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1、一一维势场中的粒子能量的中的粒子能量的一般性一般性质一维势场中的粒子能量的一般性质一维势场中的粒子能量的一般性质一维一维定态薛定谔方程定态薛定谔方程求定求定态问题：一一维：归一化条件，波函数的标准条件，归一化条件，波函数的标准条件，边界条件。边界条件。U（x）*=U（x），即），即U（x）取值。）取值。一维问题的一般性质一维问题的一般性质定理定理1：设：设是方程（是方程（1）的一个解，对应的能量本征值是）的一个解，对应的能量本征值是E，则，则也是方程的一个解，对应的能量也是也是方程的一个解，对应的能量也是E。证：方程（证：方程（1）取复共轭，注意）取复共轭，注意E取实值，取实值，容易证明。，容
2、易证明。如果对应于能量的某个本征值如果对应于能量的某个本征值E，方程（，方程（1）的解无简并，则可）的解无简并，则可取为实解。取为实解。定理定理2：对应能量的某个本征值：对应能量的某个本征值E，总可以找，总可以找到方程（到方程（1）的一组实解，凡是属于）的一组实解，凡是属于E的任何的任何解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。证：如果证：如果是实解是实解如果如果是复解是复解，是方程（是方程（1）的解，）的解，且：且：和和也也是方程（是方程（1）的解，属于能量）的解，属于能量E。均为实解。均为实解。和和均可以表示为均可以表示为和和的线形叠的线形叠加。加。定理定
3、理3：设：设U（x）具有空间反射不变性，）具有空间反射不变性，U（-x）=U（x）。如果）。如果是方程（是方程（1）的对）的对应能量的本征值应能量的本征值E的解，则的解，则也是方程也是方程（1）对应能量）对应能量E的解。的解。证证（略）（略）定理定理4：设：设，则对应任何一，则对应任何一个能量本征值个能量本征值E，总可以找到方程（，总可以找到方程（1）的一）的一组解，而属于能量本征值组解，而属于能量本征值E的任何解，都可以的任何解，都可以用它来展开。用它来展开。证：证：构造两个函数构造两个函数和和均为方程（均为方程（1）的解。）的解。和和均可以表示为上述两个函数的叠均可以表示为上述两个函数的叠
4、加。加。定理定理5：对于阶梯性方位势，：对于阶梯性方位势，有限，则能量本征函数有限，则能量本征函数及其导数必定是连及其导数必定是连续的。续的。定理定理6：对于一维粒子，设：对于一维粒子，设与与均为方均为方程（程（1）的属于同一能量的）的属于同一能量的E的解，则：的解，则：定理定理7：设粒子在规则势场中运动，如存在束：设粒子在规则势场中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。缚态，则必定是不简并的。束缚态束缚态（boundstate）指粒子局限在有限空）指粒子局限在有限空间中。间中。2.7一维一维(无限深无限深)势阱势阱一、一维势阱实例一、一维势阱实例如：金属中的自由电子。如：金属中的自由电子。金
5、属粒子有规则的排列成行，金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，）电子在金属内部势能为常数，认定为零；认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。似认为是一个方势阱形式。二、微分方程二、微分方程的三种形式解。的三种形式解。这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：a.b.c.依方便依方便,随取一种形式的解随取一种形式的解.三、三、一维无限深势阱求解一维无限深势阱求解1、一维无限深势阱、一维无限深势阱一个粒子处在这样势阱一个粒子处在这样势阱内内,其质量为其质量为.具体例子具体例子:金属中电子可以金属中电子可以看成处在有限深势阱内看成处在有限深势阱内.V(x)-a0a1.2、一一维维无无限限深深势势阱阱的的薛薛定定谔谔方方程程与与求求解解.这这是是定定态态问问题题,只只需需解解出出定定态态波波函函数数n与与定态能量定态能量En即可即可.定态薛定谔方程定态薛定谔方程:分区求解分区求解,再利用波函数连续条件再利用波函数连续条件,求出各求出各个系数个系数,本征波函数与能量本征值本征波函数与能量本征值.定态波函数定态波函数:n=偶数；偶数；或者，或者，n=奇数。奇数。可合并为一个式子可合并为一个式子:由归一化定出由归一化定出,为为总定态波函数为总定态波函数为: