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1、 小学数学概念教学 主讲：孙庆括 （1）对数学概念的认识（2）数学概念的学习形式（3）数学概念教学的基本途径（4）数学概念教学的组织策略（5）数学概念教学中应注意的问题（6）小学生构建数学概念能力的培养 目录 一、对数学概念的认识1、什么叫数学概念？（1）数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形式。数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。或 数学概念是反映一类对象在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式。（2）数学概念具有抽象性和概括性。（3）数学概念是数学学科的基石。小学数学中有很多概念，包括：数的概念、小学数学中有很多概念，包括：数的概念、运算的概念、量与计
2、量的概念、几何形体的运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这些概念是构统计初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。相联系着的。一、对数学概念的认识一、对数学概念的认识2 2、数学概念的构成（内涵与外延）、数学概念的构成（内涵与外延）（1 1）概念的内涵是概念所反映的对象共同本质属性）概念的内涵是概念所反映的对象共同本质属性的总和。的总和。例如，平行四边形的内涵就是平行四边形所代例如，平行四边形的内涵就是平行四边形
3、所代表的所有对象的本质属性：有四条边，两组对边互表的所有对象的本质属性：有四条边，两组对边互相平行，对角线互相平分等。相平行，对角线互相平分等。（2 2）概念的外延是概念所反映的所有对象的总和。）概念的外延是概念所反映的所有对象的总和。例如，平行四边形的外延包括了一般的平行四例如，平行四边形的外延包括了一般的平行四边形，长方形、正方形、菱形。边形，长方形、正方形、菱形。（3 3）概念内涵和外延的关系：）概念内涵和外延的关系：概念内涵是概念的质的反映，概念外延是概念概念内涵是概念的质的反映，概念外延是概念的量的反映。的量的反映。明确概念的内涵或外延的逻辑方法是对概念下定明确概念的内涵或外延的逻辑
4、方法是对概念下定义。概念义。概念定义定义 一、对数学概念的认识3 3、小学数学概念的分类、小学数学概念的分类 概念的分类概念的分类 分类的三要素：种概念、属概念、分类标准。分类的三要素：种概念、属概念、分类标准。分类时往往把一个大类分成若干小类，大类称为分类时往往把一个大类分成若干小类，大类称为种概念，小类称为属概念。种概念，小类称为属概念。例如，将三角形分为锐角三角形、钝角三角形、例如，将三角形分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，三角形就是这种分类中种概念；锐角直角三角形，三角形就是这种分类中种概念；锐角三角形、钝角三角形、直角三角形就是这种分类中三角形、钝角三角形、直角三角形就是这种分
5、类中的属概念。的属概念。一、对数学概念的认识概念分类的原则概念分类的原则 （1 1）分类必须是相称的。）分类必须是相称的。分类所得的各个属概念的外延的并集应等于种概分类所得的各个属概念的外延的并集应等于种概念的外延。念的外延。例如，把整数划分为质数与合数，就违反了本规则，例如，把整数划分为质数与合数，就违反了本规则，因为遗漏了因为遗漏了“1”“1”。（2 2）分类所得各个属概念应互相排斥。）分类所得各个属概念应互相排斥。例如，对学生进行分类时，有学生将其分为纯小例如，对学生进行分类时，有学生将其分为纯小数、带小数、循环小数。这样的分类是不正确的，数、带小数、循环小数。这样的分类是不正确的，因为
6、，纯小数可以是循环小数，带小数也可以是循因为，纯小数可以是循环小数，带小数也可以是循环小数。环小数。一、对数学概念的认识一、对数学概念的认识（3 3）每次分类应按同一标准进行。）每次分类应按同一标准进行。例如，把三角形划分为等边三角形、等腰三角形、钝角例如，把三角形划分为等边三角形、等腰三角形、钝角三角形三角形,这个划分是不正确的这个划分是不正确的,因为这个划分中用了边、角大因为这个划分中用了边、角大小的两个不同的根据。这就犯小的两个不同的根据。这就犯“标准不同一标准不同一”的逻辑错误。的逻辑错误。（4 4）分类不能越级进行。）分类不能越级进行。分类应当按照被划分概念所反映的对象具有的内在层次
