《2021-2022学年高二物理竞赛课件：量子力学之能量的一级修正.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年高二物理竞赛课件：量子力学之能量的一级修正.pptx（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、能量的一级修正能量的一级修正应注意，应注意，和和 并不对易，并不对易，只是只是 的本征的本征函数，并不是函数，并不是 的本征函数。它本身或它们的某种线性组的本征函数。它本身或它们的某种线性组合只能作为合只能作为 的本征函数的零级近似。的本征函数的零级近似。能量的一级修正能量的一级修正 既然把自旋和轨道相互作用视作微扰，那么计算微扰矩阵既然把自旋和轨道相互作用视作微扰，那么计算微扰矩阵元，解久期方程就可得到本征能量的一级修正。元，解久期方程就可得到本征能量的一级修正。的两套基的两套基矢都可用来计算微扰矩阵元，但耦合表象基矢矢都可用来计算微扰矩阵元，但耦合表象基矢 对于对于 来说是其本征矢，微扰来
2、说是其本征矢，微扰 在此表象中的矩阵元是对角在此表象中的矩阵元是对角化的，事实上不必解久期方程而直接由化的，事实上不必解久期方程而直接由 的对角元素写出的对角元素写出能量的一级修正。能量的一级修正。采用采用 计算微扰矩阵元计算微扰矩阵元 由公式由公式 可得可得若不考虑核外电子对核的屏蔽，则若不考虑核外电子对核的屏蔽，则 ，这样，这样（21）（22）（23）式中式中 （23）代入（）代入（22）后可见，对于给定）后可见，对于给定 的的 ，能量还与，能量还与 有关，而有关，而 可取可取 和和 两个两个值，从而得到考虑值，从而得到考虑 耦合时对应耦合时对应 与与 时时能量的一级近似为能量的一级近似为
3、式中式中 为精细结构常数。（为精细结构常数。（24）式表明，考虑自旋）式表明，考虑自旋和轨道相互作用后，对于原来只与和轨道相互作用后，对于原来只与 有关的一个能级有关的一个能级分裂成能量为分裂成能量为 的两个能级；与此相应，原来由能级的两个能级；与此相应，原来由能级（24）向其他能级跃迁而发出的每一条谱线，在碱金属的不同谱向其他能级跃迁而发出的每一条谱线，在碱金属的不同谱线中，可分别观测到两条或三条谱线，这就是光谱线的精线中，可分别观测到两条或三条谱线，这就是光谱线的精细结构。由（细结构。由（24）式可见，每个能级分裂的间隔随原子序）式可见，每个能级分裂的间隔随原子序数的增大而增大，故原子序数
4、较大的碱金属光谱的精细结数的增大而增大，故原子序数较大的碱金属光谱的精细结构现象比较显著。当然，构现象比较显著。当然，的能级是不会分裂的。的能级是不会分裂的。若将类氢原子放入弱磁场若将类氢原子放入弱磁场 中，必须同时考虑自旋中，必须同时考虑自旋轨轨道相互作用及外磁场对自旋、轨道磁矩的作用。这时哈密道相互作用及外磁场对自旋、轨道磁矩的作用。这时哈密顿量是顿量是 其中其中 的本证方程为的本证方程为 （25）（26）（27）（28）由于外磁场较弱，我们可以将外磁场作用项看作微扰。但由于外磁场较弱，我们可以将外磁场作用项看作微扰。但是，是，的本征值的本征值 仍具有仍具有 度简并，故（度简并，故（28）
5、式的求）式的求解仍需采用简并微扰法，用解仍需采用简并微扰法，用 的本征矢的本征矢 计算微扰矩阵计算微扰矩阵元。但由于元。但由于 的存在，的存在，和和 都不与都不与 对易，即总角动量对易，即总角动量 已不再是守恒量，因而已不再是守恒量，因而 也不再是好量子数，且也不再是好量子数，且 在在 表象基矢中的矩阵成为非对角的。不过，由于是弱场，表象基矢中的矩阵成为非对角的。不过，由于是弱场，略去不同略去不同 值的状态之间的耦合，近似的将值的状态之间的耦合，近似的将 矩阵视为矩阵视为对角矩阵，选取磁场对角矩阵，选取磁场 沿沿 轴方向，微扰矩阵为轴方向，微扰矩阵为（29）式中式中 ，最后一步是将微扰矩阵近似
