2010年数学建模讲座.ppt

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1、数学模型与数学建模竞赛 数学模型与数学建模竞赛数学模型与数学建模竞赛数学模型数学模型及其分类及其分类数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤数学建模的重要意义数学建模的重要意义数学建模教学与数学建模竞赛数学建模教学与数学建模竞赛历届赛题及数学建模方法回顾历届赛题及数学建模方法回顾数学模型数学模型(Mathematical Model)和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的

2、一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模问题问题计算计算(预测预测)某地域某地域某种生物的数量某种生物的数量 生物种群的数量生物种群的数量指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)模型假设模型假设生物群体的总数原来是整数，因此是离散量，生物群体的总数原来是整数，因此是离散量，但当群体较大时，不妨用一个连续量但当群体较大时，不妨用一个连续量 来表示，来表示，即即 是是t时刻该生物种群的数量，并假设其连续可微时刻该生物种群的数量，并假设其连续可微 该群体的自然增

3、长率（出生率与死亡率之差）为常数该群体的自然增长率（出生率与死亡率之差）为常数r 模型建立和求解考察时段 该种群数量由自然增长引起的变化，应有 两边同除并令模型建立和求解若在初始时刻生物总数为 应用分离变量法可得随着时间增加，种群数量按指数规律无限增长随着时间增加，种群数量按指数规律无限增长模型检验和评价观察一片土地上田鼠的数量，开始时为2只，2个月后为5只，6个月后为20只，10个月后增加到109只，设田鼠的自然增长率为0.4，那么田鼠数量满足月数02610观察数2520109计算数24.522.0109.2模型改进模型改进:阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)种群增长到一定

4、数量后，增长率下降的原因：种群增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对生物种群增长的阻滞作用资源、环境等因素对生物种群增长的阻滞作用且阻滞作用随种群数量增加而变大且阻滞作用随种群数量增加而变大假设假设r固有增长率固有增长率(N很小时很小时)Nm种群容量（资源、环境能容纳的最大数量）种群容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是N的减函数的减函数改进模型求解得求解得模型检验模型检验草履虫实验:将5个草履虫放在盛有0.5ml营养液的小试管中，连续6天观察草履虫的个数，发现开始时草履虫的增长率为239.9%，后来增长逐渐缓慢，第4天草履虫的数量达到最高水平375个。若用自限模型，时刻t草

5、履虫个数为 上述公式计算的结果和观察值的吻合程度相当令人满意 数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域物理、人口、交通、经济、生态物理、人口、交通、经济、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性表现特性描述、优化、预报、决策描述、优化、预报、决策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映

6、内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数2.数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤类比仿真（模拟）是以类比为逻辑基础，用计算机模仿实际系统的运行过程，在整个运行时间内，对系统状态的变化进行观察和统计，从而得到系统基本性能的估计和认识.一般不能得到解析的结果.数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检

7、验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术

8、如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤1观察、分析实际问题观察、分析实际问题,作出合理的假设作出合理的假设;2涉及的数学问题可能是复杂、困难的涉及的数学问题可能是复杂、困难的,求解也许涉及深刻的数学方法求解也许涉及深刻的数学方法.如何作出正如何作出正确的判断确的判断,寻找合适的寻找合适的(解析或近似解析或近似)解法解法;3如何验证模型求解的结果是合理、正确如

9、何验证模型求解的结果是合理、正确的的.数学建模三难点数学建模三难点 3.研究研究数学模模的重要意义数学模模的重要意义数学模型有悠久的历史数学模型有悠久的历史 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学模型在其他科学中的应用数学模型在其他科学中的应用 物理和力学物理和力学 化学和生物化学和生物 生物医学生物医学 经济和社会经济和社会数学建模在国民经济中具体应用数学建模在国民经济中具体应

10、用 产品的设计和制造产品的设计和制造质量控制质量控制 控制与优化控制与优化 预测与管理预测与管理资源和环境其他数学模型和数学技术高新技术的新特征之一数学不仅是科学而且是技术 数学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术 高技术本质上是一种数学技术 数学建模教学与数学建模竞赛开设数学建模课程开设数学建模课程科学技术发展的需要科学技术发展的需要培养高质量、高层次科技人才的需要培养高质量、高层次科技人才的需要教育改革的需要教育改革的需要发现和总结建立数学模型的规律和方法发现和总结建立数学模型的规律和方法 上世纪七十年代，国外开设数学建模课程上世纪七十年代，国外开设数学建模课程 二十世纪八、九十年代我国