7、分类应当按照被划分概念所反映的对象具有的内在层次逐一地进行。逐一地进行。例如，例如，“把实数划分为整数、分数、无理数把实数划分为整数、分数、无理数”就犯了就犯了“越级越级划分划分”的逻辑错误。因为整数和分数与实数不是最邻近的各的逻辑错误。因为整数和分数与实数不是最邻近的各类关系。类关系。一、对数学概念的认识一、对数学概念的认识4 4、小学数学概念的表现形式、小学数学概念的表现形式 （1 1）定义式）定义式 定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。定义的新
8、概念。如如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形有两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程”等等。这样定义的概等等。这样定义的概念，条件和结论十分明显，便于学生一下子抓住数念，条件和结论十分明显，便于学生一下子抓住数学概念的本质。学概念的本质。一、对数学概念的认识一、对数学概念的认识（2 2）描述式）描述式 用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。做描述式。如：如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1 1、2 2、3 3、4 4、55叫自然数叫自然数”；“象象1.2
9、51.25、0.7260.726、0.0050.005等都是小数等都是小数”等。等。在小学低年级通常采用描述式的方式来表示，在小学低年级通常采用描述式的方式来表示，而到了高年级则采用定义式来表示。而到了高年级则采用定义式来表示。5 5、数学概念教学的误区、数学概念教学的误区 （1 1）“一个定义，三项注意一个定义，三项注意”式抽象讲解普遍存在。式抽象讲解普遍存在。（2 2）不注重概念教学的过程。）不注重概念教学的过程。忽视概念的引入和概念定义的抽象概括以及多角度忽视概念的引入和概念定义的抽象概括以及多角度的理解，而把重点方法概念的应用上。一些教师认为的理解，而把重点方法概念的应用上。一些教师认
10、为教概念不如多讲几道题目更实惠，这样的教学难以培教概念不如多讲几道题目更实惠，这样的教学难以培养学生数学能力养学生数学能力（3 3）不知道如何进行概念教学）不知道如何进行概念教学 一、对数学概念的认识 二、数学概念学习形式二、数学概念学习形式 学习概念意味着去掌握一类事物的共同本质属性，并能辨别本质属性和非本质属性，能举出概念的正例和反例，能利用数学概念进行判断和推理、解决相应数学问题。学生获得概念有两种基本形式：概念的形成和概念的同化1.1.概念的形成概念的形成 概念形成就是指让学生对同类事物中若干不同概念形成就是指让学生对同类事物中若干不同例子进行反复感知、分析、比较和抽象，以归纳的方例子
11、进行反复感知、分析、比较和抽象，以归纳的方式概括出这类事物的本质属性，从而达到掌握这一概式概括出这类事物的本质属性，从而达到掌握这一概念。因此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象念。因此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。的共同本质特征的过程。概念形成的阶段可概括如下：概念形成的阶段可概括如下：概念形成的阶段：概念形成的阶段：（1）观察概念实例）观察概念实例（2）分析共同属性）分析共同属性（3）抽象本质属性）抽象本质属性（4）确认本质属性）确认本质属性（5）概括概念定义）概括概念定义（6）符号表示）符号表示（7）具体运用）具体运用案例案例1：“函数函数”概念的形成过程
12、：概念的形成过程：1、观察实例，写出变量间的关系表达式：、观察实例，写出变量间的关系表达式：（1）以每小时）以每小时80千米的速度匀速行使的汽车，所驶千米的速度匀速行使的汽车，所驶过的路程和时间过的路程和时间（2）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻（3）用表格给出的某水库的贮水量与水深。）用表格给出的某水库的贮水量与水深。2、找出上例中两变量之间关系的共同本质、找出上例中两变量之间关系的共同本质3、辨别正反例，找出本质属性（一一对应）、辨别正反例，找出本质属性（一一对应）4、概括出函数定义、概括出函数定义5、练习巩固成形、练习巩固成形概念形成的教
