圆轴的扭转学习.pptx

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1、 从以上实例可以看出，杆件产生扭转变形的受力特点是:在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、方向相反的力偶，如图9-1b9-1b。杆件的变形特点是:各横截面 绕轴线发生相对转动(图9-9-2)2)，杆件的这种变形称为扭转变形。工程中把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴，工程中大多数轴在传动中除有扭转变形外，还伴随有其他形式的变形本章只研究等截面圆轴的扭转问题。图9-2第1页/共38页 为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。它们的换算关系：式中，Me为外力偶矩，单位：Nm;P

2、为轴传递的功率，单位：kW;n为轴的转速，单位：r/min 9.2.1 外力偶矩的计算9.2 扭矩与扭矩图第2页/共38页 注意：在确定外力偶矩Me的转向时，凡输入功率的主动外力偶矩的转向与轴的转向一致；凡输出功率的从动力偶矩的转向与轴的转向相反。第3页/共38页 圆轴在外力偶矩作用下发生扭转变形时，其横截面上将产生内力，求内力的方法仍用截面法。如图9-3a9-3a所示。9.2.2 扭矩和扭矩图图9-3第4页/共38页 以受扭转圆轴为例，假想地将圆轴沿任一横截面1-11-1切开，并取左段作为研究对象，如图9-3b9-3b。由于整个轴是平衡的，所以左段也处于平衡状态。轴上已知的外力偶矩为M M，

3、因为力偶只能与力偶来平衡，显然截面1-1上分布的内力必构成力偶，内力偶矩以符号T表示，方向如图9-39-3所示，其大小可由左段的平衡条件乏 求得。第5页/共38页 由此可见，杆件扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(Nm)，或用千牛米(kNm)表示 如取截面的右侧为研究对象（图9-3c9-3c），也可得到同样的结果。取截面左侧与取截面右侧为研究对象所求得的扭矩，数值相等而转向相反，因为它们是作用与反作用的关系。第6页/共38页 为了使从两段杆上求得的同一截面上的扭矩的符号相同，扭矩的正负号用右手螺

4、旋法则判定：将扭矩看作矢量，右手的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指向，若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正（图9-4a、b）；反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负（图9-4c、d）；这样，同一截面左右两侧的扭转数值相等，而且符号相同。图9-4第7页/共38页 通常，扭转圆轴各截面上的扭矩是不同的，扭矩 T T 是截面的位置x x函数，即 以与轴线平行的x x轴表示横截面的位置，以垂直于x x轴的T T轴表示扭矩，则由函数T=T(x)绘制的曲线称为扭矩图。第8页/共38页 例题9-1 图9-5a所示圆截面杆各截面处的外力偶矩大小分别为Me1=6M，Me2=M，Me3=2M

5、，Me4=3M。求杆在横截面1-1、2-2、3-3处的扭矩。第9页/共38页 从本例中可以归纳出截面法求扭矩的方法如下：(1)(1)假设某截面上的扭矩均为正号，则该截面上的扭矩等于截面一侧(左或右)轴上的所有外力偶矩的代数和。(2)计算扭矩时外力偶矩正负号的规定是:使右手拇指与截面外法线方向一致，若外力偶矩的转向与其他四指的转向相同，则取负号;反之取正号这样，正的外力偶矩产生正的扭矩，负的外力偶矩产生负扭矩当外力偶矩的代数和为正时，截面上的扭矩为正;反之为负。第10页/共38页 例题9-2 图9-6a为带轮传动装置的计算简图。动力从带轮B输入，其功率PB=60kW，输出功率分别为PA=28kW

6、，PC=20kW，PD=12 kW。轴的转速n=500r/min略去轴承的摩擦，试绘制该轴的扭矩图。第11页/共38页 在构件受剪部件中的某点K取一微小的正六面体单元体，如图9-7a9-7a所示，将它放大，如图9-7b9-7b所示在与剪力相应的切应力作用下，单元体的右面相对于左面发生相对错动，使原来的直角改变了一个微小角度 ，这就是切应变 。9.3 剪切胡克定律、切应力互等定律图9-7第12页/共38页 实验表明：当切应力不超过材料的比例极限 时，切应力与切应变 成正比(图9-8)9-8)。这就是材料的剪切胡克定律：式中，比例常数G称为材料的切变模量，与材料有关，是表示材料抵抗剪切变形能力的物

