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1、2020-2021 学年广东省惠州市高二上学期期末数学试题一、单选题1已知函数fxlnx，则f e（）A0答案：D结合求导公式即可.解：f x故选：D2圆x2 y2 2和圆x2 y26y 5 0的位置关系为（）A相交答案：A写出圆心坐标和半径，求出圆心距即可得出两圆的位置关系.解：设圆x2 y2 2的圆心为P(0,0)，半径r12，圆x2 y26y 5 0即x2(y3)2 4，设其圆心Q(0,3)，半径r2 2，圆心距PQ 3，r1r2 22 3,r1r2 22 3，所以两圆相交.故选：A【点睛】此题考查两圆的位置关系，关键在于准确写出圆心坐标和半径大小，通过圆心距与半径之和及半径之差的绝对值
2、之间的大小关系判断位置关系.3将甲、乙两个篮球队 5 场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是A甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙B甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C甲队得分的方差大于乙队得分的方差D甲乙两队得分的极差相等B内含C相离D外切11，则f e，exB1Ce1De答案：C由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案解：x甲2628293131282932313029；x乙30，x甲 x乙，A 错误；55甲的中位数是 29，乙的中位数是 30，2930,B 错误；甲的极差为 31265，乙的极差为 32284，5 4，D 错误；排除可得 C 选
3、项正确，故选 C【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.4某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试，先将 700 个零件进行编号，001，002，699，700.从中抽取 70 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第6 个样本编号是（）A623答案：AB328C253D530结合随机数表的读法即可.解：读取数据如下所示：从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，得到的数据中两个超出范围，一个数字重复，所以抽取的 6 个样本编号分别是：253、313
4、、457、007、328、623，则得到的第 6 个样本编号是 623，故选：A.5已知函数f(x)是定义域为 R 上的可导函数，则“f(x)在x 1处取得极值”是f(1)0的（）A充分而不必要条件C充要条件答案：A由f(x)在x 1处取得极值 f 1 0，f1 0推不出f(x)在x 1处取得极值，即可得出结论B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解：解：f(x)在x 1处取得极值 f 1 0，但是f1 0推不出f(x)在x 1处取得极值，“f(x)在x 1处取得极值”是“f1 0”的充分而不必要条件故选：A【点睛】本题以简易逻辑为载体考查了极值取得的条件，属于基础题6从抛物线y2 4x上一
5、点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为M且PM 5，设抛物线的焦点为 F，则MPF的面积为A6答案：D解：设P(x0,y0),则由|PM|=5,可知x01 5,x0 4,P(4,4),SMPF7下列说法中正确的是（）A若事件 A 与事件 B 是互斥事件，则P(A)P(B)1；B若事件 A 与事件 B 满足条件：P(AB)P(A)P(B)1，则事件 A 与事件 B 是对立事件；C一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件；D把红、橙、黄、绿4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4 人，每人分得 1 张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件答案：D解
6、：试题分析：此题主要考查事件的关系与运算，互斥事件其含义是事件 A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生，即AB；对立事件的含义是事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，AB为不可能事件，且AB为必然事件，即PAB 0且PA B1故选 D【易错点晴】此题主要考查事件间的互斥与对立关系，需要对互斥事件与对立事件的定义作充分的理解，否则极易出错，属于 容易 题互 斥事件 是指 在一 次试验 中不能 同时 发生 的两个 事件，有公 式：11PM y054 10.22B8C15D10PAB PAPB，对立事件是指在一次试验中不能同时发生，且在试验中仅有这两个基本事件，有公式：PAB