11、各高校相继开设数学二十世纪八、九十年代我国各高校相继开设数学 建模课程建模课程19851985年，美国大学生数学建模竞赛（年，美国大学生数学建模竞赛（UCMCMUCMCM）开始举）开始举行，每年一次，行，每年一次，2 2月份月份19921992年，我国大学生数学建模竞赛开始举行年，我国大学生数学建模竞赛开始举行（CUMCMCUMCM），每年一次，），每年一次，9 9月月竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。分余地供参赛

12、者发挥其聪明才智和创造精神。竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。三天时间内分工合作完成一篇论文。评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度。确性、文字表述的清晰程度。竞赛宗旨：创新意识竞赛宗旨：创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适运用学

13、过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件）分析和解决实际问题的能力的数学软件）分析和解决实际问题的能力面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力独立进行研究的能力关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风团结合作精神和进行协调的组织能力团结合作精神和进行协调的组织能力勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强意志勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强意志查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力数学建模竞赛培养学生创新精神，提高

14、学生综合素质数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质每年四道题大学本科:A,B题任选一题;专科高职:C,D题任选一题)A,C 为连续型题目;B,D为离散型题目 优秀论文登在优秀论文登在(2001年起年起),),(2001年前年前)来年第来年第1 1期上期上数学建模竞赛的准备（培训）内容数学建模竞赛的准备（培训）内容1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）2）建模过程中常用的数学方法）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概率外微积分、代数、概率外)，主要有：计算方法，主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值如数值微分和积分

15、、微分方程数值解、代数方程组解法解、代数方程组解法)，优化方法，优化方法(如线性、非线性规划如线性、非线性规划)，数理统计，数理统计(如假设检验、回归分析如假设检验、回归分析)，图论，图论(如最短路如最短路)等。等。只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不必涉及模型的求解。必涉及模型的求解。3）数学软件的用法。基本上能完成上述方法的软件，）数学软件的用法。基本上

16、能完成上述方法的软件，如如 MATLAB,MATHEMATICA,LINDO,LINGO,SAS等。等。4）历届赛题的研讨。）历届赛题的研讨。5）撰写数学建模论文的练习。）撰写数学建模论文的练习。数学建模竞赛准备的（培训）内容数学建模竞赛准备的（培训）内容历届赛题及数学建模方法回顾历届赛题及数学建模方法回顾优化方法一般函数优化用微积分的方法解决（小规模）；规划问题使用软件求解（包括线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、整数优化、组合优化（离散优化、网络优化）；数据处理方法曲线拟合，数据回归分析，插值；概率统计方法期望分析，排队论，回归分析，模式识别，判别分析；微分方程方法稳定性分析，预测

17、；图论方法最短路问题，最大流问题，最小生成树；计算机技术图像处理，随机模拟，各种算法实现，神经网络方法；离散方法层次分析法，决策分析，对策论；模糊数学模糊聚类分析，模糊层次分析，模糊规划 常用的软件工具 MATLAB 科学计算，最优化求解，微分方程求解，统计分析，编程、符号运算、结果可视化SPSS,SAS 统计分析LINDO/LINGO 最优化求解MATHEMATICA 符号运算、科学计算，最优化求解，微分方程求解，统计分析，编程参考资料数学模型（第三版），姜启源等编，高等教育出版社 2005数学模型，谭永基等编，复旦大学出版社，2005Models in Applied Mathematic

18、s,Vol1-3,F.Lacos,Springer-Verlag,New York,1983数学建模，Giordano 著 叶其孝等译 机械工业出版社，2005数学模型引论（第三版）唐焕文等编，高等教育出版社参考资料数学模型方法与算法,边馥萍等,高教社,2005数学建模方法及其应用,韩中庚,高教社,2005中国大学生数学建模竞赛(第二版),李大潜,高教社,2001优化建模与LINDO/LINGO软件,谢金星等,清华大学出版社,2005数学建模与数学实验,赵静等,高教社,2003数学模型案例选集,姜启源等编，高等教育出版社 2006参考资料数学模型与数学建模,刘来福等,北京师范大学出版社,2005数学模型讲义,雷功炎,北京大学出版社,1994数学模型案例集,杨启帆等,高教社,2006经济管理数学模型案例教程,谭永基等,高教社,2006全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编(1992-2000),中国物价出版社,2002参考资料科学计算技术与MATLAB,刘则毅等,科学出版社,2001最优化模型与实验,朱德通,同济大学出版社,2003现代优化计算方法,刑文训等,清华大学出版社,2005网络优化，谢金星等，清华大学出版,2005LINGO和EXCEL在数学建模中的应用，袁新生等，科学出版社，2007 谢 谢预祝大家在数学建模竟赛中取得优异成绩