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1、1复合形法 一、基本原理一、基本原理 1966 1966年由勃克斯（年由勃克斯（M.J.box)M.J.box)提出。所谓复合形是指在提出。所谓复合形是指在n n维设计空间维设计空间内由内由k=k=（n n十十12n)12n)个顶点所构成的多面体。复合形法就是在个顶点所构成的多面体。复合形法就是在n n维设维设计空间的可行域内，对复合形各顶点的目标函数值逐一进行比较，计空间的可行域内，对复合形各顶点的目标函数值逐一进行比较，不断地去掉最坏点不断地去掉最坏点,代之以既能使目标函数值有所下降，又满足所有代之以既能使目标函数值有所下降，又满足所有约束条件的新点，逐步调向最优点。这种方法不必保持规则图
2、形，约束条件的新点，逐步调向最优点。这种方法不必保持规则图形，比较灵活，同时其调优过程始终在可行域内进行所求结果可靠，有比较灵活，同时其调优过程始终在可行域内进行所求结果可靠，有一定收敛精度，能够有效地处理不等式约束优化问题一定收敛精度，能够有效地处理不等式约束优化问题为了防止复合形遇到约束边界而出现降维的现象，复合形的顶点数应更多，一般复合形的顶点数取n+1,当n5时，复合形顶点数应更多，一般取2n2 为进一步说明这种方法的原理，以二维问题为例，取顶点数k4(n十1)，则在可行城内构成的复合形为四边形，如图所示。设四个顶点的函数值分别为如果 则称 为最差点，用 表示，是次差点，用 表示，是最
3、好点，用 表示。然后求出除最坏点外其余各顶点的点集中心然后求出除最坏点外其余各顶点的点集中心(或叫几何中心点或叫几何中心点)大致可以判定大致可以判定:连接最坏点 和中心点 的方向为目标函数值的下降方向，沿此方向可得一个较好的映射点 来替换原复合形中的最坏点，从而组成新的复合形。当然，应是满足 F(X(R)F(X(H)的可行点。有时也可能沿最坏点与中心点的连线方向找不到一个较好的可行的映射点X(R)点，遇到达种情况时，可以改用次坏点 进行映射，从而改变换索方向3n 4n映射点 由于复合形不必保持规则形状由于复合形不必保持规则形状,为了适应各种非线性函数的特点，以为了适应各种非线性函数的特点，以便
4、能更有利地选取新顶点便能更有利地选取新顶点,所以希望变化复合形的形状。为此可以来取所以希望变化复合形的形状。为此可以来取如下灵便措施。如下灵便措施。6 若采取上述措施均无效，还可采取向最好点若采取上述措施均无效，还可采取向最好点 靠拢的措施，即靠拢的措施，即采用压缩的方法来改变复合形的形状。压缩后的顶点计算公式为：采用压缩的方法来改变复合形的形状。压缩后的顶点计算公式为：7 二、初始复合形的构成二、初始复合形的构成由于复合形法是一种在可行城内直接求优的方法，因此要求第一个复合形必须在可行域内生成。这样，其k个复合形顶点必须是可行点，通常顶点数取n十lk2n，它可以用下面三种方法来确定。1给定k
5、个初始顶点 由设计者预先选择k个设计方案，即人为构造个初始复合形。由于k个顶点都必须满足所有的约束条件，因此当设计变量数目较多或约束条件比较复杂时，这样做是很困难的。2给定一个初始顶点，随机产生其它顶点 如果用常规设计方法能取得一个设计方案，此方案虽然不是最优的，但却是一个可行的。则其它k一1个顶点可用随机法产生8n 这样产生的k一1个顶点，虽然可以满足边界约束条件，但不一定能满足性能约束条件，还必须逐个进行检查，把不满足约束条件的顶点移到可行域内。设已有q个顶点满足全部约束条件先求出q个顶点的中心点10 迭代过程（调优过程）将X(i)排序，F(X(H)=Y(1),F(X(dat)=Y(2),
6、F(X(L)=Y(4)11 X(S)=X(I)-X(H)13 重新确定区间方法：如果中心点是可行点，则就可以进行映射15 为复合行所有顶点的点集中心即例如：用复合行法求解16 18 19 20 复合形的改进复合形的改进 复合形法原理简单，而且目标函数的性态对计算速度的影响较小，其缺点主要是收敛速度慢和可靠性较差。当设计变量和约束条件都较多时，它有时不能收敛到最优点，从而降低了它的使用价值。出现上述问题的主要原因是迭代过程个复合形逐渐退化，使得搜索空间的维数小于设计空间的维数。提高复合形法的收敛速度和可靠性可采用下列措施：1.映射点越出约束边界后改变方向退回约束边界内21 22如果 正好处于两条
7、约束边界的交点上，采用上述迭代公式可能找不到一个可行的 点，因此必须规定采用迭代次数的上限值(建议取5),当迭代次数超过上限值时，则缩短步长，转回式 处，重新求映射点2、防止复合形的退化为了防止复合形在迭代过程中出现退化现象（搜索空间维数减少），按下式迭代后取得 ，令 随机偏离 、联线的一个小角度即等式右边采用“十”或“一”由计算机产生的随机数来决定，是角度偏移系数，建议取243、两次构造复合形在迭代过程中，当复合形满足收敛条件时；或者当采用 、联线取代 联线进行映射，仍然无效时，就以 为初始点，再一次构造初始复合形，重新开始选代。如果前后两次选代收放结果一致或相差很小时，则可停止计算，否则还要再一次构造初始复合形，继续进行迭代。