7、 PA PB122xy8已知F1c,0，F2c,0是椭圆C:221a b 0的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使ab得PF1PF2 c2，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）35A3,3答案：B32B,323C3 1,22,1D2设点 P 的坐标，根据题意构造齐次方程，计算即可.22x0y0解：设Px0,y0，则221ab0，ab2x0y b12，a202由PF1PF2 c2，c x0,y0c x0,y0 c，22x02化为x c y c，x b12 2c，a202202202a2整理得x 23c2a2，c20a20 x a，023c2a2a2，c202解得32，e 32故选：B二、多选题9已知
8、双曲线C上的点到2,0和2,0的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是（）y21AC的标准方程为x 32BC的渐近线方程为y 2xD圆x2 y2 4与C恰有两个公共点CC的焦点到渐近线的距离为3答案：AC根据定义求出曲线C的标准方程，可判断 A 选项的正误；求出双曲线C的渐近线方程，可判断 B选项的正误；求出C的焦点到渐近线的距离，可判断C 选项的正误；联立圆与曲线C的方程，求出交点个数，可判断 D 选项的正误.y21，A 正确；解：根据双曲线的定义，c 2，2a 2，得a 1，b 3，所以C的方程为x 32双曲线 C 的渐近线为y 3x，B 错误；双曲线C的一个焦点为2,0，到渐近线的距离
9、为2 3133，C 正确；7x2 y2 4x 2，圆x2 y2 4与C恰有个公共点，D 错误.联立2y2，解得43x 1y 32故选：AC.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的定义、渐近线、以及圆与双曲线的公共点个数问题，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.10在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A四边形ABC1D1的面积为|AB|BC1|C(AA1 A1D1 A1B1)3 A1B1答案：ACD结合正方体图形，分别对四个选项进行判断即可.解：如图2BAD1与A1B的夹角为 60DAC1(A1B1 A1D1)02由AB 面BB1C1C得AB BC1，所以四边
10、形ABC1D1的面积为AB BC1，故 A 正确；ACD1是等边三角形，AD1C 60，又A1B/D1C，异面直线AD1与A1B所成的夹角为60，但是向量AD1与A1B的夹角为 120，故 B 错误；AC12 3A1B12，由 向 量 加 法 的 运 算 法 则 可 以 得 到AA1 AD11 AB11 AC1，(AA1 A1D1 A1B1)2 3 A1B1，故 C 正确；D1B1面AAC向量运算可得A1B1 A1D1 D1B1，在正方体ABCD A1B1C1D中，D1B1 AC，11C，12AC1D1B1 0，故 D 正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查用向量的知识和方法研究正方体中线位置
11、关系以及夹角和面积，属于中档题.11某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（指标值满分为5 分，分值高者为优），分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，则下列叙述正确的有（）A乙的六大能力中记忆能力最差C甲的空间能力优于计算能力答案：CDB乙的创造能力优于甲的创造能力D乙的六大能力整体水平低于甲分析乙的记忆能力，空间能力与创造力即可判断A；由图知甲和乙的创造能力，即可判断B；由图可知甲的空间想象能力和计算能力，即可判断C；求出甲和乙的平均分，即可判断D.解：A 中，乙的记忆能力为 4，比空间能力与创造力优，所以A 不正确；B 中，乙的创造能力为 3，甲的创造能力为 4，则乙的创造能力低于甲的创造