7、理量，它的单位与应力的单位相同，常用GPa。一般钢材的G约为80 GPa，铸铁的约为45 GPa。图9-8第13页/共38页 由于所研究的受剪构件是平衡的，因而从受剪构件中取出的K K点(即单元体)也应该是平衡的。根据剪切概念可以知道，单元体右侧面和左侧面上的切应力是相等的，因而都用 来表示这两个面上的切应力的合力形成了一个力偶，故上下两侧面上必定存在方向相反的一切应力 存在（如图9-7b9-7b），并形成又一力偶，使正六面体维持平衡由 得：为了明确切应力的作用方向，对其作如下号规定：使单元体产生顺时针方向转动趋势的切应力为正，反之为负，则上式应改写为：第14页/共38页 上式表明，单元体互相

8、垂直两个平面上的切应力必定是同时成对存在，且大小相等，方向都垂直指向或背离两个平面的交线，这一关系称为切应力互等定理。在上述单元体的上下左右四个侧面上，只有切应力而无正应力，这种情况称为纯剪切。应当注意，对于本章中的铆钉、键、销等连接件，其剪切面上的变形比较复杂，除剪切变形外还伴随着其他形式的变形，因此这些联接件实际上不可能发生纯剪切。第15页/共38页 为了求得圆轴扭转时横截面上的应力，必须了解应力在截面上的分布规律，为此，首先进行扭转变形的实验观察，作为分析问题的依据。取图9-9a9-9a所示圆轴，实验前，先在它的表面上划若干垂直于轴线的圆周线和平行于轴线的纵向线；实验时，在圆轴两端加力偶

9、矩为M的外力偶，圆轴即发生扭转变形，如图9-9b9-9b。在变形微小的情况下，可以观察到如下现象：(1)(1)两条纵向线倾斜了相同的角度，原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平行四边形。(2)(2)轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变。9.4 圆轴扭转时的应力和强度条件第16页/共38页图9-9第17页/共38页 根据观察到的这些现象，可推断，圆轴扭转前的各个横截面在扭转后仍为互相平行的平面，只是相对地转过了一个角度这就是扭转时的平面假设。根据平面假设，可得两点结论 (1)(1)圆轴横截面变形前为平面，变形后仍为平面，其大小和形状不变，由此导出横截面上沿半径方向无切应力；又由于相邻截

10、面的间距不变，所以横截面上没有正应力。(2)(2)由于相邻截面相对地转过了一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，纵向线倾斜了同一角度 ，出现了切应变，故横截面上必然有垂直半径方向的切应力存在。第18页/共38页图9-10第19页/共38页 为了求得切应力在横截面上的分布规律，我们从轴中取出微段dxdx来研究(图9-10)9-10)。圆轴扭转后，微段的右截面相对于左截面转过一个微小角度 ，半径O2B转到O2B1，半径为 的内层圆柱上的纵线EF倾斜到EF1，倾斜角为 ，此倾斜角 即为一切应变。在弹性范围内，剪应变 是很小的，由图9-109-10中的几何关系有：即 第20页/共38页 由于 对

11、同一横截面上的各点为一常数，故上式表明：横截面上任一点的切应变 与该点到圆心的距离 成正比，这就是圆轴扭转时的变形规律。根据剪切胡克定律，横截面上距圆心为 处的切应力 ,与该处的剪应变 成正比，即 将式 代入上式，得 第21页/共38页 上式说明：横截面上任一点处的切应力的大小，与该点到圆心的距离 成正比，也就是说，在截面的圆心处切应力为零，在周边上切应力最大。显然，在所有与圆心等距离的点处，切应力均相等。实心圆轴和空心圆轴横截面上的切应力分布规律如图9-119-11所示，切应力的方向与半径垂直。图9-11第22页/共38页 上式虽然表明了切应力的分布规律，但其中 尚未知，所以必须利用静力平衡

12、条件建立应力与内力的关系，才能求出切应力。在横截面上离圆心为 的点处，取微面积dA(图9-12)9-12)，微面积上的内力系的合力是 ，它对圆心的力矩等于 ,整个截面上这些力矩的总和等于横截面上的扭矩示。即图9-12第23页/共38页 式中:A:A为整个横截面的面积将式 代入上式，得 因G G，均为常量，故上式可写成 式中，积分 与横截面的几何形状、尺寸有关，它表示截面的一种几何性质，称为横截面的极惯性矩，用I Ip表示，即第24页/共38页 其量纲是长度的四次方，单位为mm4或m4。于是，式 可写成 或 将上式代入式 ，即得横截面上距圆心为 处的切应力计算公式为 对于确定的轴T,I,Ip都是