13、学方式概念形成的教学方式（1 1）背景引入；（概念引入要讲背景）背景引入；（概念引入要讲背景）（2 2）通过典型、丰富的具体例证（必要时要学生自）通过典型、丰富的具体例证（必要时要学生自己举例），引导学生开展分析、比较、综合的活己举例），引导学生开展分析、比较、综合的活动；动；（3 3）概括共同本质特征得到概念的本质属性）概括共同本质特征得到概念的本质属性（4 4）下定义（用准确的数学语言表达，可以通过看）下定义（用准确的数学语言表达，可以通过看教科书完成）教科书完成）（5 5）概念的辨析，即以实例（正例、反例）为载体，）概念的辨析，即以实例（正例、反例）为载体，引导学生分析关键词的含义，包括
14、对概念特例的引导学生分析关键词的含义，包括对概念特例的考察；考察；（6 6）概念的运用）概念的运用 概念形成阶段的精确表述：概念形成阶段的精确表述：（1 1）感知具体对象阶段（观察实例）感知具体对象阶段（观察实例）观察数学概念的各种不同的肯定例证，可以是日常生活中的经验或事观察数学概念的各种不同的肯定例证，可以是日常生活中的经验或事物，也可以是教师提供的典型事例。物，也可以是教师提供的典型事例。（2 2）尝试建立表象阶段（分析共同属性）尝试建立表象阶段（分析共同属性）分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。（3 3）抽象本质属性）
15、抽象本质属性 从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。并通过比较肯定例证从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。并通过比较肯定例证和否定例证检验假设，确认本质属性。和否定例证检验假设，确认本质属性。（4 4）符号表征阶段）符号表征阶段 尝试地用语言或符号对对象进行特征的概括与表征，从而获得概念。尝试地用语言或符号对对象进行特征的概括与表征，从而获得概念。（5 5）概念的运用阶段）概念的运用阶段 通过举出概念的实例，在一类事物中辩认出概念，或运用概念解答数学通过举出概念的实例，在一类事物中辩认出概念，或运用概念解答数学问题，使新概念与原有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性的联系，问题，使
16、新概念与原有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性的联系，把所学的概念纳入到相应的概念体系中。把所学的概念纳入到相应的概念体系中。概念引入的方法如下：概念引入的方法如下：概念形成教学过程中需注意：概念形成教学过程中需注意：（1 1）提供的概念实例应该是正例，而且数量要恰当；）提供的概念实例应该是正例，而且数量要恰当；（2 2）注意选择那些刺激强度适当、变化性大和新颖有）注意选择那些刺激强度适当、变化性大和新颖有趣例子；趣例子；（3 3）让学生进行充分自主的活动，使他们经历概念产）让学生进行充分自主的活动，使他们经历概念产生的过生的过 程，了解概念产生的条件，把握概念形成的规律；程，了解概念产生
17、的条件，把握概念形成的规律；（4 4）在确认了事物的关键属性，概括成概念以后，教）在确认了事物的关键属性，概括成概念以后，教师应采取适当措施，使学生认知结构中的新旧概念分师应采取适当措施，使学生认知结构中的新旧概念分化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概念所湮化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概念所湮没；没；（5 5）必须使新概念纳入到已有的概念系统中去，使新概）必须使新概念纳入到已有的概念系统中去，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关概念建立念与认知结构中已有的起固着点作用的相关概念建立起实质的和非人为的联系；起实质的和非人为的联系；（6 6）教师的语言中介作用很大，因为教师的
18、语言引导可）教师的语言中介作用很大，因为教师的语言引导可以使学生更加有的放矢地对概念的具体事例进行分析、以使学生更加有的放矢地对概念的具体事例进行分析、归纳和概括；归纳和概括；（7 7）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每一个步骤。一个步骤。2.2.概念的同化概念的同化 概念同化的学习形式是利用学生认知概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有概念，以定义的方式直接向学结构中的原有概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性。生揭示概念的本质属性。由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生有意义地同
