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1、v曲线形构件的质量 在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应该根据各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计的不完全一样。因此，可以认为这个构件的线密度（单位长度的质量）是变量。第1页/共23页把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)v曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si 第2页/共23页令maxs1 s2 sn0 则整个曲线形构件的质量为 整个曲线形构件的质量近似为 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在
2、点(x y)处的线密度为(x y)v曲线形构件的质量 把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si 第3页/共23页将L任意分成n个小弧段 s1 s2 sn(si也表示第i个小弧段的长度)在每个小弧段si上任取一点(i i)作和 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界 如果当maxs1 s2 sn0时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(x y)在曲线弧 L上对弧长的曲线积分 记作其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段 第4页/共23页说明 当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x
3、 y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上是连续的 对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分 曲线形构件的质量就是曲线积分 的值 第5页/共23页如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定说明 函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 第6页/共23页性质1 设c1、c2为常数 则 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则 性质3 设在L上f(x y)g(x y)则 特别地
4、有 第7页/共23页提示 根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y)则曲线形构件L的质量为 另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为x(t)y(t)(t)则曲线形构件L的质量为曲线形构件L的质量元素为 第8页/共23页注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.第9页/共23页 根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y)则曲线形构件L的质量为 另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为x(t)y(t)(t)则曲线形构件L的质量为于 是 dtttttfdsyxfL)()()(),(),(22 第10页/共23页v定理 设f(x y)在曲线弧L上有定
5、义且连续 L的参数方程为x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在 上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限 则曲线积分dsyxfL),(存在 并 且 第11页/共23页注意:特殊情形第12页/共23页推广:第13页/共23页空间R3中的曲线：x=(t),y=(t),z=(t),txyzO()第14页/共23页例例1.1.计计算算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解:上点 O(0,0)第15页/共23页练习解(利用了偶倍奇零的性质）第16页/共23页（注意技巧）例2解第17页/共23页练习解第18页/共23页例3解 由对称性,知第19页/共23页如果方程为极坐标形式:则第20页/共23页 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧第21页/共23页计算计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得第22页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页