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1、2012015 5年数学建模讲座年数学建模讲座微分方程模型讨论：基本思想、方法与数值模拟分析微分方程模型讨论：基本思想、方法与数值模拟分析贺天兰贺天兰微分方程=自然定律常微分方程：联系着自变量、未知函数、及未知函数的某些导数之间的关系式总是与变化率变化率相联系：如 速度、加速度、曲率、增长率、出生率、死亡率等本讲座分两个部分模型举例模型举例 模型求解的基本理论模型求解的基本理论一、模型举例体重变化模型(一阶线性常微分方程)减肥计划模型（差分方程）国家综合实力模型（一阶二维非线性微分方程组）模型一、体重变化模型某人食量10467J/Day,假设其中5038J/Day因新陈代谢而自动消耗，其它活动
2、，如健身等所消耗的热量是69J/(kg.Day)与他体重的乘积。假设与脂肪形式存储的热量100%有效，且1kg脂肪含热量41868J.试研究此人体重随时间变化的规律。1、问题分析：问题涉及的原问题分析：问题涉及的原则、理论或方法做适当分析则、理论或方法做适当分析要研究此人体重随时间变化的规律，就是要找出体重随时间变化的函数关系式。注意各变量与它们的微小增量之间的关各变量与它们的微小增量之间的关系。系。2、问题假设：提出有利条件，、问题假设：提出有利条件，对实际问题做理想化近似对实际问题做理想化近似(1)设设t时刻某人的体重为时刻某人的体重为W(t)，一天开始时，一天开始时此人的体重为此人的体重
3、为W(0);(2)W(t)是是t的光滑函数；的光滑函数；(3)体重在某时间段内的变化等于输入与输出体重在某时间段内的变化等于输入与输出之差，其中，其中输入是指扣除基本新陈代谢之差，其中，其中输入是指扣除基本新陈代谢之后的净食量吸收，输出是指如健身时的消耗；之后的净食量吸收，输出是指如健身时的消耗；(4)只考虑一天的情况，且不会出现异常现象只考虑一天的情况，且不会出现异常现象。3.模型建立模型建立:实际问题实际问题-数数学语言学语言:函数函数方程方程方程组等方程组等此人每天的体重变化=输入-输出输入热量=10467-5038=5429J输出热量=69W=69WJ4、模型求解对数学翻译进行求解，既
4、避免了对原问题的直接处理，又利用了现有的数学知识。体重变化曲线ClearW0=60;t=0:3000;W=5429/69-(5429-69*w0)/69*exp(-23*t/12956);Plot(t,w,r),grid,legend(体重变化曲线)；5、结果结论：将数学结果返回到实际中做相应的解释给出明确可信的结论给出明确可信的结论！6、敏感性分析：讨论参数的变化对结果的影响讨论：增加或减少热量的摄入，体重将如何变化？增加或减少健身活动，体重又将如何变化？那个参数的变化对体重比较敏感？定性分析模型二、减肥计划-节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目
5、标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重超重;BMI30 肥胖肥胖.模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引
6、起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体
7、重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周
8、每千克体重消耗 20000/100=200千千卡卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不千克不变变 第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千千克克吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保
9、持保持Cm,w(k)减至减至75千千克克 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千千克克 第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车
10、(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)基本基本模型模型3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变 不运动不运动 运动运动(内容同前内容同前)模型三综合实力的微分方程模型讨论综合实力的微分方程模型讨论一个地区物质文明和精神文明的综合一个地区物质文明和精神文明的综合称为综合实力称为综合实力 物质文明的发展速度与现有水平及发展潜力物质文明的发展速度与现有水平及发展潜力之积成正比，还与精神文明的水平成比例，精之积成正