19、化新概念，必须：要使学生有意义地同化新概念，必须：第一，新概念具有逻辑意义；第一，新概念具有逻辑意义；第二，学生的认知结构中具备同化新概念第二，学生的认知结构中具备同化新概念的适当知识；的适当知识；第三，学生积极主动地使这种具有潜在意第三，学生积极主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构中的有关观念发生义的新概念与他认知结构中的有关观念发生相互作用，改造旧知识，使新概念与已有认相互作用，改造旧知识，使新概念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会贯通。知结构中的相关知识进一步分化和融会贯通。概念同化的学习过程经历阶段：概念同化的学习过程经历阶段：(1)(1)揭示本质属性。给出概念的定义、
20、名称和符号，揭示揭示本质属性。给出概念的定义、名称和符号，揭示概念的本质属性。概念的本质属性。(2)(2)讨论特例。对概念进行特殊分类，讨论各种特例，突出讨论特例。对概念进行特殊分类，讨论各种特例，突出概念的本质属性。概念的本质属性。(3)(3)新旧概念联系。使新概念与原有认知结构中有关观念建新旧概念联系。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系，把新概念纳入到相应的概念体系中，同化新概念。立联系，把新概念纳入到相应的概念体系中，同化新概念。(4)(4)实例辨认。辨认肯定例证和否定例证，确认新概念的本实例辨认。辨认肯定例证和否定例证，确认新概念的本质属性，使新概念与原有认知结构中有关概念精确分
21、化。质属性，使新概念与原有认知结构中有关概念精确分化。(5)(5)具体运用。通过各种形式运用概念，加深对新概念的理具体运用。通过各种形式运用概念，加深对新概念的理解，使有关概念融会贯通成整体结构。解，使有关概念融会贯通成整体结构。案例案例2 2：如：如“一次函数一次函数”的概念的概念（1 1）给出名称、定义、符号：函数）给出名称、定义、符号：函数 特例：特例：等等（2 2）把一次函数与函数概念、一次多项式概念）把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较等作比较（3 3）用肯定、否定例证让学生辨认：）用肯定、否定例证让学生辨认：概念同化教学方式概念同化教学方式1 1、突出概念的关键特征、突出概
22、念的关键特征 呈现概念的定义，不仅要以正确的语言描述概念，呈现概念的定义，不仅要以正确的语言描述概念，更重要的是要突出概念的关键特征。更重要的是要突出概念的关键特征。2 2、呈现正例、反例、特例、呈现正例、反例、特例 正例、特例在于强化本质属性，反例在于辨析，正例、特例在于强化本质属性，反例在于辨析，以便于从头脑中的已有概念分化。以便于从头脑中的已有概念分化。3 3、在应用中强化对概念的理解、在应用中强化对概念的理解 概念同化教学过程中要注意：概念同化教学过程中要注意：（1 1）同化方式学习概念，实际上是用演绎方式）同化方式学习概念，实际上是用演绎方式来理解和掌握概念。因为它是从抽象定义出来理
23、解和掌握概念。因为它是从抽象定义出发来学习的，所以应注意及时利用实例，使发来学习的，所以应注意及时利用实例，使抽象概念获得具体例证的支持；抽象概念获得具体例证的支持；（2 2）学习中必须经过概念分类这一步，使学生）学习中必须经过概念分类这一步，使学生从外延角度进一步对概念进行理解；从外延角度进一步对概念进行理解；（3 3）在引入概念的同时，要求学生掌握一定的）在引入概念的同时，要求学生掌握一定的智力动作，以防止出现知道概念的定义而不智力动作，以防止出现知道概念的定义而不知如何将它用于解题的情况；知如何将它用于解题的情况；（4 4）为学生及时提供应用概念进行推理、论证的机会，）为学生及时提供应用
24、概念进行推理、论证的机会，在应用中强化概念，以防止由于没有经历概念形成在应用中强化概念，以防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的情况；的情况；（5 5）一定要将所学概念纳入到已有认知结构中，形成）一定要将所学概念纳入到已有认知结构中，形成概念系统。概念系统。三、概念教学的基本途径三、概念教学的基本途径概念的引入概念的引入提炼定义提炼定义深化理解深化理解概念运用概念运用 1 1、概念的引入与定义的提炼、概念的引入与定义的提炼 包括了解新概念的必要性和合理性，初步揭示它的包括了解新概念的必要性和合理性，初步揭示它的内涵和外
