2015北京中考数学试卷.pdf

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1、2015年北京市中考数学试卷一、选 择 题（本题共30分，每小题3 分）下面各题均有四个选项，其中只有 一.个.是符合题意的1.截止到2015年 6 月 1 日，北京市已建成34个地下调蓄设施,蓄水能力达到140000立方米，将 140000用科学记数法表示应为（）A.14xl04 B.1.4xl05 C.1.4xl06 D.14xl062.实数a,b,c,d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）abed-1-_-3-2-1 0 1 2 3 4A.a B.b C.c D.d3.一个不透明的盒子中装有3 个红球，2 个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机

2、摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）A.1 B.1 C.1 D.26 3 2 35.如图，直线h，12,5 交于一点，直线14h，若Nl=124。,Z2=88,则N 3 的度数为（）A.26 B.36C.46D.566.如图，公路AC,BC互相垂直，公路A B的中点M 与点C 被湖隔开.若测得AM 的长为 1.2km,则 M,C 两点间的距离为（）BA.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）7.某市6 月份日平均气温统计如图所示,8.如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、

3、y 轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0,-1）,表示九龙壁的点的坐标为（4,1）,则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）C.保 和 殿（1,0）B.养 心 殿（-2,3）D.武 英 殿（-3.5,-4）9.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠:会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A 类5025B 类20020C 类40015例如，购买A 类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25x20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于4555次之间，则最省钱的方式为（）A.购买A 类会员年卡C.购买C 类会员年卡B.购买B 类会员年卡D.不购买会员年卡1

4、0.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的A B,B C,C A,O A,O B,O C组成.为记录寻宝者的行进路线，在B C的中点M处放置了 一 台定位仪器.设寻宝者行进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）D.C玲B玲。考点：动点问题的函数图象.分析：根据函数的增减性：不同的观察点获得的函数图象的增减性不同，可得答案.解答：解：A、从A点到O点y随x增大一直减小到0,故A不符合题意；B.从B到A点y随x的增大先减小再增大，从A到C点y随x的增大先减小再增大，但在A点距离最大，故B

5、不符合题意；C.从B到O点y随x的增大先减小再增大，从。到C点y随x的增大先减小再增大，在B、C点距离最大，故C符合题意；D.从C到M点y随x的增大而减小，-直到y为0,从M点到B点y随x的增大而增大，明显与图象不符，故D不符合题意；故选：C.二、填填空题（本题共1 8分，每小题3分）1 1.（3 分）分解因式：5 x，-3x?+5 x=因（x -1）2 .1 2.如图是由射线A B,B C,C D,D E,E A组成的平面图形，则Nl+N2+/3+/4+N5=_36 01 3.九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，

6、方程术是 九章算术 最高的数学成就.九章算术中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问：牛、羊各直金几何？译 文：假设有5头牛、2只羊，值 金1 0两；2头牛、5只羊，值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为_15x+2y=10_.2x+5y=81 4 .关于x的一元二次方程a x 2+bx+3=0有两个相等的实数根，写出组满足条件的实数a,4b 的值：a=4 ,b=2 .1 5 .北 京 市 2 009 -2 01 4 年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2 01 5 年北京市轨道交通日均客运量约 鳖

7、 万人次，你的预估理由是 根据2 009-2 01 1 年呈直线上升，故 2 01 3-2 01 5 年 也 呈 直 线 上 升.日均客运量万人次1 6 .阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分级己知：线段月5.小芸的作法如F：如 图，)(1)分别 以 点/和 点5为圆心，大 于!4 3的长为半径作孤，两弧相交于C,D两 点；A-(2)作直线CD./C-老师说：小芸的作法正确.”请回答：小芸的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上三、解答题(本题共72分，第 1726题，每小题5 分，第 27题 7 分，第 28题 7 分，第29题 8 分

