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1、金融工程与风险管理金融工程与风险管理第第3章章 金融工程的基本分析方法金融工程的基本分析方法3/25/20231CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University3.1 无套利定价法无套利定价法 套利（套利（Arbitrage）：能带来利润的零风险）：能带来利润的零风险和零净投资的战略。和零净投资的战略。零投资（零投资（zero investment）：构建一个自融资）：构建一个自融资组合（组合（self-financing portfolio）。）。无风险（无风险（risk free）正收益（正收益（positive
2、return）例如：某人从例如：某人从A银行以银行以5%的年利率借入，的年利率借入，同时以同时以6%的年利率存入的年利率存入B银行，这就构成银行，这就构成了套利。了套利。3/25/20232CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University两种套利途径：两种套利途径：当前时刻净支出为当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益净现值为，将来获得正收益（收益净现值为正）正）当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的净支出当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为为零（支出的净现值为0）。）。套利套利=免费
3、的午餐。通过套利将市场从非均衡拉免费的午餐。通过套利将市场从非均衡拉向均衡，故金融资产的均衡价格是无套利条件下向均衡，故金融资产的均衡价格是无套利条件下给出，形成了给出，形成了无套利定价原则无套利定价原则。一个均衡的市场是不存在套利机会的，金融资产的均一个均衡的市场是不存在套利机会的，金融资产的均衡价格不可能提供套利机会。衡价格不可能提供套利机会。无套利并不需要市场参与者一致行动，实际上只要少无套利并不需要市场参与者一致行动，实际上只要少量的理性投资者就可以使市场无套利。量的理性投资者就可以使市场无套利。3/25/20233CopyrightLin Hui 2006,Department of
4、 Finance,Nanjing University案例案例 2-1 假设现在假设现在6个月即期年利率为个月即期年利率为10%（连续复（连续复利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12%。如。如果有人把今后果有人把今后6个月到个月到1年期的年期的远期利率远期利率定定为为11%，试问这样的市场行情能否产生套，试问这样的市场行情能否产生套利活动？利活动？答案是肯定的。答案是肯定的。3/25/20234CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University回顾：连续复利的概念回顾：连续复利的概念 若名义利率为
5、若名义利率为r，一年（期）平均付息，一年（期）平均付息m次，次，则相应的有效利率则相应的有效利率rm为为后者为连续复利，如果是后者为连续复利，如果是T年（期），则年（期），则3/25/20235CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University套利过程是：套利过程是：1.交易者按交易者按10%的利率借入一笔的利率借入一笔6个月资金（假设个月资金（假设1000万元）万元）2.签订一份协议（远期利率协议），签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易该协议规定该交易者可以按者可以按11%的利率，在的利率，在6个月后从市场借
6、入资金个月后从市场借入资金1051万元（等于万元（等于1000e0.100.5）。）。3.按按12%的利率贷出一笔的利率贷出一笔1年期的款项金额为年期的款项金额为1000万元。万元。4.1年后收回年后收回1年期贷款，得本息年期贷款，得本息1127万元（等于万元（等于1000e0.121），并用），并用1110万元（等于万元（等于1051e0.110.5）偿还）偿还1年期的债务后，交易者净赚年期的债务后，交易者净赚17万元（万元（1127万元万元-1110万元）。万元）。这是哪一种套利？这是哪一种套利？3/25/20236CopyrightLin Hui 2006,Department of F
7、inance,Nanjing University无套利的定价法的应用原理：无套利的定价法的应用原理：无套利定价的关键技术是所谓无套利定价的关键技术是所谓“复制复制”技技术，即用一组证券来复制另外一组证券。术，即用一组证券来复制另外一组证券。如果两种资产（组合）的现金流特征完全相同，如果两种资产（组合）的现金流特征完全相同，根据无套利原理，二者可以相互复制根据无套利原理，二者可以相互复制如果如果A资产（组合）与资产（组合）与B资产（组合）的风险资产（组合）的风险完全相同，则已知完全相同，则已知A资产的收益，就可以推断资产的收益，就可以推断B的收益，从而得到的收益，从而得到B的资产的定价。的资产
8、的定价。3/25/20237CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University3.2 金融工程的基本假设金融工程的基本假设 金融工程需要通过建立模型来实现风险的定量金融工程需要通过建立模型来实现风险的定量化，为此，需要对现实的世界做出一定的假设化，为此，需要对现实的世界做出一定的假设1.市场无摩擦性（市场无摩擦性（frictionless）无交易成本、无卖空限制，简化金融工具的定价分析过程，无交易成本、无卖空限制，简化金融工具的定价分析过程，并由理想的市场进一步到现实的市场。并由理想的市场进一步到现实的市场。2.无对手风
