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1、其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定 指定了侧的曲面叫指定了侧的曲面叫有向曲有向曲面面,表示:其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共26页二、二、对坐标的曲面积分的概念与性对坐标的曲面积分的概念与性质质 1.引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量.分析:若 是面积为S 的平面,则流量法向量:流速为常向量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共26页对一般的对一般的有向曲面有向曲面 ,用“大化小,常代变,近似和,取极限”对
2、稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共26页设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R 叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义定义.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共26页引例中,流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面上对 z,x 的曲面积分;称为R 在有向曲面上对 x,y 的曲面积分.称为P 在有向曲面上对 y,z 的曲面积分;若记 正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写
3、成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共26页3.性质性质(1)若之间无公共内点,则(2)用 表示 的反向曲面,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共26页三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理:设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数,则证:取上侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共26页 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面 取下侧,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页例例1.计算计算其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解:利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取
4、下侧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共26页解:把 分为上下两部分根据对称性 思考:下述解法是否正确:例例2.计算曲面积分计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共26页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共26页例例3.设设S 是球是球面面的外侧,计算解:利用轮换对称性,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共26页四、两类曲面积分的联四、两类曲面积分的联系系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共26页令向量形式(A 在 n 上的投影)机动 目录 上页 下页 返回
5、 结束 第14页/共26页例例4.设设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角,计算解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共26页例例5.计算曲面积分计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有 原式=旋转抛物面介于平面 z=0 及 z=2 之间部分的下侧.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共26页原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共26页内容小结内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共26页性质性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关,一个与 机动 目录 上页
6、 下页 返回 结束 第19页/共26页2.常用计算公式及方常用计算公式及方法法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共26页当当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共26页思考与练习思考与练习1.P167 题2提示:设则 取上侧时,取下侧时,2.P184 题 13.P167 题3(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共26页是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示:求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分P167 题题3(3).设设作业 P167 3(1),(2),(4);4(1),(2)第六节 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共26页备用题备用题 求求取外侧.解:注意号其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共26页利用轮换对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共26页感谢您的欣赏！第26页/共26页