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1、其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲指定了侧的曲面叫有向曲面面,表示:其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共22页二、二、对坐标的曲面积分的概念与性对坐标的曲面积分的概念与性质质 1.引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量.分析分析:若 是面积为S 的平面,则流量法向量:流速为常向量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共22页对一般的有向曲面对一般的有向曲面 ,用“大化小,常代变,近似和,取
2、极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共22页设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R 叫做被积函数被积函数;叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义定义.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共22页引例中,流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;称为R 在有向曲面上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y,z 的曲面积分的
3、曲面积分;若记 正侧正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共22页3.性质性质(1)若之间无公共内点,则(2)用 表示 的反向曲面,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共22页三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理:设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数,则证证:取上侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共22页 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面 取下侧,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共22页例例1.计算计算其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方
4、体的整个表面的外侧.解解:利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共22页解解:把 分为上下两部分根据对称性 思考思考:下述解法是否正确:例例2.计算曲面积分计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共22页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共22页四、两类曲面积分的联四、两类曲面积分的联系系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共22页令向量形式(A 在 n 上的投影)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共22页例例3.设设是
5、其外法线与 z 轴正向夹成的锐角,计算解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共22页例例4.计算曲面积分计算曲面积分其中解解:利用两类曲面积分的联系,有 原式=旋转抛物面介于平面 z=0 及 z=2 之间部分的下侧.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共22页原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共22页内容小结内容小结定义定义:1.两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共22页性质性质:联系联系:思考思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关,一个与 机动 目录 上页 下
6、页 返回 结束 第18页/共22页2.常用计算公式及方常用计算公式及方法法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(3)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共22页当当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共22页是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示提示:求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分P167 题题3(3).设设作业作业 P167 3(1),(2),(4)第六节 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共22页感谢您的欣赏！第22页/共22页