9、险（无对手风险（counterpart risk）：交易的任何一方无）：交易的任何一方无违约违约3.市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。4.市场不存在套利机会。这是金融工程最重要的假设。市场不存在套利机会。这是金融工程最重要的假设。3/25/20238CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University案例案例2-2 无套利定价法运用到期权定价中无套利定价法运用到期权定价中假设一种不支付红利的股票，目前的市价假设一种不支付红利的股票，目前的市价为为10元，我们知道在元，我们知道在
10、3个月后，该股票价格个月后，该股票价格要么是要么是11元，要么是元，要么是9元。元。假设现在的无风险年利率等于假设现在的无风险年利率等于10%，问题：求一份问题：求一份3个月期执行价格为个月期执行价格为10.5元的元的该股票欧式看涨期权的价值。该股票欧式看涨期权的价值。3/25/20239CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University为了找出该期权的价值，为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看可构建一个由一单位看涨期权涨期权空头空头和和m单位的标的股票多头组成的组合。单位的标的股票多头组成的组合。若股票价格若股票
11、价格11，则该期权执行，则组合价值为，则该期权执行，则组合价值为11m0.5若股票价格若股票价格9，则该期权不执行，则组合价值为，则该期权不执行，则组合价值为9m为了使该组合在期权到期时无风险，为了使该组合在期权到期时无风险，m必须满足必须满足下式：下式：11m0.59m，即，即m=0.25组合价值为组合价值为2.25元元3/25/202310CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University由由于于该该组组合合中中有有一一单单位位看看涨涨期期权权空空头头和和0.25单单位位股股票票多多头头，而而目目前前股股票票市市场场
12、价价格格为为10元元，因因此此，从无套利出发，期权费从无套利出发，期权费f（期权的价值）必须满足（期权的价值）必须满足根根据据无无套套利利定定价价原原理理，无无风风险险组组合合只只能能获获得得无无风风险利率，所以组合的现值为险利率，所以组合的现值为3/25/202311CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University无套利定价法的应用无套利定价法的应用 金融工具的模仿（金融工具的模仿（mimicking）即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。金
13、融工具具有相同或相似的盈亏状况。注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不同。同。金融工具的合成（金融工具的合成（compound）即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同价值。金融工具具有相同价值。合成是建立在模仿的基础上合成是建立在模仿的基础上3/25/202312CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University案例案例2-3：模仿股票（：模仿股票（the mimicking stock)模仿股票：一个买权多头和一
14、个卖权空头的组合。模仿股票：一个买权多头和一个卖权空头的组合。假设假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和和pt，两个期权的执行价格都是两个期权的执行价格都是XSt（t时刻股票的价格）时刻股票的价格），到期日股票价格为，到期日股票价格为ST。则到期日的收益为。则到期日的收益为3/25/202313CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University股票股票模仿股票模仿股票模仿股票与实际股模仿股票与实际股票有所区别！票有所区别！3/25/202314CopyrightLin Hui 200
15、6,Department of Finance,Nanjing University案例案例2-4 合成股票（合成股票（compound stock）合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头一个看跌期权的空头+无风险债券多头。无风险债券多头。为消除模拟股票与股票之间的差异（为消除模拟股票与股票之间的差异（-ctpt），），需要购买的无风险债券的数量为：需要购买的无风险债券的数量为：-ctpt 则到期日，组合的价值为则到期日，组合的价值为 max(0,ST-X)-max(0,X-ST)=ST-X3/25/202315CopyrightLin
16、Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University3.3 风险中性定价法风险中性定价法无风险资产的收益是确定的，其风险为零，无风险资产的收益是确定的，其风险为零，而风险资产的收益具有随机性而风险资产的收益具有随机性各种状各种状态的出现具有一定的概率，故具有补偿风态的出现具有一定的概率，故具有补偿风险的超额收益率。险的超额收益率。风险资产的效用需要考虑人的风险偏好，而无风险资产的效用需要考虑人的风险偏好，而无风险资产只需要考虑收益，与风险偏好无关风险资产只需要考虑收益，与风险偏好无关启发：改变各个状态出现的概率，使风险启发：改变各个状态出现的概率，
