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1、 对于对于线性系统线性系统，各变量是关于系统的线性函数。，各变量是关于系统的线性函数。则其则其解可以线性叠加解可以线性叠加。P2ABP1ABP1P2AB=+1 1、叠加法（、叠加法（superposition methodsuperposition method）的基本概念的基本概念如果方程如果方程和和均为均为线性线性则：则：6-4 6-4 用用叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 基基于于杆杆件件变变形形后后其其轴轴线线为为一一光光滑滑连连续续曲曲线线和和位位移移是是杆杆件件变变形形累累加加的的结结果果这这两两个个重重要要概概念念，以以及及在在小小变变形形条条件件下下的的力力的的独独立立作作用用
2、原原理理，采采用用叠叠加加法法（superposition superposition methodmethod）由由现现有有的的挠挠度度表表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。可以得到在很多复杂情形下梁的位移。2 2、叠加法求弯曲变形、叠加法求弯曲变形 当当梁梁上上受受有有几几种种不不同同的的载载荷荷作作用用时时，都都可可以以将将其其分分解解为为各各种种载载荷荷单单独独作作用用的的情情形形，由由挠挠度度表表查查得得这这些些情情形形下下的的挠挠度度和和转转角角，再再将将所所得得结结果果叠叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。加后，便得到几种载荷同时作用的结果。解：例例1 求梁的挠度和转角，求梁的
3、挠度和转角，yc,A。aaP=q aABqCaaABqCaaABCP=+例例2 2 求图示悬臂梁的求图示悬臂梁的 y yc c组合方法一：增减载荷法增减载荷法CABCBAC（1）CB（2）将杆件系统分解为将杆件系统分解为n n段，分段，分n n次变形。假设每次变形。假设每次只有一段变形，其它段均作为刚性处理（可以次只有一段变形，其它段均作为刚性处理（可以使用刚性体的力学原理），然后进行叠加，求得使用刚性体的力学原理），然后进行叠加，求得变形量。变形量。组合方法二：逐段刚化法逐段刚化法方法：方法：先假设先假设 BC 段段刚性刚性，只有只有 AB 段变形段变形再考虑再考虑 BC 段的变形段的变形(
4、AB 段刚性段刚性)ABCBACCAB=+牵带牵带位移位移例例3 3 求图示悬臂梁的求图示悬臂梁的 y yc c组合方法三：等价积分法等价积分法积分积分ABCCxdx例例4 4 求图示悬臂梁的求图示悬臂梁的 y yc c先取微分长度，形成微集先取微分长度，形成微集中力中力dPdP=qdxqdx，代换后知：代换后知：BAP例例5 5 求图示简支梁的求图示简支梁的y yC CPABCEI2EI解：解：PABC组合方法四：等价悬臂梁法等价悬臂梁法(仅适合简支梁受到对称荷载仅适合简支梁受到对称荷载)由于对称：梁在由于对称：梁在C点的转角点的转角为为0，可以视为一悬臂梁在，可以视为一悬臂梁在C点固定，在
5、点固定，在A点受集中力作点受集中力作用。用。A点所产生的位移恰好点所产生的位移恰好与与C点点的位移数值相同。的位移数值相同。A注意：一般已经给出悬臂梁法受集中力注意：一般已经给出悬臂梁法受集中力(力偶力偶)作用所产作用所产生的位移和转角，即：生的位移和转角，即：BAP=+BAMAaaAaaM=a*P/2AaaABABP=+组合方法五：利用对称性利用对称性(仅适合求简支梁中点位移仅适合求简支梁中点位移)从数学知识，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称从数学知识，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称矩阵之和的形式矩阵之和的形式:F=F symm+F antisymm,对于轴对称的对于轴对称的结
6、构结构,力也可以同样分解力也可以同样分解.例如例如P/2P/2P/2P/2例6：已知悬臂梁受集中力作用所产生的端部位移和转角。求图示梁在中点的挠度，fc=+ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C 在对称力在对称力P/2P/2和支座反力和支座反力P/2P/2作用下，中截面的的挠度作用下，中截面的的挠度fc c可可以用端部的挠度以用端部的挠度fB B表示表示BCDBAP6-5 6-5 简单的静不定梁 与杆件静不定问题的解题方法类似，除了平衡方程外，还 需 要 建 立 变 形 协 调 方 程（compatibility equation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本
7、构方程（constitutive equations）。解静不定梁解静不定梁基本步骤：基本步骤：2 2、建立、建立平衡方程平衡方程3 3、针对原、针对原冗余约束条件，冗余约束条件，建立变形协调方程建立变形协调方程4、按照弯曲变形的公式建立物理方程1 1、选定并解除冗余约束，代之以多余约束反力，形成、选定并解除冗余约束，代之以多余约束反力，形成基本静基本静定基定基。（注意：。（注意：基本静定基的形式并不唯一。基本静定基的形式并不唯一。）5、联立求解平衡方程、平衡方程、物理方程和变形协调方程。解得变形协调方程。解得多余约束反力多余约束反力例例8 8求求:梁的约束力梁的约束力已知：已知：A A端固定
8、、端固定、B B端铰支梁的弯曲刚端铰支梁的弯曲刚度为度为EIEI、长度为长度为l。B Alq解：解：1 1、平衡方程、平衡方程:Y YA A+Y+YB B-qlql=0 0XA=0BMAYAXAYB Alq3 3、物理方程：、物理方程：2 2、变形协调方程：、变形协调方程：y yB B=y yB B(q q)+)+y yB B(F FByBy)=0)=0y yB B(q q)=)=qlql4 4/（8 8EIEI）y yB B(F FByBy)=-)=-Y Yb bl l 3 3/（3 3EIEI）lyB(YB)BYBABMAYAXAYB AlqyB(q)Blq=+解：解：4 4、综合求解、综
