为在二分图中寻找最大匹配,只要这个最大匹配大于或等于
4、课程数P,那么就达到要求了.培训专用寻找最大匹配的匈牙利算法流程首先我们先看节点1,寻找下一条边,假设找到节点5,因为1跟5都还没匹配,所以找到一个匹配.标记,xM1=5,yM5=1;123456假如我们用xM数组表示左边节点对其右边节点的匹配,yM表示右边节点对其左边节点的匹配,初始化为-1;现在重点看节点3,当寻找下一条边时,如图中的蓝边,我们发现节点6的yM6=2;已经匹配了.此时我们就转到节点6的匹配点2上去,发现节点2的另一条边2-5中节点5也已经匹配了,yM5=1;继续转到节点1,发现节点1的边1-4中节点4还没匹配.于是我们找到了一个增广路径增广路如图中箭头所增广路如图中箭头所示
5、示培训专用123456把图中红色线去掉蓝色线加上123456123456找到一个更好的匹配更改各自的匹配点培训专用总结所以流程就是:1,对于一个未匹配的节点u,寻找它的每条边,如果它的边上的另一个节点v还没匹配则表明找到了一个匹配,直接转步骤4;2,假如节点u它边上的另一个节点v已经匹配,那么就转向跟v匹配的节点,假设是w,然后再对w重复1,2的步骤,即寻找增广路.3,假如我们在1,2步过程中找到一条增广路,那么修改各自对应的匹配点,转步骤4,若无增广路,则退出.4,匹配数+1;培训专用最小点覆盖最小覆盖：最小覆盖要求用最少的点（集合或集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少
6、的点（即覆盖数）最大匹配数M简单的证明如下：（1）M个是足够的。只需要让它们覆盖最大匹配的M条边，则其它边一定被覆盖（如果有边e不被覆盖，把e加入后得到一个更大的匹配）（2）M个是必需的，仅考虑形成最大匹配的这M条边，由于它们两两之间没有公共点，因此至少需要M个点才可以把它们覆盖培训专用PKU 3041:(类似的有PKU3020)问题:假如你现在正处在一个N*N的矩阵中,这个矩阵里面有K个障碍物,你拥有一把武器,一发弹药一次能消灭一行或一列的障碍物,求最小的弹药消灭全部障碍物输入为:N K接下来有K行,每行包含障碍物的坐标,即r行c列;如:3 4 1 11 32 23 2 输出为:花费最小的弹
7、药数培训专用PKU3041对于上面那个数据我们可以用下面的表示,0表示无障碍物,1表示有;1 0 10 1 00 1 0首先,我们利用行跟列做二分图:123123行列如果第i行的第j列有障碍物,则在图中左边的i行连一条边到右边的j列,上面的数据就对应左图于是问题就转化成最小点覆盖的问题.求最大匹配即可.培训专用PKU2226现在我们看一道构图比较复杂的题：PKU2226培训专用DAG图的最小路径覆盖用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个：结点集中的i和Y结点集中的i,如果有边i-j，
8、则在二分图中引入边i-j，设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m记住一个重要的结论：DAC图的最小路径覆盖数=节点数(n)-最大匹配数看一道例题：PKU1422培训专用PKU1422 有一个城镇，它的所有街道都是单行的，并且每条街道都是和两个路口相连。同时已知街道不会形成回路。你的任务是编写程序求最小数量的伞兵，这些伞兵可以访问（visit）所有的路口。对于伞兵的起始降落点不做限制。Input:33 41 32 3Output:2培训专用132412344321培训专用二分图的最大独立集最大独立集问题：在个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边求m最大值记住一个重要的结论：二分图的最大
9、独立集数=节点数(n)-最大匹配数培训专用黑色点即为一个最大独立集可以这样理解，在总的点集中，去掉最少的点，使得剩下的点相互之间没有边。用最少的点去覆盖所有的边，也就是最小覆盖。培训专用二分图最优匹配又称带权最大匹配。二分图的每条边带有权值。求一个匹配使得匹配边上的权值和最大。一般X和Y集合顶点个数相同，最优匹配也是一个完备匹配，即每个顶点都被匹配。如果个数不相等，可以通过补点加0边实现转化。最小？看一道例题：PKU2195培训专用PKU2195题意：有N个人跟N个房子,每个人跟房子都有一定的距离,现在要让这N个人全部回到N个房子里面去,要求所有人回去的距离最短.现在我们假设要求的是最大距离.