12、力，B 不正确；C 中，甲的空间想象能力是5，计算能力是 4，故甲的空间能力优于计算能力，所以C 正确；D 中，乙的六大能力整体水平为x1甲的六大能力整体水平为x21554433 4，6125344554，可得x1 x2，66即乙的六大能力整体水平低于甲，所以D 正确.故选：CD.12对于函数f f(x x)lnln x x，下列说法正确的有（）x x1Af(x)在x e处取得极大值eBf(x)有两不同零点Cf(2)f()f(3)D若f(x)k 在(0,)上恒成立，则k 1答案：ACD对于 A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；对于 B，令f(x)0，则可得函数的零点；1x对于
13、 C，由选项A 的解答过程可知，当x e时，函数fx为减函数，所以f3 f f4，而f(2)f(4)，从而可得结果；对于 D，由f(x)k 在(0,)上恒成立，得k 的最大值即可解：函数的导数f(x)1xln x1lnx1，令h(x)，再利用导数求此函数xxxx1ln x，(x 0)，x2令f(x)0得x e，则当0 x e时，f(x)0，函数为增函数，当x e时，f(x)0，函数f(x)为减函数，则当x e时，函数取得极大值，极大值为fe，故A正确，由f(x)0，得lnx 0，得x 1，即函数f(x)只有一个零点，故B错误，1ef2 f4ln42ln 2ln2，由x e时，函数fx为减函数知
14、f3 f f4，442故f2 f f3成立，故C正确，若f(x)k 在(0,)上恒成立，则k lnx1，xx1x设h(x)ln x1，(x 0)，xx则h(x)ln x，当0 x 1时，h(x)0，hx单调递增，当x 1时，h(x)0，hx单调递减，x2即当x 1时，函数h(x)取得极大值同时也是最大值h11，k 1成立，故D正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键三、填空题13某射击运动员在五次射击中，分别打出了 9，8，10，8，x 环的成绩，且这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是_4答
15、案：5根据这组数据的平均数，先求出x 的值，并由可此求出这组数据的方差解：解：某射击运动员在五次射击中，分别打出了9，8，10，8，x 环的成绩，且这组数据的平均数为 9，98108 x=9，5解得 x=10，这组数据的方差是：99S22(89)2109891095222454故答案为：5【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14已知圆C的半径为 1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A，B两点，若AB 3，则该圆的一般方程是_.答案：4x24y28x4y 1 0利用垂径定理，求得圆心到x轴的距离，即可求得圆心坐标，表示出圆的标准方程，再由圆的
16、标准方程转化为一般方程.31 1解：根据AB 3，可得圆心到x轴的距离为12，故圆心坐标为1,，故所求圆的2221标准方程为x1y1，化为一般式是4x24y28x4y 1 02222【点睛】本题考查了圆的一般方程和标准方程，当题目中易确定圆心坐标和半径，求圆的一般方程时，直接将圆心和半径代入圆的标准方程，再将标准方程转化为一般方程即可.x2y21的渐近线的距离为_15抛物线y 8x的焦点到双曲线222答案：2解：分析：由题意求得抛物线的焦点为（2,0），再求得双曲线的渐近线为x y 0，根据点到直线的距离公式可得所求详解：由抛物线y28x可得其焦点为（2,0），x2y21的渐近线方程为x y
17、0，又双曲线2222所求距离为d 2点睛：本题考查抛物线的焦点坐标、双曲线渐近线方程的求法和点到直线的距离，主要考查学生的运算能力，属容易题162020 年 5 月 28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了中华人民共和国民法典，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位.某大学为了解学生对民法典的认识程度，选取了 120 人进行测试，测试得分情况频率分布直方图如图所示.(1)试求出图中实数 a 的值，并估算出测试平均分成绩；(2)如果在80,90中抽取 3 人，在90,100中抽取 2 人，再从抽取的 5 人中随机选取 2 人，那么选取的
18、2 人中恰好 1 人成绩落在90,100的概率是多少?3答案：(1)a 0.05，76.5 分；(2).5(1)根据频率之和为1即长方形的面积之和为1求出a的值，然后用区间中点处的值估计测试平均分；(2)列举出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，用古典概型概率公式计算.解：(1)根据直方图知组距为10，由0.2a 0.3a 0.6a 0.7a 0.2a10 1，解得a 0.05.所以x 550.01 650.015 750.035 850.03 950.0110 76.5所以估计测试平均成绩为76.5 分；(2)分别记成绩落在90,100中的 2 人分别为 A，B，成绩落在80,90中的