9、合求解YA+YB-ql=0XA=0yB=yB(q)+yB(YB)=0由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出:yB(q)=ql4/（8EI）yB(YB)=-Ybl 3/（3EI）YB=3ql/8 ,XA=0 ,MA=ql 2/8YA=5ql/8 ,BMAYAXAYB Alq强度：正应力：剪应力：刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施一、选择梁的合理截面一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b =)1.
10、5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为Rbh请记住：当梁上下对称时，请记住：当梁上下对称时，强度与抗弯截面模量强度与抗弯截面模量WWz z相关；刚度与惯性矩相关；刚度与惯性矩I Iz z相关相关。合理截面1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaa例如：以圆形截面为基准，在面积相等的情况下，比较其它截面例如：以圆形截面为基准，在面积相等的情况下，比较其它截面对于正方形对于正方形zD0.8D圆环形圆环形截面a12a1z矩形矩形截面工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z框形截面显然：工字形、槽形截面比矩形截面合
11、理，矩形截面比圆形截面合理。对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面2、根据材料特性选择截面二、采用变截面梁二、采用变截面梁最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为：同时Px 在工程应用中则广泛采用变截面梁，如：在机械工厂中，行车多采用鱼腹梁形状。三、合理布置外力（包括支座），使三、合理布置外力（包括支座），使 MM maxmax 尽可能小尽可能小PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5对称MxqL2/10MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2x322qL-M四、防止薄壁梁的侧向屈曲四、防止薄壁梁的侧向屈
12、曲1.矩形纯弯梁的临界载荷LMMxyz2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷LMMxyzh 由上可见，由上可见，I I y y过小时，过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，的可能性却增大了，这点应引起注意。这点应引起注意。五、选用高强度材料，提高许用应力值五、选用高强度材料，提高许用应力值 同类同类材料材料，如如钢材钢材“E”值相差不多值相差不多，“s”相差较大相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。不同类材料，不同类材料，E和和G都相差很多（钢都相差很多（钢E=200GPa,铜铜E=
13、100GPa），），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的的目的。但是，改换材料，其但是，改换材料，其原料费用原料费用也会随之发生很大的改也会随之发生很大的改变！变！刚度设计举例刚度设计举例 对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或或者指定截面处的挠度和转角者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则弯曲刚度设计准则(criterion for stiffne
14、ss design)(criterion for stiffness design)：上述二式中上述二式中 w w 和和 分别称为许用挠度和许用转角，均分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。已知：钢制圆轴，左已知：钢制圆轴，左端受力为端受力为F FP P，F FP P20 20 kNkN，a al ml m，l l2 m2 m，E E=206=206 GPaGPa，其他其他尺寸如图所示。规定尺寸如图所示。规定轴承轴承B B处的许用转角处的许用转角 =0.5=0.5。试：根据刚度要求确定该轴的直径试：根据刚度要求确定该轴的直
15、径d d。解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承足够的刚度，以保证轴承B B处的转角不超过许用处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。数值。为此，需按下列步骤计算。B解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承刚度，以保证轴承B B处的转角不超过许用数值。为此，处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。需按下列步骤计算。1 1查表确定查表确定B B处的转角处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B处的转角为处的转角为B1 1查表确定查表确定B B处的转角处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B处的转角为处的转角为 B2 2根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求 B2 2根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，其其中中，的的单单位位为为radrad（弧弧度度），而而 的的单单位位为为（）（度度），考考虑虑到到单单位位的的一一致致性性，将有关数据代入后，得到轴的直径将有关数据代入后，得到轴的直径 作业 6-18(a),6-21，6-24