8、)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 7.(5 分)计 算：(工)一 2 -(n-+|J3-2|+4 s i n 6 0.218.(5 分)已知 2a?+3 a -6=0.求代数式 3 a (2a+1)-(2a+l)(2a -1)的值.4（x+1）7x+1019.解不等式组，x-8 ，并写出它的所有非负整数解.x 5 ；.AD=AC=C D,AACD是等边三角形；(2)解：连接O E,过 O 作 ONLAD于 N,由(1)知，4A C D 是等边三角形,ZDAC=60VAD=AC,CDAB,A ZDAB=30,，BE=1AE,ON=1AO,设。O 的半径为：r,.ON=JT,AN=DN

9、=&,2 2 2 2；.EN=2+亚 r，B E=tA E=Fr+2,2 2 2在 R(ADEF 与 RtABEO 中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2,即 勺）2+（孚）学+（冶+2）2）2+25=28,.0E=2VT.25.（5 分）（2015北京）阅读下列材料:2015年清明小长假，北京市属公园开展以 清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次.其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满

10、园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高.2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增长了 25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013年清明小长假增加了 4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次.2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9万人次.根据以上材料解答下列问题：（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为3 万人次；（2）选择统

11、计表或统计图，将 2013-2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来.26.（5 分）有这样一个问题：探究函数y=&2+l的图象与性质.2 x小东根据学习函数的经验，对函数y=1？+的图象与性质进行了探究.2 x下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数v=l?+工的自变量X的 取 值 范 围 是 X W 0；2 x（2）下表是y 与 x 的几组对应值.X-3-2-1.12.131312123y2532_ 12-158.53 55181817T3252m求 m 的值;（3）如图，在平面直角坐标系x O y 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画

12、出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1,心），结合函数的图2象，写出该函数的其它性质（一条即可）该函数没有最大值.1-I 1 I I I)To 1 x解答：解：X H 0,(2)令 x=3,y=i 32+=m=2 3 2 3 6 6(3)如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值；该函数在x=0处断开；该函数没有最小值；该函数图象没有经过第四象限.故答案为该函数没有最大值.点评：本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键.2 7.（7分）（2 01 5 北京）在平面直角坐标系x O y 中，过 点（0,

13、2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x -1 交于点A,点 A关于直线x=l 的对称点为B,抛物线C i：y=x2+b x+c 经过点A,B.(1)求点A,B 的坐标；(2)求抛物线C i的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线C2：y=ax2(a/0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围.1-1 _I _I _I _0 1 x考点：二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式.分析：(1)当 y=2时，则 2=x-1,解得x=3,确定A(3,2),根据A B 关于x=l对称，所以 B(-1,2).(2)把(3,2),(-2,2)代入抛物线 C i：y=x?+bx+c 得2=9

14、+3b+c,求出 b,c 的 2=1 -b+c值，即可解答；(3)画出函数图象，把 A,B 代入y=ax2,求出a 的值，即可解答.解答：解：(1)当 y=2时，则 2=x-1,解得：x=3,.A(3,2),.点A 关于直线x=l的对称点为B,AB(-1,2).(2)把(3,2),(-2,2)代入抛物线 C i：y=x?+bx+c 得：(2=9+3 b+c 砧俎 f b=-2 .2 0.解得：.y=x-2x-1.2=1 -b+c c=-1顶点坐标为(1,-2).(3)如图，当 C2过 A 点，B 点时为临界，9代入 B(-1,2),则 a(-1)2=2,解得：a=2,看a 2点评：本题考查了二

15、次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题.28.(7 分)(2015北京)在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点 P 在射线CD h(与点 C、D 不重合)，连接A P,平移A A D P,使点D 移动到点C,得到a B C Q,过点Q 作QH_LBD 于 H,连接 AH,PH.(1)若点P 在线段CD上，如 图 1.依题意补全图1;判断AH与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明；(2)若点P 在线段C D 的延长线上，且NAHQ=152。，正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)考点：四边形综合题.分析：(1)根据题意画出图形即