11、比，还与精神文明的水平成比例，精神文明的发展速度与现有水平成比例，且与现神文明的发展速度与现有水平成比例，且与现有的物质文明相关，有如下微分方程模型：有的物质文明相关，有如下微分方程模型：综合实力的微分方程模型：对综合实力的微分方程模型进行尺度变换得对综合实力的微分方程模型进行尺度变换得：在以下三种参数条件下分析讨论模型奇点的类型并对比奇点处线性化前后相图：（1 1）（2 2）（3 3）（1 1）模型为：模型为：奇点为：奇点为：（0,0）稳定焦点和（）稳定焦点和（0.8,0.16）鞍点）鞍点（1 1）相图奇点(0,0)和(0.8,0.16)处线性化后模型相图 我们可以观察到，线性化 之前模型奇
12、点附近的渐近行为与对该模型在奇点处线 性化后的两个模型在零点 附近的渐近行为分别相同！（2 2）模型为：模型为：奇点为：奇点为：（0,0）和（）和（0.875,0.2187）（2 2）相图奇点(0,0)和（0.875,0.2187）处线性化后模型相图 我们可以观察到，线性化 之前模型奇点附近的渐近行为与对该模型在奇点处线 性化后的两个模型在零点 附近的渐近行为分别相似！（3 3）模型为：模型为：奇点为：奇点为：（0,0）和（）和（0.8,0.2）（3 3）相图奇点(0,0)和(0.8,0.2)处线性化后模型相图 我们可以观察到，线性化 之前模型奇点附近的渐近行为与对该模型在奇点处线 性化后的两
13、个模型在零点 附近的渐近行为分别相同！二、二、相关的理论知识相关的理论知识微分方程模型讨论：基本思想、方法与数值模拟分析微分方程模型讨论：基本思想、方法与数值模拟分析贺天兰贺天兰基本概念：1、微分方程的解、通解例：y=sin(arcsinx+c)(-1,1)2、初值问题：柯西问题与特解3、常微分方程的阶、线性、非线性常微分方程4、问题、问题：哪些常微分方程哪些常微分方程可以用初等方法求解？可以用初等方法求解？自治的常微分方程与自治的常微分方程与非自治的常微分方程非自治的常微分方程可以用初等方法求解的方程（组）可分离变量的一阶方程及求解一阶线性微分方程求解：常数变易法非齐次非齐次一阶线性齐次微分
14、方程一阶线性齐次微分方程（1）（2）First order linear non-homogeneous differential equation；Variation of constants全微分方程全微分方程(Total/complete/filly)DEM(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程的充要条件是一阶二维线性方程组的一般理论二阶常系数线性微分二阶常系数线性微分方程方程二阶线性常系数非齐次微二阶线性常系数非齐次微分方程分方程二阶线性常系数非齐次微分方二阶线性常系数非齐次微分方程程解的结构解的结构齐次方程的通解非齐次方程的非齐次方程的一个特解一个特解5、黎卡提方程可以求解
15、吗？6、一阶方程解的存在性、一阶方程解的存在性、唯一性唯一性f(x,y)在R0上连续7、定性方法与数值方法、定性方法与数值方法1、一阶微分方程的几何意义；2、斜率场两种特例；解析方法与定性方法相结合；举例3、数值方法：欧拉方法一阶的自治与非自治方程举例相线：自治方程简化的斜率场利用相线画解的图像简图30-/2/2/23例 画出相线，并研究解的趋势平衡点的分类：汇、源、结点具有Allee效应的Logistic模型 分歧自然条件下海洋中鱼的总量：单参数微分方程族单参数微分方程族8 8、一阶二维非线性方程一阶二维非线性方程一阶二维非线性方程一阶二维非线性方程组模型的定性、数值讨论组模型的定性、数值讨
16、论组模型的定性、数值讨论组模型的定性、数值讨论模型举例模型举例Lotka-Volterra 竞竞争模型争模型解？解？处理非线性自治常微分方程模型的定性方法在平衡点处线性化，借助线性模型而得在平衡点处线性化，借助线性模型而得到结论到结论平衡解、线性化定理平衡解、线性化定理（x0,y0）是平衡点Jacobimatrix原系统与线性化系统在平原系统与线性化系统在平衡点处衡点处特征值决定线性系统与非线性系统在平衡点附近 差不多function dy=ODEfun6(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=-3*y(1)+y(2);dy(2)=-y(2);returnclear t1,Y1=od
17、e45(ODEfun6,-8:0.1:8,1;0);t2,Y2=ode45(ODEfun6,-8:0.1:8,1;3);t3,Y3=ode45(ODEfun6,-8:0.1:8,-1;0);subplot(3,1,1),plot(t1,Y1,-g);subplot(3,1,2),plot(t2,Y2,-b);subplot(3,1,3),plot(t3,Y3,-r);figure;subplot(3,1,1),plot(Y1(:,1),Y1(:,2),-g);subplot(3,1,2),plot(Y2(:,1),Y2(:,2),-b);subplot(3,1,3),plot(Y3(:,1),
18、Y3(:,2),-r);figure;plot(Y1(:,1),Y1(:,2),-g);hold on;plot(Y2(:,1),Y2(:,2),-b);plot(Y3(:,1),Y3(:,2),-r);非线性模型function dy=ODEfun7(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=-3*y(1)+y(2);dy(2)=-y(2)+y(1)2;returnclear t1,Y1=ode45(ODEfun7,-8:0.1:8,1;0);t2,Y2=ode45(ODEfun7,-8:0.1:8,1;3);t3,Y3=ode45(ODEfun7,-8:0.1:8,-1;0);num