17、使风险资产的回报率等于无风险收益率资产的回报率等于无风险收益率超额超额收益率为收益率为0。3/25/202316CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University风险中性定价原理风险中性定价原理风险中性定价原理风险中性定价原理：在这个改变了：在这个改变了概率概率的的世界里，所有证券的预期收益率都等于无世界里，所有证券的预期收益率都等于无风险利率风险利率r，所有现金流量都可以通过无风，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。险利率进行贴现求得现值。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人风险中性假定仅仅是为了定价
18、方便而作出的人为假定为假定联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的效联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的效用？用？3/25/202317CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University应用案例应用案例2-2，在风险中性世界中，我们假定该股，在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为票上升的概率为p，下跌的概率为，下跌的概率为1-p。（虽然有。（虽然有实际的概率，但可以不管），如果风险中性，则实际的概率，但可以不管），如果风险中性，则该股票无超额收益，这个风险中性世界的概率是该股票无超额收益，这个风险中性世界的概率是n
19、同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则期权的现值为期权的现值为n两种方法求得结果是等价的两种方法求得结果是等价的风险中性定价本风险中性定价本质上仍是无套利定价。质上仍是无套利定价。3/25/202318CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University风险中性定价法的含义风险中性定价法的含义对于两个资产组合对于两个资产组合1和和2，其均值和方差分，其均值和方差分别如下别如下在上述的这种情况下，
20、我们无法比较哪种在上述的这种情况下，我们无法比较哪种资产组合占优，此时就将这两种资产组合资产组合占优，此时就将这两种资产组合放入一个放入一个风险中性的世界风险中性的世界，比较他们的收，比较他们的收益的大小。益的大小。3/25/202319CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University比较两种定价方法比较两种定价方法假设一个无红利支付的股票，当前时刻假设一个无红利支付的股票，当前时刻t，股票价格为股票价格为s，基于该股票的某个期权的价，基于该股票的某个期权的价值是值是f，期权的有效期是，期权的有效期是T，在这个有效期，
21、在这个有效期内，股票价格或者上升到内，股票价格或者上升到su（u1），或者），或者下降到下降到sd（1d0）。）。当股票价格上升到当股票价格上升到su时，我们假设期权的时，我们假设期权的收益为收益为fu，如果股票的价格下降到，如果股票的价格下降到sd时，期时，期权的收益为权的收益为fd。3/25/202320CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University无套利定价法的思路无套利定价法的思路首先，构造由首先，构造由m股股票多头和一个期权空股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无头组成的证券组合，并计算
22、出该组合为无风险时的风险时的m值。值。3/25/202321CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University如果无风险利率为如果无风险利率为r，则该无风险组合的现，则该无风险组合的现值为值为在无套利假定下，构造组合的成本满足在无套利假定下，构造组合的成本满足将（将（3.1）代入（）代入（3.2）整理得到）整理得到3/25/202322CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University总结：风险中性定价的思路总结：风险中性定价的思路假定风险中性世界
23、中股票的上升概率为假定风险中性世界中股票的上升概率为p，由于股，由于股票的期望值按无风险利率贴现，其现值必须等于该票的期望值按无风险利率贴现，其现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：3/25/202323CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University由上式可见，期权价值只与无风险利率、由上式可见，期权价值只与无风险利率、股票上涨（下跌）的幅度和时间有关，而股票上涨（下跌）的幅度和时间有关，而不依赖于股票上涨的不依赖于股票上涨的实际概率实际概率。这完全违。这完
24、全违反直觉！反直觉！期权的价值依赖于标的资产的上涨（下跌）期权的价值依赖于标的资产的上涨（下跌），但未来上升和下跌的概率已经包含在股，但未来上升和下跌的概率已经包含在股票的价格中！票的价格中！3/25/202324CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University3.3 状态价格定价技术状态价格定价技术定义：在特定的状态发生时回报为定义：在特定的状态发生时回报为1 1，否则回报，否则回报为为0 0。如果未来时刻有如果未来时刻有N种状态，而这种状态，而这N种状态的价格我种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来
25、各们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。定价技术。该方法是无套利定价原则和证券复制技术的具体该方法是无套利定价原则和证券复制技术的具体运用。运用。3/25/202325CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University案例案例 2-5A是有风险证券，当前的价格是有风险证券，当前的价格PA，一年后，一年后其价格要么上升到其价格要么上升到uPA，