19、3 人分别为 C，D，E，则从中任选 2 人的基本事件有：A,B，A,C，A,D，A,E，B,C，B,D，B,E，C,D，C,E，D,E，共 10 个，其中恰好 1 人成绩落在90,100中的基本事件有：A,C，A,D，A,E，B,C，B,D，B,E共 6 个，故所求概率为P 四、双空题17已知函数hx、gxgx 0分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x 0时，63.105hxgxhxgx0；h10，且ha 0，则a的取值范围是_，又知函gax数fx2x1e，且不等式fa m恒成立，则m的取值范围是_.,答案：a1,01,m2 ee(1)构造新的函数Fxhx，利用导数研究函数的单调性，结合奇函
20、数的性质即可;gx(2)结合导数求函数的最小值即可.解：(1)由题意构造函数Fxhx，当x 0时，hxgxhxgx0，gx则Fx0，则Fx在区间,0上单调递减，又Fx为奇函数，Fx在区间0,上单调递减，h10，所以F1 F1 0，ha 0，即Fa 0，ga则所以a的取值范围为1,01,.1 1x(2)f x2x1e，则fx在,上单调递减，在,上单调递增，2212 e2 efa的最小值为f，所以m .ee22 e，即me2 e故答案为：1,01,；m，e五、解答题18已知点M(3,5)，圆x1y2 4（1）求过点 M 的圆的切线方程；（2）若直线ax y 4 0与圆相交于 A，B 两点，且弦 A
21、B 的长为2 3，求a的值223答案：（1）x 3或5x12y 45 0（2）a 4(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为y5 k(x3),再根据圆心到直线的距离等于半径求解k即可.(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可.解：解：（1）由题意知圆心的坐标为1,2,半径r当过点 M 的直线的斜率不存在时,方程为x 3由圆心1,2到直线x 3的距离31 2 r知,此时,直线与圆相切当过点 M 的直线的斜率存在时,设方程为y5 k(x3),即kx y53k 0由题意知k 253kk 122,2,解得k 5,方程为5x12y 45 012故过点 M 的圆的切线
22、方程为x 3或5x12y 45 0y 40的距离为（2）圆心到直线axa2a24a 12a2a 12,(3)2(3)2 4,解得a 4a21【点睛】本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题.319已知函数fx x 3x1.（1）求曲线y fx在点0,f0处的切线方程；（2）求fx在0,2上的最大值和最小值.答案：（1）3x y 1 0；（2）最小值-1，最大值 3.(1)求出切点坐标，结合导数，求出切线的斜率，从而由直线的点斜式方程可求出切线方程.(2)令f x 0
23、和f x 0求出函数在0,2的单调性，结合f01，f23，即可求出函数的最大值和最小值.3解：（1）由f01得切点坐标为0,1，由fx x 3x1得，fx3x23，切线的斜率为k f03，则y1 3x0所以曲线y fx在点0,f0处的切线方程为3x y 1 0；（2）令f x 0可得x 1或x 1，即函数fx在1,2上单调递增.令f x 0可得1 x 1，即函数fx在0,1上单调递减，所以当x 1时，函数fx取得最小值f1 1.又f01，f23，且f0 f2，所以当x 2时，函数fx取得最大值f2320某校医务室欲研究昼夜温差大小与高三患感冒人数多少之间的关系，他们统计了2019 年 9 月至
24、 2020 年 1 月每月 8 号的昼夜温差情况与高三因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：2019 年 9日期月 8 日昼夜温差x就诊人数y510月 8 日8168 日1226日13308 日16352019 年 102019 年 11 月2019年12月82020年1月该医务室确定的研究方案是先从这5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验.假设选取的是 2019 年 9 月 8 日与 2020 年 1 月 8 日的 2 组数据.a bx（结果精确到 0.01）（1）求就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程y（2）若由（1）中所求的线性回归
