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1、 广东省东莞市 2020-2021 学年高二上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题, , = 2, = 45, =120 ，则边c =中，内角 A B C 的对边分别为a b c ,且b B C, ,DABC1在（）B 3C2D6A2x 0x, yz = x - y 02已知实数满足 y，则目标函数的最大值是（）x + y 22-1AB1CD -2糖的质量b克3糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 =(a b)，向糖水（不饱和）c糖水的质量a克m中再加入 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（）b b + m+ mb b m+b b mb b 0,
2、b 0 的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为4已知双曲线-（）1y = 2xC= x2x3xA yB = D = yy2a =（= 50, =19 ，则aa）5已知数列A3是等差数列，且 +a an23136B4C7D826已知 a,b 为实数，则“0 ab 2”是“ a 0,b 0,+ 2 = 29已知实数a且b）aa4A912C32BD22x y2210已知 F ， F 为双曲线C: - =1的左、右焦点， 为C 上异于顶点的点直P1216 9PF PF，|为直径的圆相切于 ， 两点，则 AB|= ()线 分别与lAB12A 7B3C4D5二、多选题= CD = 5, AD = 3,
3、BCD = 60B圆O的直径为 711四边形 ABCD内接于圆O， AB的有（A四边形，下列结论正确）为梯形ABCD55 34C四边形 ABCD的面积为数列DDABD 的三边长度可以构成一个等差5 -112我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2xy22A , A , B , BF , F为焦点， 为椭圆上一点，C : + =1(a b 0)，为顶点，P121212a2b2满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（） | A F |,| F F |,| F A |ABC为等比数列111222F B A = 90112PF xPO/A B轴，且121F , FD四边形 A B
4、A B 的内切圆过焦点121221三、填空题1x2 = yMM到焦点的距离为 2，则点13抛物线上的一点的纵坐标是_.2ABCD - A B C D14如图，以长方体的顶点 D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直1111(2,3, 4)线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 的坐标为，则 AC 的坐标为11_.15已知命题“x 1,3,不等式 x2 - ax + 4 0 ”为真命题，则 的取值范围为_.a四、双空题16斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子
5、数列”.它是这样一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55在数学上，斐波那契数列以如a = 1 a =1 a aa (n 3,n N )* ，记其前 项和=+n下递推的方法定义：，12nn-1n-2 S为 ，设a= t tS + S - S - S= _（用 表示），t（ 为常数），则n20192017201620152014S - a2017= _(用常数表示)2019五、解答题( ): x - x - 6 0, q17已知 p222: x - 2m+1 x + m + m 0.= 2,p q（1）若m且x为真，求实数 的取值范围；qpm（2）若 是 的充分不
6、必要条件，求实数 的取值范围. = 4 a a =128a b 1 1是首项为 公差为 的等n n18已知等比数列 a 满足 a，数列23 4n差数列. （1）求数列（2）求数列ab和 的通项公式；nn bS .n的前 项和nnDABC, , ,sin = sin - ( + )sinB a A b c C .19在中，内角 A B C 的对边分别为a b c ，且b（1）求角 A的大小.= 2 3 DABC的周长.（2）若 边上的中线BC，且 S= 2 3,求ADDABC- A B C= 90,AC BC ， 在底面= 2 A=20如图，已知斜三棱柱 ABC中， BCA1111ABC上的射影
7、恰为 AC 的中点 ，且 A D = 3 .D1A B AC（1）求证：（2）求直线（3）在线段；11A BA B C1 1与平面所成角的正弦值；11C C1M - A B - C 的平面角为90上是否存在点M ，使得二面角？若存111在，确定点 M 的位置；若不存在，请说明理由.21在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2021年8 月 16 日上午，423 米的东莞第一高楼民盈国贸中心 2 号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东 莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134 米.”在同学们的
8、惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的 A点测得国a贸中心顶部的仰角为 ，正对国贸中心前进了s 米后，到达 点 ，在 点测得国贸中心BBb顶部的仰角为 ，然后计算出国贸中心的高度（如图）.第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢 11 层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3 米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为a1米；正对国贸中心，将
9、镜子前移a 米，重复中的操作，测量出人与镜子的距离为a2米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.= 90b 48= 42， = ，最终算得国贸中心高度为实际操作中，第一小组测得s米，a；第二小组测得米，a=12a = 1.4 米，最终算得国贸中心高度为H米， ；Ha =1.451122假设他们测量者的“眼高h”都为1.6米.（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：tan 42 0.9，1tan 48 =,答案保留整数结果）；tan 42（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.+ y - 2x -15 = 0(-1,0)且与 x 轴不重合，l22设圆 x2的圆心为 M ，直线 l