25、延，给概念下定义。是概念学习的感性认识阶内涵和外延，给概念下定义。是概念学习的感性认识阶段。段。（1 1）原始概念）原始概念 一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。象的方法来明确。比如比如“针尖刺木板针尖刺木板”的痕迹引入的痕迹引入“点点”、用、用“拉拉紧的绳紧的绳”或或“小孔中射入的光线小孔中射入的光线”来引入来引入“直线直线”的方的方法是直观说明法，法是直观说明法，“1“1，2 2，3 3，叫做自然数叫做自然数”是是指明对象法。指明对象法。（2 2）对于用概念的形成来学习的概念）对于用概念的形成来学习的概念 一般可通过观察实
26、例，启发学生抽象出本质属性，一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义。师生共同进行讨论，最后再准确定义。（3 3）对于用概念的同化来学习的概念）对于用概念的同化来学习的概念 （a a）用属加种差定义的概念）用属加种差定义的概念 新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。（b b）由概念的推广引入的概念）由概念的推广引入的概念 讲清三点：推广的目的和意义；讲清三点：推广的目的和意义；推广的合理性；推广的合理性；推广后更加广泛的含义。推广
27、后更加广泛的含义。（c c）采用对比方法引入新概念）采用对比方法引入新概念 当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。系，但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。（d d）根据逆反关系引入新概念）根据逆反关系引入新概念 多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。入开方、由指数引入对数等。关键是讲清逆反关系。关键是讲清逆反关系。(4)(4)发生式定义发生式定义 通过观察
28、实例或引导学生思考，进行讨论，自然通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出构造过程，即揭示出定义的合理性。得出构造过程，即揭示出定义的合理性。小学常用的概念引入方法：小学常用的概念引入方法：直观引入直观引入 数学概念很抽象，而小学生对事物的数学概念很抽象，而小学生对事物的认识，是从具体到抽象、从感性到理性、认识，是从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级，逐步上升、逐步发展的。从低级到高级，逐步上升、逐步发展的。因此，我们在教学中，应该通过实物图像因此，我们在教学中，应该通过实物图像的直观性，联系儿童熟悉的事例或已有的的直观性，联系儿童熟悉的事例或已有的知识，来形象地引进新的概念。知识，
29、来形象地引进新的概念。如：如：1 1、平行线概念的学习、平行线概念的学习2 2、角的学习、角的学习3 3、轴对称图形、轴对称图形 概念的学习概念的学习 这样教师借助于直观教学，通过实物这样教师借助于直观教学，通过实物演示，使学生建立表象，从而解决了数学演示，使学生建立表象，从而解决了数学知识的抽象性与儿童思维的形象性的矛盾。知识的抽象性与儿童思维的形象性的矛盾。计算引入计算引入 有的概念不便直观引入，但通过计有的概念不便直观引入，但通过计算能使学生比较容易接受，这时就要采算能使学生比较容易接受，这时就要采取计算引入的方法。取计算引入的方法。如：循环小数的学习商不变规律的学习倒数概念的学习圆周率
30、概念的学习 这样，引导学生把大量的感性材料加以分析、综合，形成了概念。运用旧知识引出新概念运用旧知识引出新概念 数学中的有些概念，往往难以直观表述。数学中的有些概念，往往难以直观表述。但它们与旧知识都有内在联系。教学时，但它们与旧知识都有内在联系。教学时，要充分运用旧知识来引出新概念。总之，要充分运用旧知识来引出新概念。总之，把已有的知识作为学习新知识的基础，以把已有的知识作为学习新知识的基础，以旧带新，再化新为旧，如此循环往复，既旧带新，再化新为旧，如此循环往复，既促使学生明确了概念，又掌握了新旧概念促使学生明确了概念，又掌握了新旧概念间的联系。间的联系。1.整除约数公约数最大公约数倍数公倍
31、数最小公倍数如：2.最简整数比最简分数 比的化简分数的化简 这样，学生在学习中，就能找出新概念与已有的相关概念的联系与区别，实现知识的迁移，同时也巩固了旧知识。.其他引入方法故事引入，猜谜引入等。如：1、小数点的移动引起小数大小变化 2、倒数 3 3、概念的深化理解、概念的深化理解 是概念的理性认识阶段是概念的理性认识阶段（1 1）帮助学生正确理解概念的本质属性）帮助学生正确理解概念的本质属性 举反例举反例 抓住关键词突出交代抓住关键词突出交代 抓住概念名称，符号进行讲解抓住概念名称，符号进行讲解 分析概念成立的条件分析概念成立的条件（2 2）充分揭示概念的内涵与外延）充分揭示概念的内涵与外延