25、方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过3 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该医务室所得线性回归方程是否理想？参考公式：bx xy yx y nxyiiiii1nnx xii1n2i1nxi1.y bx，a2inx2答案：（1）y 2.71x5.86；（2）该医务室所得线性回归方程是理想的.，再由回归直线过样本中心得出a.(1)先求出x，y然后由公式求出b(2)将x 5和x 16代入回归直线方程求出估计数据，然后与检验数据进行比较，看误差是否超过3 人,从而得出答案.解：解：（1）由题意可得x 16263081213 24，11，y 33则bx xy yiii24x xii
26、24219 2.71，7 241911 5.86，y bxa7故y关于x的线性回归方程为y 2.71x5.86.2.7155.86 7.69；（2）当x 5时，y 2.71165.8637.5.当x 16时，y因为7.6910 2.31 3，且37.535 2.5 3，所以该医务室所得线性回归方程是理想的.【点睛】本题考查求回归直线方程和利用数据检验回归方程是否理想，属于基础题.21如图，己知三棱锥E ABC中，ABC为正三角形，AB EC 2，AE BE 2.（1）求证：平面EAB 平面ABC；（2）求二面角AECB的余弦值.1答案：（1）证明见解析；（2）.7CO，(1)取AB的中点O，连
27、接EO，由等腰直角三角形可得EO AB，结合勾股定理可得EO CO，从而可证明EO平面ABCD，进而可证明面面垂直.(2)建立空间直角坐标系，求平面BCE和平面EAC的法向量，进而可求出二面角的余弦值.解：（1）证明：取AB的中点O，连接EO，CO，AE EB 2，AEB为等腰直角三角形，EO AB，又ABC是正三角形，AB EC 2，O为AB的中点，CO 3，又EO 1，EC2EO2CO2，EO CO，又因为COABO，AB平面ABCD，CO 平面ABCD，EO平面ABCD，又EO 平面EAB，平面EAB 平面ABCD.（2）由（1）易知OC、OB、OE两两垂直，故以O为坐标原点，分别以OC
28、、OB、OE所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系.则A0,1,0，B0,1,0，C所以EC 3,0,0，E0,0,1，3,0,1，BC 3,1,0，AC 3,1,0.ECn 03x z 0,设平面BCE的法向量为n x,y,z，则即，BCn 03x y 0解得：y z 3x，取x 1，则n 1,3,3.同理求得平面EAC的一个法向量为m 1,3,3，cos m,n mnm n17，由图可知二面角AECB为钝角，1所以二面角AECB的余弦值为.722如图，抛物线C与椭圆E相交于两点P6,1、Q 6,1，线段PQ交y轴于点R，椭圆E短轴的两个端点分别是A、B，且BR 3RA.（1）求
29、抛物线C与椭圆E的标准方程；（2）设T是线段PQ上不同于点R的任意一点，直线AT、BT分别交椭圆E于点M、N，求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标.x2y21；答案：（1）x 6y;（2）证明见解析，定点0,4.842（1）代入点P的坐标，求抛物线方程，根据条件BR 3RA，得b，再代入点的坐标，求椭圆方程；（2）首先设点Tt,1，求得直线AT和BT方程，再与椭圆方程联立，求得点M,N的坐标，并表示直线MN的方程，求得定点的坐标.2解：（1）设抛物线C与椭圆E的方程分别为x 2pyp 0和x2y21a b 0，a2b2由点P6,1在抛物线C上，得62p，所以p 3，故抛物线C的标准方程为x
30、2 6y.因为A0,b，B0,b，又R0,1，且BR 3RA，所以b 1 31b，得b 2.由点P6,1在椭圆E上，所以6121，得a2 8.2abx2y21.故椭圆E的标准方程为84（2）设Tt,1，其中 6 t 6，且t 0，31则直线AT、BT的方程分别为y x2，yx2.tt2 2818tx2y21，整理得1t2x tx 0，得x 0或x 2将y x2代入.t 2t84 8t2t248t18t2t24,2 2 2当x 2时，y 2，所以M2t 2t 2 t 2tt 2t 224t2t236,2同理可得N2，t 18t 182t2 42t23622t436t2 6t 2t 18 所以直线MN的斜率k，28t24t4t4t t 6t2 2t218t2 6 8t2t2 4t2 6故直线MN的方程为y 4tx t2 2t2 2 4tx 4.所以当x 0时，y 4，这说明直线MN恒过定点0,4.【点睛】思路点睛：定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；（2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.