16、可；连接C H,先根据正方形的性质得出DHQ是等腰直角三角形，再由SSS定理得出 H D PA H Q C,故 PH=CH,Z H P C-Z H C P,由正方形的性质即可得出结论；(2)根据四边形ABCD是正方形，QHLBD可知ADFIQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出PD=CQ.作 H R PC 于点R,由NAHQ=152。，可得出NAHB及NDAH的度数，设 D P=x,贝 ijDR=HR=RQ,由锐角三角函数的定义即可得出结论.解答：解：(1)如图1；如图1,连接CH,.四边形 ABCD 是正方形，QH1BD,.,.ZHDQ=45,.DHQ是等腰直角三角形.；DP=CQ,在HDP

17、与AHQC中.DH=QHPH=CH，.HDPAHQC(SSS),DP=QC.PH=CH,ZHPC=ZHCP.BD是正方形ABCD的对称轴，；.AH=CH,ZDAH=ZHCP,ZAHP=I8O-ZADP=90,.AH=PH,AHPH.(2)如图2,四边形 ABCD 是正方形，QHBD,ZHDQ=45,/.DHQ是等腰直角三角形.BCQ 由4ADP 平移而成，；.PD=CQ.作 HRPC 于点 R,ZAHQ=152,；./AHB=62。，.,.ZDAH=17.1-y设 D P=x,则 DR=HR=RQ=Jt.1-tanl70.x=-l+tanl71-x：tan 17=强，IP tan 17=,CR

18、 1+x点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中.29.（8 分）（2015北京）在平面直角坐标系xOy中，O C 的半径为r,P 是与圆心C 不重合的点，点 P 关于。C 的反称点的定义如下：若在射线C P上 存 在 点 P ,满足CP+CP，=2r,则称P为点P 关于。C 的反称点，如图为点P 及其关于。C 的反称点P的示意图.特别地，当点P 与圆心C 重合时，规定CP=0.（1）当。O 的半径为1 时.分别判断点M（2,1）,N（卫，0）,T（1,遥）关于。O 的反称点是否存在？若存在，2求其坐标；点 P 在直线y=-x+

19、2上，若点P 关于。的反称点P 存在，且点P 不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；(2)0 c 的圆心在x 轴上，半径为1,直线y=-近 x+2jW与x 轴、y 轴分别交于点A,B,3若线段A B 上存在点P,使得点P关于。C 的反称点P 在。C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围.考点：圆的综合题.分析：(I)根据反称点的定义，可得当。的半径为1时，点 M(2,I)关于。的反称点不存在；N(20)关于。的反称点存在，反称点N(X 0)；T(1,V 3)2 2关于。的反称点存在，反称点T(0,0)；由OP42r=2,得出O P?,设 P(x,-x+2),由勾股定理得出Op2=x?+(-

20、x+2)2=2x2-4x+44,解不等式得出0 x2.再分别将x=2与 0 代入检验即可；(2)先由y=-2 +2 行,求出 A(6,0),B(0,2如),则络ZOBA=60,30 BZOAB=30.再设C(x,0),分两种情况进行讨论：C 在 OA上；C 在 A 点右侧.解答：解：(1)当。O 的半径为1时.点M(2,1)关于。的反称点不存在；N(至，0)关于。O 的反称点存在，反称点N(X 0)；2 2T(1,V 3)关于。O 的反称点存在，反称点T，(0,0)；:OP42r=2,OP2 4,设 P(X,-x+2),/.OP2=x2+(-x+2)2=2X2-4x+44,.2x2-4x40,

21、x(x-2)0,.0 x2.当 x=2时，P(2,0),P(0,0)不符合题意；当 x=0时，P(0,2),P(0,0)不符合题意；.,.0 x2；(2)I.直线y=-Y3X+2A/酋 x 轴、y 轴分别交于点A,B,3.A(6,0),B(0,2 M),:.四M，.,.ZOBA=60,ZOAB=30.O B设 C(x,0).当C在0A上时，作C H _ L A B于H,则C H S C P S 2 r=2,所以A C 4,C点横坐标X 2 2 （当x=2时，C点 坐 标（2,0）,H点的反称点H （2,0）在圆的内部）；当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为A C长，A C最大值为2,所以C点横坐标x 8.综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2 x 8.点评：本题是圆的综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，特殊角的三角函数值,勾股定理，一元二次不等式的解法，利用数形结合、正确理解反称点的意义是解决本题的关键.