6、看作对角，最后一步是将微扰矩阵近似看作对角化的，以便使久期方程对角化，直接写出能量的一级修正。化的，以便使久期方程对角化，直接写出能量的一级修正。但耦合表象基矢但耦合表象基矢 不是不是 的本征矢，必须把的本征矢，必须把 按按（19）式展开，才能计算）式展开，才能计算当当 时时 （30）同理，当同理，当 时时计及弱磁场带来的影响后，能量的一级近似为计及弱磁场带来的影响后，能量的一级近似为相应的零级近似波函数仍由（相应的零级近似波函数仍由（19）或（）或（20）给出，但现在）给出，但现在的能级已对的能级已对 解除了简并。解除了简并。（31）（32）下图给出下图给出Na黄光的能级分裂情况黄光的能级分
7、裂情况 无耦合无耦合 耦合耦合 在弱磁场中在弱磁场中 由图可见，能级分裂情况是：考虑由图可见，能级分裂情况是：考虑 耦合时，耦合时，能级能级 不分裂，记为不分裂，记为 ；能级能级 ，因因 ，故分裂成两个：，故分裂成两个：和和 ，从而形成光谱线的精细结构。加入弱磁场后，同时考虑从而形成光谱线的精细结构。加入弱磁场后，同时考虑耦合则前述能级将按耦合则前述能级将按 分裂成分裂成 个，其中个，其中 为半奇为半奇数，数，为偶数。光谱线的产生要受选择定则的限制，已为偶数。光谱线的产生要受选择定则的限制，已证明偶极辐射的选择定则为证明偶极辐射的选择定则为 ，且偶极辐射与自旋，且偶极辐射与自旋无关，即无关，即
8、 ，所以这时选择定则为，所以这时选择定则为 。依此定。依此定则，图中光谱线则，图中光谱线 分裂为四条，分裂为四条，分裂为六条，即反常塞分裂为六条，即反常塞曼效应曼效应。与观测结果一致。与观测结果一致。角动量算符角动量算符 本征值的阶梯算符本征值的阶梯算符 阶梯算符亦称升降算符，在量子力学中是一个十分有用阶梯算符亦称升降算符，在量子力学中是一个十分有用的工具，它可以使问题的计算独辟蹊径。前面在粒子占有数的工具，它可以使问题的计算独辟蹊径。前面在粒子占有数表象中使用的表象中使用的 就是一维谐振子能量算符的本征值的阶就是一维谐振子能量算符的本征值的阶梯算符，下面介绍角动量算符梯算符，下面介绍角动量算
9、符 本征值的阶梯算符本征值的阶梯算符定义定义注意注意 不是厄米算符，不是厄米算符，容易证明，容易证明（33）（34）的乘积算符的乘积算符5.2 的作用的作用 设设 的共同本征矢为的共同本征矢为 ，本征值分别为，本征值分别为和和 ，则由（，则由（34）式可得）式可得 （35）（36）（37）可见可见 仍然是仍然是 的共同本征矢，相应的本征值的共同本征矢，相应的本征值为为 和和 。显然，。显然，对应对应 的本征值相应的本征值相应增、减了增、减了 ，由于本征矢是由本征值即量子数所唯一确定，由于本征矢是由本征值即量子数所唯一确定的，所以断定的，所以断定 表征的应该是算符表征的应该是算符 的量子数为的量
10、子数为 和和 的本征矢的本征矢 ，即二者都是，即二者都是 的本征值为的本征值为的本征矢，他们之间最多只能相差一个归一化常数。的本征矢，他们之间最多只能相差一个归一化常数。（38）（39）确定系数确定系数 和和考虑到考虑到 ，所以，所以 由（由（36）式又有）式又有 比较可得比较可得 （40）（41）（42）取其实数值取其实数值 同理可得同理可得 若用若用 左乘上式两端，得左乘上式两端，得 的矩阵对的矩阵对 是非对角的，是非对角的，只有只有 的矩阵元的矩阵元不为零，不为零，只有只有 的矩阵元不为零。的矩阵元不为零。（43）（44）（45）（46）为了避免在为了避免在 表象中使用表象中使用 带来的麻烦，往往导出带来的麻烦，往往导出 对对 的本征态作用，使计算变的简单方便。的本征态作用，使计算变的简单方便。以上讨论，适用于任何性质的角动量算符，如轨道角动以上讨论，适用于任何性质的角动量算符，如轨道角动量量 、自旋角动量、自旋角动量 等。等。（47）例题例题 态中，态中，的本征值。的本征值。解：解：由（由（45）可得）可得 所以所以