26、要么下降到，要么下降到dPA。这就是市场的两种状态：上升状态（概率这就是市场的两种状态：上升状态（概率是是q）和下降状态（概率是）和下降状态（概率是1-q），由），由A证券证券的价格变化可以构造两个基本证券。的价格变化可以构造两个基本证券。uPAdPAPAq1-q3/25/202326CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University1 1、构造两个基本证券（单位证券）。、构造两个基本证券（单位证券）。基本证券基本证券1在证券市场上升时价值为在证券市场上升时价值为1，下跌时，下跌时价值为价值为0；基本证券；基本证券1现在
27、的市场价格是现在的市场价格是u u，基本证券基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为在下跌时价值为1。基本证券。基本证券2的价格是的价格是d d。10u uq1-q01d dq1-q3/25/202327CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing Universityq1-quuPA+ddPA1uPA0dPAuPA0uPA1dPAdPAuPAdPAPAq1-q2、令基本证券的现金流等价于证券、令基本证券的现金流等价于证券A。购买购买uPA份基本证券份基本证券1和和dPA份基本证券份基本证券2
28、组成组成一个假想一个假想的的证券组合证券组合根据无套利假设根据无套利假设3/25/202328CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University由此可见，该组合在由此可见，该组合在T时刻无论发生什么情时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券况，都能够产生和证券A一样的现金流，所一样的现金流，所以以两个基本证券的组合两个基本证券的组合是证券是证券A的复制品。的复制品。根据无套利原理，复制品与被复制对象的根据无套利原理，复制品与被复制对象的市场价格应该相等，即市场价格应该相等，即 或者或者（3.3）3/25/202329Cop
29、yrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University3、求两个基本证券当前的价值、求两个基本证券当前的价值在在T时刻无论出现什么状态，各时刻无论出现什么状态，各1个单位基本证券构个单位基本证券构成的组合其终值为成的组合其终值为1元。元。q1-q1u+1d1101101111 因此，该组合是无风险的，根据无套利原理该基本因此，该组合是无风险的，根据无套利原理该基本证券组合的收益率，只能是无风险收益率，若无风证券组合的收益率，只能是无风险收益率，若无风险收益率为险收益率为r，则，则（3.4）tT3/25/202330Copyrigh
30、tLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University所以由（所以由（3.3）和（）和（3.4）联立得到）联立得到注意：在上述的两个等式中，实际的概率并没有注意：在上述的两个等式中，实际的概率并没有在等式中出现？在等式中出现？状态价格定价技术状态价格定价技术：（：（1）由市场上已知证券的状）由市场上已知证券的状态得到基本证券态得到基本证券；（；（2）由基本证券来模拟未知的）由基本证券来模拟未知的证券，使他们终值相等，从而得到未知证券的现证券，使他们终值相等，从而得到未知证券的现值。值。3/25/202331CopyrightLin Hui
31、2006,Department of Finance,Nanjing University例子：状态价格法定价技术例子：状态价格法定价技术假设有价证券的市场情况如下：假设有价证券的市场情况如下：PA100，r2，u1.07，d0.98，Tt1，若，若另外有一个证券另外有一个证券B，其价格，其价格1年后可能上升年后可能上升为为103，也可能下降为，也可能下降为98.5元，求证券元，求证券B的的合理价格。合理价格。计算步骤计算步骤：由证券由证券A构造基本证券构造基本证券1和基本和基本证券证券2；基本证券来复制证券；基本证券来复制证券B：uPB份的基份的基本证券本证券1和和dPB份的基本证券份的基本
32、证券2。3/25/202332CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University3/25/202333CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University结论：结论：只要有具备上述性质的两个基本证券存在，只要有具备上述性质的两个基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。的任何有价证券定价。扩展二叉数模型。扩展二叉数模型。关于有价证券的价格上升的概率关于有价证券的价格上升的概率q，虽依赖，
33、虽依赖于人们作出的主观判断，但是人们于人们作出的主观判断，但是人们对对q认识认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。的分歧不影响为有价证券定价的结论。无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。3/25/202334CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing UniversityPAu1PAu1u2PAu1d1PAd1d2PAd1PA二叉数模型的基本原理二叉数模型的基本原理3/25/202335CopyrightLin Hui 2006,Department of Finance,Nanjing University演讲完毕，谢谢观看！