19、sol7=t1,Y1,t2,Y2,t3,Y3;plot(Y1(:,1),Y1(:,2),-g);hold on;plot(Y2(:,1),Y2(:,2),-b);plot(Y3(:,1),Y3(:,2),-r);An example of a limit cycle:Van del Pol equation程序M-function dy=ODEfun5(t,y)mu=0.1;dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2)-mu*(y(1)3/3-y(1);dy(2)=-y(1);returnclear t1,Y1=ode45(ODEfun5,-8:0.08:16,-2;-2);t2,Y2=o
20、de45(ODEfun5,-8:0.08:16,0.7;-0.7);t3,Y3=ode45(ODEfun5,-8:0.08:16,2;0);numsol5=t1,Y1,t2,Y2,t3,Y3 subplot(3,1,1),plot(t1,Y1,-g);subplot(3,1,2),plot(t2,Y2,-b);subplot(3,1,3),plot(t3,Y3,-r);figure;subplot(3,1,1),plot(Y1(:,1),Y1(:,2),-g);subplot(3,1,2),plot(Y2(:,1),Y2(:,2),-b);subplot(3,1,3),plot(Y3(:,1)
21、,Y3(:,2),-r);figure;plot(Y1(:,1),Y1(:,2),-g);hold on;plot(Y2(:,1),Y2(:,2),-b);plot(Y3(:,1),Y3(:,2),-r);Lorenz equationschengxufunction dx=lorenzf(t,x,flag,sigma,r,b);dx=-sigma*(x(1)-x(2);r*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);-b*x(3)+x(1)*x(2);return clear x0=1,0,0;sigma=9;r=27;b=3;t,x=ode45(lorenzf,0,60,x0,sigma,r,
22、b);subplot(221);plot(t,x(:,1);L(1)=xlabel(itt);L(2)=ylabel(itx);subplot(222);plot(t,x(:,2);L(3)=xlabel(itt);L(4)=ylabel(ity);subplot(223);plot(t,x(:,3);L(1)=xlabel(itt);L(2)=ylabel(itz);subplot(223);plot(t,x(:,3);L(5)=xlabel(itt);L(6)=ylabel(itz);t(1:1500)=;x(1:1500,:)=;subplot(224);plot(x(:,1),x(:,
23、2),x(:,3);box on;?Error using=plotNot enough input arguments.subplot(224);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);box on;subplot(224);comet3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);box on;subplot(224);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);box on;几个特殊的轨道周期轨道、同宿轨道、异宿轨道周期轨道、同宿轨道、异宿轨道平衡点平衡点注意：数学模型中，等式的两端必须有相同的数学模型中，等式的两端必须有相同的量纲量纲-物理量的属性物理量的属性差分
24、方程的模型差分方程的模型.求解求解.解解的性质简介的性质简介差分方程差分方程：含有取离含有取离散值得单变量的函数散值得单变量的函数及其差分的方程。及其差分的方程。也可以视为也可以视为迭代关系迭代关系fn(x)随着随着n的增大，变化如何的增大，变化如何？模型举例虫口模型：一代与一代间不交叠，夏季产卵后全死亡。其它模型经济学中的蛛网模型消费、投资、收入之间的Hansen-Samuelson模型振动台上乒乓球垂直运动的方程Fibonaccii问题鲨鱼与小杂鱼的捕食与被捕食问题Maynard Smith方程差分方程的求解方法差分方程的求解方法当是线性函数时，求解易得，当是非线性函数当是线性函数时，求解易得，当是非线性函数时，定性讨论与数值方法时，定性讨论与数值方法参考书：阮炯，差分方程和常微分方程，复旦参考书：阮炯，差分方程和常微分方程，复旦大学出版社，大学出版社，2002年。年。差分方程解的性质周期解及其吸引排斥性周期解及其吸引排斥性非周期解及混沌动力学非周期解及混沌动力学