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1、 必修四必修四 平面向量平面向量小小 结结黑龙江省伊春市第一中学黑龙江省伊春市第一中学厉瀛虹厉瀛虹知知识识网网络络平面向量加法、减法加法、减法 数乘向量数乘向量坐标表示坐标表示两向量数量积两向量数量积零向量、单位向量、零向量、单位向量、共线向量、相等向量共线向量、相等向量向量平行的充要条件向量平行的充要条件平面向量基本定理平面向量基本定理两向量的夹角公式两向量的夹角公式向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件两点的距离公式两点的距离公式向量的概念向量的概念解决解决图形图形的平的平行和行和比例比例问题问题解决解决图形图形的垂的垂直和直和角度角度,长度长度问题问题向量定义：向量定义：既有既有大小大小又
2、有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量：长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念一、平面向量概念ABxyO(x,y)Axy一、平面向量概念一、平面向量概念几何表示几何表示:有向线段有向线段向向量量的的表
3、表示示字母表示字母表示:坐标表示坐标表示:(x(x，y)y)(3)(3)若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则 AB=AB=(x(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1)向量的模（长度）向量的模（长度）1.设设 a=(x ,y),则则2.若表示向量若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别 为为A A(x1,y1)、B(x2,y2)，则，则一、平面向量概念一、平面向量概念1.向量的加法运算向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则坐标运算坐标运算:则则a
4、 +b=重要结论：重要结论：AB+BC+CA=0设设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)AC OC二、平面向量的线性运算二、平面向量的线性运算2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则：）减法法则：OAB2）坐标运算）坐标运算:若若 a=(x1,y1),b=(x2,y2)则则a b=3 3.加加法减法运算律法减法运算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：BA(x1 x2,y1 y2)OAOB=二、平面向量的线性运算二、平面向量的线性运算4.实数实数与向量与向量 a 的积的积定义定义：坐标运算：坐标运算：a a是
5、一个是一个是一个是一个向量向量.它的它的它的它的长度长度长度长度|a a|=|=|a|；它的它的它的它的方向方向方向方向若若a a=(x,y),则则 a a=(x,y)=(x,y)(2)(2)当当当当 0 0时时时时,a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相反相反相反相反.(1)(1)当当当当00时时时时,a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相同相同相同相同；二、平面向量的线性运算二、平面向量的线性运算（1）.向量的夹角向量的夹角:两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ，,则则叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角夹角的范围：夹角的范围：与与
6、反向反向OAB 与与 同向同向OAB记作记作与与 垂直，垂直，OAB注意注意:两向量两向量必须共起点。必须共起点。OAB三、平面向量的数量积运算三、平面向量的数量积运算1、平面向量数量积的定义：、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：、数量积的几何意义：OABB1(2).数量积数量积4、运算律、运算律:3、数量积的坐标运算、数量积的坐标运算5、数量积的主要性质及其坐标表示：、数量积的主要性质及其坐标表示：ABC定理定理1:两个非零向量两个非零向量 平行平行(方向相同或相反方向相同或相反)四、平面向量的关系四、平面向量的关系存在唯一实数存在唯一实数，使得，使得【平面向量的基本定理平面向量的
7、基本定理】如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 ，有且只有有且只有一对实数一对实数 使使向量垂直充要条件的两种形式向量垂直充要条件的两种形式:四、平面向量之间关系向量平行向量平行(共线共线)充要条件的两种形式充要条件的两种形式:五五.典例讲解典例讲解考查向量共线、平行、垂直考查向量共线、平行、垂直考查数量积、模及夹角考查数量积、模及夹角向量与三角函数综合题向量与三角函数综合题2五五.典例讲解典例讲解考查向量共线、平行、垂直考查向量共线、平行、垂直解：解：同理可得同理可得 =120,五五.典例讲解典例讲解考
8、查数量积、模及夹角考查数量积、模及夹角2向量与三角函数综合题向量与三角函数综合题五五.典例讲解典例讲解六六.解题思想方法解题思想方法解解解解平平平平面面面面向向向向量量量量问问问问题题题题的的的的方方方方法法法法3.3.几何法几何法1.1.基底法基底法2.2.坐标法坐标法1.1.基底法基底法xy2.2.坐标法坐标法M3.3.几何法几何法六六.解题思想方法解题思想方法1.几何法2.基底法3.坐标法课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结知识网络知识网络-6课后作业课后作业(A)(-3,6)(B)(3,-6)(C)(6,-3)(D)(-6,3)(A)(-3,6)(B)(3,-6)(C)(6,-3)(D)(-6,3)()()A A-1-1