32、（3 3）联系已有概念纳入概念系统：比较易混淆概念；）联系已有概念纳入概念系统：比较易混淆概念；阐明概念间的关系阐明概念间的关系 深化理解概念的方法如下：深化理解概念的方法如下：n抓关键词抓关键词n n 有些概念往往是由若干个词或词组有些概念往往是由若干个词或词组组成的定义。这些数学语言表述精确，结组成的定义。这些数学语言表述精确，结构严谨，对一类事物的本质属性作了明确构严谨，对一类事物的本质属性作了明确的阐述。我们在教学时就要的阐述。我们在教学时就要“抓抓”住这些本住这些本质的东西不放，让学生建立起正确的概念。质的东西不放，让学生建立起正确的概念。n如，平行线的概念“在同一平面内不相交的两条
33、直线 叫做平行线”n如，分数定义中的关键词，“平均分“，学生只有把这些词语的含义弄清楚了，才会理解分数的概念。n如，整除概念的判断，一是被除数、除数（不为0）、商必须是自然数；二是没有余数。n再如，揭示倒数概念时，应重点强调“乘积为1”、“互为”两个重点，让学生明白两个数互为倒数是表示两个数的关系，一个数是不能称为倒数的。n再如,什么叫循环小数？课本是这样定义的:“一个数的小数部分,从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的数叫循环小数。”这里要抓住两点，前提是一个数的小数部分，与整数部分没关系，一个数字或几个数字依次不断重复出现。明确了这两点就能迅速的判断出某些数字是不是循环小
34、数。n 对定义的分析是帮助学生认识概念的又一次提高。运用变式运用变式 所谓变式，就是所提供的事例或材所谓变式，就是所提供的事例或材料，不断地变换呈现形式，改变非本质属料，不断地变换呈现形式，改变非本质属性，使本质属性不变。在小学数学概念的性，使本质属性不变。在小学数学概念的教学中，巧用变式，对于学生形成清晰的教学中，巧用变式，对于学生形成清晰的概念有明显的促进作用。概念有明显的促进作用。n如，低年级几何图形的学习（正方形、梯形、直角三角形等）对比辨析对比辨析 在小学数学中，有些概念其含义接在小学数学中，有些概念其含义接近，但本质属性又有区别。对这类概念，近，但本质属性又有区别。对这类概念，学生
35、常常容易混淆，必须及时把它们加学生常常容易混淆，必须及时把它们加以比较，以避免互相干扰，可以找出概以比较，以避免互相干扰，可以找出概念间的差异，发现概念间的相同或相似念间的差异，发现概念间的相同或相似之处。之处。n如数位与位数n化简比与求比值n时间与时刻n质数与互质数n比与比例n体积与容积n整除和除尽n面积和周长等等 另外，从正反两个方面进行概念对比，是数学教学行之有效的方法。如，小数的基本性质、方程4、概念运用（进一步深化理解）、概念运用（进一步深化理解）三个层次：三个层次：（1）概念的识别）概念的识别 对学生易出错地方有针对性地设计例题、对学生易出错地方有针对性地设计例题、练习题练习题（2
36、）概念的简单运用）概念的简单运用 直接运用解决问题直接运用解决问题（3）概念的灵活运用）概念的灵活运用 变式用、逆用变式用、逆用 理解概念的目的在于运用。运用概念，理解概念的目的在于运用。运用概念，就是要求学生能够正确、灵活地运用概念就是要求学生能够正确、灵活地运用概念进行判断，推理、计算、作图等，能运用进行判断，推理、计算、作图等，能运用概念分析和解决实际问题。运用的途径有：概念分析和解决实际问题。运用的途径有：自举实例；运用于计算、作图；运用于生自举实例；运用于计算、作图；运用于生活实践。活实践。n自举实例自举实例n n 这是要求学生把已经初步获得的概这是要求学生把已经初步获得的概念简单运
37、用于实际，通过实例来说明概念，念简单运用于实际，通过实例来说明概念，加深对概念的理解。加深对概念的理解。n 如：图形特征的学习（圆柱、圆锥、轴对如：图形特征的学习（圆柱、圆锥、轴对称图形）；分数概念的学习等。称图形）；分数概念的学习等。n运用于计算、作图等运用于计算、作图等n 对于学过的概念及时的应用可以加对于学过的概念及时的应用可以加深学生对概念的理解和掌握。深学生对概念的理解和掌握。n 如：分数的基本性质如：分数的基本性质 通分、约分通分、约分 n 小数的基本性质小数的基本性质 化简或改写化简或改写 n 等腰三角形等腰三角形 画图画图n运用于生活实践运用于生活实践 n n 数学概念来源于生