10、那么就是求最大权匹配.下面我们先介绍一下KM算法培训专用KM算法基本概念：可行顶标和相等子图可行顶标：L是一个关于结点的函数，L(x)是顶点x对应的顶标值。可行顶标对于图中的每条边(x,y)都有L(x)+L(y)=w(x,y)相等子图：只包含L(x)+L(y)=w(x,y)的边的子图培训专用KM算法定理：如果一个相等子图中包含完备匹配，那么这个匹配就是最优匹配证明：由于在算法过程一直保持顶标的可行性，所以任意一个匹配的权值和肯定小于等于所有结点的顶标之和，则相等子图中的完备匹配肯定是最优匹配培训专用KM算法算法流程设顶点Xi的顶标为ai，顶点Yi的顶标为bi.初始时，ai为与Xi相关联的边的最
11、大权值，bj=0，保证ai+bj=w(i,j)成立.当相等子图中不包含完备匹配时，就适当修改顶标以扩大相等子图，直到找到完备匹配为止.修改顶标的方法培训专用KM算法当从Xi寻找增广路失败后，得到一棵交错树，它的所有叶子节点都是X节点，对交错树中X顶点的顶标减少d值，Y顶点的顶标增加d值，对于图中所有的边(i,j)，可以看到i和j都不在交错树中，边(i,j)仍然不属于相等子图i和j都在交错树中，边(i,j)仍然属于相等子图i不在交错树中，j在交错树中，ai+bj扩大，边(i,j)不属于相等子图培训专用KM算法i在交错树,j不在交错树中,边(i,j)有可能加入到相等子图中为了使ai+bj=w(i,
12、j)始终成立,且至少有一条边加入到相等子图中,d=minai+bj-w(i,j),i在交错树中,j不在交错树中培训专用假设有3个人,我们弄个简化版的.每个人与家的距离如下图第一个人到家1,2,3的距离为3,5,4,第二个人只能到家1,2距离为2,4,第三个人只能到家3,距离为7;345247manhome123321培训专用345247manhome123321改变a,b后345247manhome123321ab437010重新匹配左节点2找到增广路b010345247manhome123321a437对左节点3进行匹配培训专用345247manhome123321ab43701034524
13、7manhome123321ab336011找到最优匹配345247manhome123321改变a,bab336011重新匹配左节点3,找到增广路培训专用回到例题:PKU2195题目是说有N个人跟N个房子,每个人跟房子都有一定的距离,现在要让这N个人全部回到N个房子里面去,要求所有人回去的距离最短.那么求的就是最小权匹配了,那么如果我们把所有边的权值取反,如图所示,求其最大匹配,那么结果就是我们要的了.问题解决.345247manhome123321-3-4-5-2-4-7manhome123321培训专用练习题Pku2239,2536Pku3041,1325,2226pku1466Pku1
14、422,2594pku2195培训专用THE END培训专用演讲完毕，谢谢观看！培训专用内容总结二分图匹配。二分图是这样的一个图，它的顶点可以分为两个集合X和Y。完美匹配：如果所有点都在匹配边上，称这个最大。匹配是完美匹配。（即增加了总了匹配数）。一共有N个学生跟P门课程,一个学生可以任意选一门或多门课,问是否达成:。1.每个学生代表的都是不同的课（如果一个学生选修的那门课，那么他就可以代表这门课）。PN(课程数跟学生数)。(Count表示对课程1感兴趣的学生数,接着有Count个学生)。于是问题就变为在二分图中寻找最大匹配,只要这个最大匹配大于或等于课程数P,那么就达到要求了.。假如我们用xM数组表示左边节点对其右边节点的匹配,。yM表示右边节点对其左边节点的匹配,初始化为-1。最小覆盖：最小覆盖要求用最少的点（集合或集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）最大匹配数M。只需要让它们覆盖最大匹配的M条边，则其它边一定被覆盖（如果有边e不被覆盖，把e加入后得到一个更大的匹配）。（2）M个是必需的，仅考虑形成最大匹配的这M条边，由于它们两两之间没有公共点，因此至少需要M个点才可以把它们覆盖。接下来有K行,每行包含障碍物的坐标,即r行c列。覆盖所有的边，也就是最小覆盖培训专用