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1、一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.1.引例引例:曲线形构件的质量采用第1页/共35页设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对第2页/共35页如果 L 是 xoy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否
2、可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.第3页/共35页3.性质（k 为常数)(由 组成)(l 为曲线弧 的长度)第4页/共35页二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 第5页/共35页点设各分点对应参数为对应参数为 则第6页/共35页说明说明:因此积分限必须满足(2)注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.因此第7页/共35页如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广:设空间曲线弧的参数方程为则第8页/共35页一代、二换、三
3、定限一代、二换、三定限代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换：换弧微元定限：定积分限，下限小参数，上限大参数第9页/共35页例例1.计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)第10页/共35页几何与几何与物理意义物理意义第11页/共35页（4）曲线弧对 轴及 轴的转动惯量（5）曲线弧的质心坐标第12页/共35页例例2.计算半径为 R,中心角为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解解:建立坐标系如图,则 第13页/共35页例例3.计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得第14页/共35页例例4.计算曲线积分 其
4、中为螺旋的一段弧.解解:线第15页/共35页例例5.设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示提示:分段积分第16页/共35页注注 关于对弧长的曲线积分的对称性关于对弧长的曲线积分的对称性 若 关于 轴对称当 时，当 时，其中 是 的关于 轴对称的部分弧段第17页/共35页 若 关于 轴对称当 时，当 时，其中 是 的关于 轴对称的部分弧段第18页/共35页与重积分的对称性十分类似与重积分的对称性十分类似 若 关于原点对称当 时，当 时，其中 是 的对称的部分弧段 若 关于直线 对称第19页/共35页例例6.计算其中为球面 被平面 所截的圆周.解解:由对称性可知第20页/共35页思考思
5、考:例6中 改为计算解解:令,则圆的形心在原点,故,如何第21页/共35页例例7.计算其中为球面解解:化为参数方程 则第22页/共35页例例8.有一半圆弧其线密度 解解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.第23页/共35页内容小结内容小结1.定义定义2.性质性质(l 曲线弧 的长度)第24页/共35页3.计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧第25页/共35页思考与练习思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示提示:原式=利用对称性分析分析:第26页/共35页2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于 z 轴的转动惯量(2)求它的质心.解解:设其密度为 (常数).(2)L的质量而(1)第27页/共35页故重心坐标为第28页/共35页备用题备用题1.设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示提示:分段积分第29页/共35页2.L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为第30页/共35页3.解解第31页/共35页第32页/共35页4.解解(1)L：(2)L：第33页/共35页5.解解第34页/共35页感谢您的欣赏！第35页/共35页