10、过点 N2, B交圆 M 于 A 两点，过点 N 作的平行线交于点C .AMBMCM + CN（1）证明为定值,并写出点C 的轨迹方程；l : y = kx1P,Q 两点，点 R 为椭圆C（2）设点C 的轨迹为曲线 E ，直 线与曲线 E 交于DPQRPQ 为底边的等腰三角形，求DPQR 面积的最小值.上一点，若是以 参考答案1D【分析】由已知利用正弦定理可求c 【详解】= 2, B = 45,C =120解： b由正弦定理可得bc=sin B sin C2c=解得6c =sin 45 sin120故选：D【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.2A【分析】由约束条件作出可行域，化目
11、标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示z = x - yy= x - z= -z x y y-由可得，则 z 表示直线在 轴上的截距，截距越小，z 越大y =0由 可得C(2,0)，此时 z 最大为2x + y = 2故选： A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题3B【分析】依题意得到不等关系，即可得解.【详解】b + mm解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入 克糖，此时糖水的浓度为，根据糖水更a + mb b + m 0, 0abb实轴长为2a，虚轴长为
12、 b ，渐近线为 y2= xa b 1=可得因为实轴长是虚轴长的两倍，即2a = 4ba 21 y = x2故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.5C【分析】a 设等差数列【详解】的首项为a ，公差为d ，根据条件列出方程组，解得.1na a的首项为 ，公差为d ；解：设等差数列1na + a = 50,a =1931362a +14d = 50 =d31解得 a +5d =191a = 41a = a + d = 3+ 4 = 721故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式的基本量的计算，属于基础题.6D【分析】根据不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详
13、解】122a = -1，b= -，满足0 ab 1，但a 0且，但0 ab 2不成立，即必要性不成立若 a，满足 ab2故“0 ab 2”是“ a 0,b 0,0 b b 0)解： Ca2b2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A -a,0 , A a,0 ,B 0,b ,B 0,-b F -c,0 ,F c,0，121212| A F |,| F F |,| F A |对于 A：为等比数列111222| A F | | F A |=| F F |则2112212( ) ( ) a - c = 2c22a -c = 2c1e =不满足条件，故 A错误；3F B A = 90对于 ：
14、B112 A F = B F + B A222211 112( ) a + c = a + a + b22225 -1- 5 -1c + ac - a = 0 即e + e -1 = 0 解得 =或 =（舍去）满足条件ee22222故 正确；BPF xPO/A B对于C ：轴，且121b2P -c,a b2ak = kPO解得b = c即b=A B21-c -aa = b + c222cc2e = =不满足题意，故C 错误；2c2aF , F对于 ：四边形D的内切圆过焦点A B A B212121即四边形的内切圆的半径为c ，A B A B2121ab = c a +b22c - 3a c +
15、 a = 04224 3+ 53- 5e -3e +1= 0解得e2 =（舍去）或e2 =42225 -1e =2故 正确D故选：BD【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.15138【分析】2M 到准先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义，将点 M 到焦点的距离为 转化为点2线的距离为 ，故可求点M 的纵坐标【详解】118解：抛物线 x2 = y 的准线方程为 y= -2y设点 M 的纵坐标是 ，则1抛物线 x2 =y上一点 M 到焦点的距离为24到准线的距离为2 根据抛物线的定义可知，点M1y + = 2815 =y8158点 M 的纵坐标是15故答案为：【点睛】8本题以抛物
16、线的标准方程为载体，考查抛物线的定义，解题的关键是将点M 到焦点的距离2为 转化为点M2到准线的距离为 .14(-2,3, 4) 【分析】(2,3, 4)由 DB 的坐标为1，分别求出 和C 的坐标，由此能求出结果A1【详解】- A B C D解：如图，以长方体 ABCD的顶点 D 为坐标原点，1111过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，( ) ( )(2,3, 4)， A2,0,0，C 0,3,4，DB 的坐标为11AC = (-2,3,4) 1故答案为：(-2,3, 4)【点睛】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思
17、想，属于基础题15(-,4【分析】( )af x = x2 -ax+ 4=令，则对称轴为 x，分对称轴在区间之间，区间左边和区间右边三2种情况讨论可得.【详解】( )af x = x2 -ax+ 4=解：令，则对称轴为 x，2( )要使x 1,3,不等式 x2 - ax + 4 0恒成立，即x1,3，= 2 - + 4 0f x x ax( )af 1 =1 - a + 4 0解得a 2；当 = 1时2x22a a a a1 x = 3- a + 4 0a ；2 4=当时 f解得 2222 ( )a3 = 3 -3a + 4 0解得 a；= 3 f时2当 x2(-,4综上可得：a故答案为：(-
18、,4【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，属于基础题.-116t【分析】依题意由递推公式及S 计算可得，n【详解】S + S - S - S= a + a + a + a=解：20172016201520142016201720162015a = a + a (n 3,n N )*nn-1n-2a = a + a (n 3,n N )*nn-1n-2a + a + a + a2016201720162015() ()= a + a+ a + a2016201720162015= a + a2018201920192017= aa= tS + S - S - S= t故20172016
19、20152014()S -a = S - S + S - S - S= -S + S + S = S -a201720192017201720162015201420162015201420142016= S - a = S - a= = S - a201120132008201013a =1 a =1 a = 2，123S - a =1- 2 = -113S - a2017= -1故2019-1故答案为：t ； 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，属于中档题.17（1）3（2）(-,-3 3,+)【分析】q（1）分别求解一元二次不等式化简 ， ，然后利用pp qx为真，取交集求得实数 的取值
20、范围；qq , 1m m+ （2）求解一元二次不等式化简 ，结合 是 充分不必要条件，可得p( )-,-2 3,+m，转化为关于 的不等式组得答案【详解】(x - 3)(x + 2) 0解：（1） ：p解得 x-2 3或 x= 2, :x2 3当 mq2 -5 + 6 0解得xxp qp,q为真，即都为真 -2或 3xx即 2 x 33x所以 的取值范围为( )( )( )q : x -m x -m-1 0q : x - 2m+1 x + m + m 0，即（2）22: m x m +1， 即 q :m,m +1所以 q( )q因为 是 的充分不必要条件， 所以 ,m m+1 -,-2 3,+
21、p所以 m+1 -2或 m 3q综上： 是 的充分不必要条件时， 的取值范围为( , 3 3, )- - +pm【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断方法，属于中档题n + 2n= 2S = 2 -n18（1） a， =（2）nbn2n2nn【分析】 qqq（1）等比数列 a ，设首项为 ，公比 ，得到关于 、 的方程组，解得 、 ，即aaan111 aa b 1 1a b = n是首项为 公差为 的等差数列.得到可得到数列的通项公式，再由数列nn nn n b即可求出的通项公式；n bS .的通项公式，利用错位相减法求其前 项和n（2）由（1）所求【详解】nn q解：（
22、1）因为数列a是等比数列，故设首项为 ，公比a1na = 4 a a =128a q a q=128，因为，所以223422= 2，所以a所以 q3 = 8 ，解得q21 = 2a所以数列的通项公式为annn a bn n1 1是首项为 公差为 的等差数列因为a b =1+ (n -1) = nn n所以n= 2因为 a，所以 =bn2nnn111+3 ( )21S =1 + 2 ( )n+ n ( )（2）由（1）知23n2221211111同乘 得：S =1 ( ) + 2 ( ) +3 ( ) +n+ n ( )234n+12222211 1111S = + ( )n+ ( )+ ( )
23、 - n ( )n+1作差得：23n22 2222111n1S =1-( ) - n ( )n+1 =1-( +1)( )n+1n即n22222n + 2= 2 -所以 S2nn【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题2p=19（1） A（2）8+ 6 23【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角 的大小.A = 8DADC中，由余弦定理可得b c ，最后用（2）由面积公式可得bc，再在DABD和+22+ c完全平方公式可求b的值，即可求得三角形的周长.【详解】解：（1）由已知bsin B =
24、 asin A - (b + c)sin C由正弦定理得：b = a - bc - c222b2 + c2 - a22bc12由余弦定理得：cos = -A2p3DABC中，因为 A(0, )p,所以=在A13= 8，得bc （2）由 S= bcsin A =bc = 2 324DABC由（1）知b = a - bc - c ，即b + c = a -8 222222aac = ( ) + (2 3) - 22 3 cosADBDABDDADC在在中，由余弦定理得： 22222aa= ( ) + (2 3) - 22 3 cosADC中，由余弦定理得：b22222a2+ c = + 24因为c
25、osADB = -cosADC ，所以b222= 8,b + c = 56,bc = 8由，得a22所以b + c = (b + c) = b + c + 2bc = 72 = 6 2222DABC所以的周长 + + = 8+ 6 2 .a b c【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题620（1）见解析（2）（3）不存在点满足要求.见解析M4【分析】 x, y, zDE, DC, DA AC（1）作 DE交 AB 于点 E ，分别以 AC所在直线为轴建立空间直角1坐标系，利用空间向量法证明 A B；11（2）利用（1）中所建坐标系，求出直线的方向向量和平面A
26、 B C 的一个法向量，则两向111量的夹角的余弦值的绝对值即为线与面的夹角的正弦值；l(0,l, 3l)（0 l 1），求出平面 MA B 的一个法向量，= CC =（3）假设存在设CM111根据 = ，即可求出 的值，即可得证.0lm n【详解】x, y, zDE, DC, DA AC证明：（1）作 DE交 AB 于点 E ，分别以所在直线为轴建系1A(0,-1,0),C(0,1,0), B(2,1,0), A (0,0, 3),C (0,2, 3) 所以，11A B = (2,1,- 3), AC = (0,3, 3)11A B AC = 0+3-3 = 0，所以 A B AC1111面
27、A B C /面ABCA B C 的一个法向量为m= (0,0,1)（2）因为，所以面111111B = (2,1,- 3)A Bm = - 3 | A B |= 4+1+3 = 2 2，因为 A，所以111- 36cos = -112 246A B1A B C1a所成角为 ，sin = cos =A B m设线与平面a1114l(0,l, 3l)，（0 l 1）= CC =（3）不存在，设CM1A B =AB = (2,2,0) , AM = AC +CM =(0,l +1, 3l - 3)1 111 设面 MA B 的一个法向量为 = ( , , )nx y z11有 1 1A Mn = 02x + 2y = 0(l +1)y + ( 3l - 3)z = 0x = -y(l 1)+yz = -3l - 3l 1+n = 1,-1,3l - 3