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1、1)“大化大化小小”.2)“常代变常代变”把把L分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段近似代替近似代替,则有则有所做的功为所做的功为F 沿沿则则用有向线段用有向线段 上任取一点上任取一点在在第1页/共18页3)“近似近似和和”4)“取极限取极限”(其中其中 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)第2页/共18页2.定定义义.设设 L 为为xOy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,
2、则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中其中,L 称为称为积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线.称为称为被积函数被积函数,在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限记作记作第3页/共18页若若 为空间曲线弧为空间曲线弧,记记称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记,对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作类似地类似地,第4页/共18页第二型曲线积分与曲线第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关，对同一曲线，的方向有关，对同一曲线，当方向由当方向由 A 到到 B 改为由改为由 B 到到 A 时，每
3、一小曲线段的时，每一小曲线段的方向都改变，从而小曲线段的投影方向都改变，从而小曲线段的投影也随之也随之改变符号，故有改变符号，故有而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的乘积，它与曲线乘积，它与曲线 L 的方向无关的方向无关.这是两类曲线积分的这是两类曲线积分的一个重要区别一个重要区别.定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!第5页/共18页定理定理:在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定义且上有定义且L 的参数方程为的参数方程为则曲线积分则曲线积分
4、连续连续,存在存在,且有且有二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法第6页/共18页特殊情形特殊情形第7页/共18页第8页/共18页例例1.计算计算其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线解法解法1 取取 x 为参数为参数,则则解法解法2 取取 y 为参数为参数,则则从点从点的一段的一段.第9页/共18页例例2.计算计算其中其中 L 为为(1)半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周,方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2)从点从点 A(a,0)沿沿 x 轴到点轴到点 B(a,0).解解:(1)取取L的参数方程为的参数方程为(2)取取 L 的方程为的方程为则则则则第
5、10页/共18页例例3.计算计算其中其中L为为(1)抛物线抛物线 (2)抛物线抛物线 (3)有向折线有向折线 解解:(1)原式原式(2)原式原式(3)原式原式第11页/共18页1.定义定义2.性质性质(1)L可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2)L 表示表示 L 的反向弧的反向弧对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结第12页/共18页3.计计算算 对有向光滑弧对有向光滑弧 对有向光滑弧对有向光滑弧第13页/共18页 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :第14页/共18页1.已已知知为折线 ABCOA(如图),计算提示提示:思考与练习思考与练习第15页/共18页2.设曲线设曲线C为曲为曲面面与曲面从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解解:(1)第16页/共18页(2)原式=令利用“偶倍奇零”第17页/共18页感谢您的欣赏！第18页/共18页