38、活，就必然要回数学概念来源于生活，就必然要回到生活实际中去。引导学生运用概念去解到生活实际中去。引导学生运用概念去解决数学问题，是培养学生思维，发展各种决数学问题，是培养学生思维，发展各种数学能力的过程。数学能力的过程。n 如：圆的面积如：圆的面积一棵树的横截面一棵树的横截面n 正比例正比例根据影子算旗杆的高度根据影子算旗杆的高度四、小学数学概念教学的组织策略四、小学数学概念教学的组织策略1 1、概念引入的基本策略、概念引入的基本策略（1 1）生活化策略）生活化策略（2 2）操作性策略）操作性策略（3 3）情境激疑策略）情境激疑策略（4 4）知识迁移策略）知识迁移策略2 2、概念构建的基本策略
39、、概念构建的基本策略多例比较策略多例比较策略(对比、类比、运用反例与变式对比、类比、运用反例与变式)例例1 1：学习：学习“垂直垂直”概念，教师除了用常见的图形概念，教师除了用常见的图形(图图 (1)(1)展示外，还应采用变式或反例图形图形展示外，还应采用变式或反例图形图形(图图(2)(2)、(3)(3)、(4)(4)、（、（5 5）去强化这一概念。）去强化这一概念。例例2：讲授：讲授“等腰三角形等腰三角形”概念，教师除了用常见的概念，教师除了用常见的图形图形(图图(1)展示外，还应采用变式图形展示外，还应采用变式图形(图图2-1(2)、(3)、(4)去强化这一概念，因为利用等腰三角形的去强化
40、这一概念，因为利用等腰三角形的性质去解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。性质去解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。表象过度策略表象过度策略 表象是儿童从直观对象到抽象概念之间的一个桥梁，表象表象是儿童从直观对象到抽象概念之间的一个桥梁，表象的建立是以获得鲜明的、丰富的感性材料为基础的。的建立是以获得鲜明的、丰富的感性材料为基础的。概括关键要素策略概括关键要素策略表述交流策略表述交流策略 在学生对概念有了一定的表象后，要引导学生将自己的认在学生对概念有了一定的表象后，要引导学生将自己的认识用简洁的语言将概念表述出来，使学生的认识逐步逼近对识用简洁的语言将概念表述出来，使学生的认识逐步逼近
41、对象的本质属性，从而帮助学生更深刻地理解概念的内涵。象的本质属性，从而帮助学生更深刻地理解概念的内涵。如，在学习如，在学习“垂直垂直”概念概念 多次归纳策略多次归纳策略 如，学习梯形时，学生在概括时可能会出如，学习梯形时，学生在概括时可能会出现下面的几种情形：现下面的几种情形：“有一组对边平行的四有一组对边平行的四边形是梯形边形是梯形”，“只有一组对边平行的图形只有一组对边平行的图形是梯形是梯形”。这时，教师就要引导学生再次进。这时，教师就要引导学生再次进行归纳，采用举反例的方式是引导学生认真行归纳，采用举反例的方式是引导学生认真观察，进而进行全面归纳的一种好方法。观察，进而进行全面归纳的一种
42、好方法。操作分类策略操作分类策略 例如，学习梯形之后，可以引导学生对四边例如，学习梯形之后，可以引导学生对四边形进行分类，集合图是分类时的种方法。形进行分类，集合图是分类时的种方法。3、概念的巩固和运用、概念的巩固和运用 教学中应注意如下几个方面。教学中应注意如下几个方面。变式训练策略变式训练策略精加工策略精加工策略概念结构化策略概念结构化策略 案例：案例：“整除部分整除部分”的概念系统图。的概念系统图。强化应用策略强化应用策略n概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。进行。n（1）概念内涵的应用）概念内涵的应用n 复述概念的定义或根据定义填空。复述概
43、念的定义或根据定义填空。n 根据定义判断是非或改错。根据定义判断是非或改错。n 根据定义推理。根据定义推理。n 根据定义计算。根据定义计算。n概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。进行。n（1）概念内涵的应用）概念内涵的应用n 复述概念的定义或根据定义填空。复述概念的定义或根据定义填空。n 根据定义判断是非或改错。根据定义判断是非或改错。n 根据定义推理。根据定义推理。n 根据定义计算。根据定义计算。例例3（1）什么叫互质数？答：）什么叫互质数？答：是互是互质数。质数。（2）判断题：）判断题：27和和20是互质数（是互质数（）34与与85是互质数（是
44、互质数（）有公约数有公约数1的两个数是互质数（的两个数是互质数（）两个合数一定不是互质数（两个合数一定不是互质数（）（3）钝角三角形的一个角是）钝角三角形的一个角是82o，另两个角的，另两个角的度数是互质数，这两个角可能是多少度？度数是互质数，这两个角可能是多少度？n（2）概念外延的应用）概念外延的应用n 举例举例n 辨认肯定例证或否定例证。并说明辨认肯定例证或否定例证。并说明理由。理由。n 按指定的条件从概念的外延中选择按指定的条件从概念的外延中选择事例。事例。n 将概念按不同标准分类。将概念按不同标准分类。例例4 （1）列举你所见到过的圆柱形物体。）列举你所见到过的圆柱形物体。（2）下列图
45、形中的阴影部分，哪些是扇形？）下列图形中的阴影部分，哪些是扇形？（图（图62）图62（3）分母是）分母是9的最的最简简真分数有，分子是真分数有，分子是9的假分数中，的假分数中，最小的一个是最小的一个是（4）将自然数）将自然数219按不同按不同标标准分成两准分成两类类（至少提出（至少提出3种不同的分法）种不同的分法）n(3)注意辨析注意辨析 n 随着学习的深入，学生掌握的概念不随着学习的深入，学生掌握的概念不断增多，有些概念的文字表述相同，有些断增多，有些概念的文字表述相同，有些概念内涵相近，使得学生容易产生混淆，概念内涵相近，使得学生容易产生混淆，如质数与互质数，整除与除尽，体积与容如质数与互
46、质数，整除与除尽，体积与容积等等。因此在概念的巩固阶段，要注意积等等。因此在概念的巩固阶段，要注意组织学生运用对比的方法，弄清易混淆概组织学生运用对比的方法，弄清易混淆概念的区别和联系，以促使概念的精确分化。念的区别和联系，以促使概念的精确分化。例例5：关于面积和周长，可组织学生从下列几个方面关于面积和周长，可组织学生从下列几个方面进行对比进行对比(1)什么叫做长方形的周长？什么叫做长方形的面积？什么叫做长方形的周长？什么叫做长方形的面积？（2）周长和面积常用的计量单位分别有哪些？）周长和面积常用的计量单位分别有哪些？（3）在图）在图63中，中，A，B两个图形的周长相等吗？面积两个图形的周长相
47、等吗？面积相等吗？相等吗？图63图64 五、小学数学概念教学中应注意的问题五、小学数学概念教学中应注意的问题 1 1、把握概念教学的目标，处理好概念教学的发、把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。展性与阶段性之间的矛盾。案例案例1 1：分数的认识：分数的认识 如：对分数意义理解的三次飞跃如：对分数意义理解的三次飞跃 平均分平均分下定义下定义拓展单位拓展单位“1”“1”案例案例2 2：长方体与正方体的认识长方体与正方体的认识 2、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾盾（1）通过演示、操作进行具体与抽象的转通过演示、操作进行具体与抽象的转
48、化化 案例：几何初步知识案例：几何初步知识 教学教学 圆周率教学圆周率教学（2）结合学生的生活实际进行具体与抽象的）结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化转化 案例：乘法结合律的教学案例：乘法结合律的教学 3、遵循小学生学习概念的特点，组织合理、遵循小学生学习概念的特点，组织合理有序的教学过程有序的教学过程（1）概念的引入要注重提供丰富而典型的感）概念的引入要注重提供丰富而典型的感性材料性材料 案例：教学分数的意义案例：教学分数的意义 如何理解单位如何理解单位“1”。注意事项：注意事项：所选材料要确切。所选材料要确切。案例：角的认识，。案例：角的认识，。所选材料要突出所授知识的本质特征。所选材
49、料要突出所授知识的本质特征。案例：直角三角形的本质特征案例：直角三角形的本质特征（2）概概念念的的理理解解要要注注重重正正反反例例证证的的辨辨析析，突突出出概概念念的的本本质质属性属性 剖析概念中关键词语的真实含义剖析概念中关键词语的真实含义 分分析析三三角角形形的的高高的的定定义义:“从从三三角角形形的的一一个个顶顶点点到到它它的的对对边边作作一一条条垂垂线线，顶顶点点和和垂垂足足之之间间的的线线段段叫叫做做三三角角形形的的高高，这这条条边叫做三角形的底。边叫做三角形的底。”中的关键词。中的关键词。辨析概念的肯定例证和否定例证辨析概念的肯定例证和否定例证 案案例例：小小数数的的性性质质（小小
50、数数的的末末尾尾添添上上“0”或或去去掉掉“0”，小小数数的大小不变）揭示后如何辨析概念。的大小不变）揭示后如何辨析概念。变换本质属性的叙述或表达方式变换本质属性的叙述或表达方式 对近似的概念及时加以对比辨析对近似的概念及时加以对比辨析 案例：区别案例：区别“数与数字，数位与位数，奇数与数字，数位与位数，奇数与质数，偶数与合数，化简比与求比值，数与质数，偶数与合数，化简比与求比值，时间与时刻，质数、质因数与互质数，周长时间与时刻，质数、质因数与互质数，周长与面积与面积”（3）重视概念的运用，发挥概念的作用）重视概念的运用，发挥概念的作用 自举实例自举实例 运用于计算、作图等运用于计算、作图等