13、定值。因而最大切应力必在截面周边各点上，即 =R时 。第25页/共38页 故 若令 则式 可写成如下形式 Wp称为抗扭截面系数，其单位为mm3或m3 必须指出，由实验证明，平面假设只对圆截面直杆才是正确的，只适用于等直圆杆；另外，在导出公式时，应用了剪切胡克定律，所以只有在 不超过材料的剪切比例极限时，上述公式才适用。第26页/共38页 1.实心圆截面 对实心圆截面，可取半径为 宽度为 的圆环形微面积(图9-13)，如，则实心圆截面的极惯性矩I Ip p为 9.4.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系数WP的计算图9-13第27页/共38页 实心圆截面的抗扭截面系数Wp为 2.2.空心圆截面 对

14、空心圆截面(图9-14)其惯性矩I Ip可以采用和实心圆截面相同的方法求出 如令d/D=a，则上式可写成 第28页/共38页圆环形截面的抗扭截面系数Wp为 为保证圆轴正常工作，应使危险截面上最大工作切应力 不超过材料的许用切应力由此得出圆轴扭转的强度条件：扭转强度条件也可用来解决强度校核、选择截面尺寸及确定许可载荷等三类计算问题。9.4.3 圆轴扭转时的强度条件第29页/共38页 例题9-3 阶梯轴AD的AB段为实心部分，直径d1=40；BD段为空心部分，外径为D=60，内径为d=50（如图9-15所示）。外力偶矩数值分别为：MeC=1.8kNm、MeA=0.8kNm、MeD=1kNm，材料许

15、用切应力=80MPa，试校核该轴的强度。第30页/共38页 如前所述，轴的扭转变形用横截面问绕轴线的相对转角即扭转角甲来表示由式 可知，相距dx的两截面间的扭转角为 所以，对于相距l l的两横截面间的扭转角则为9.5.1 圆轴扭转时的变形计算9.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件第31页/共38页 上式就是等直圆轴相对转角的计算公式，相对转角 的单位是弧度(rad)，其转向则与扭矩的转向相同，所以扭转角的正负随扭矩的正负而定。对于阶梯状圆轴以及扭矩分段变化的等截面圆轴，须分段计算相对转角，然后求代数和。由上式可以看出，当T和L一定的情况下，GI Ip越大，则扭转角 越小，说明圆轴的刚度越大故称GI

16、 Ip为截面的抗扭刚度，它反映了材料和横截面的几何因素对扭转变形的抵抗能力。第32页/共38页 圆轴扭转时，不仅要满足强度条件，还应有足够的刚度，否则将会影响机械的传动性能和加工所要求的精度。工程上通常是限制单位长度上的转角 ，使它不超过规定的许可转角 。于是，建立圆轴扭转的刚度条件为 式中，的单位为rad/m 工程实际中，许用转角 的单位为度/米(/m)，考虑单位的换算，则得9.5.2 圆轴扭转时的刚度条件第33页/共38页 例题9-4 机床齿轮减速箱中的二级齿轮如图9-16所示。轮C输入功率PC=40kW，轮A、B输出功率分别为PA=23kW、PB=17kW，轴的转速n=1000r/min

17、，材料是切边模量G=80GPa，许用应力=40MPa，单位长度许用扭角=1（）/m。试设计轴的直径。第34页/共38页 (1)(1)圆轴扭转时，轴上所受的载荷是作用面垂直于轴线的力偶，用截面法和平衡条件可以求出内力扭矩T。扭转圆轴横截面上只有切应力，其方向垂直于半径；其大小与到截面圆心的距离成正比，在圆心处为零，边缘处最大，呈线性分布最大切应力计算公式 (2)(2)Wp是圆轴横截面的抗扭截面系数，它是度量轴抵抗扭转破坏能力的一个几何量 对实心圆截面 对空心圆截面 小结第35页/共38页 (3)(3)圆轴扭转强度条件是 利用强度条件可以解决强度校核、确定截面尺寸和许用载荷等三类强度计算问题。(4)(4)等截面圆轴扭转时的变形计算公式为 等截面圆轴扭转的刚度条件是第36页/共38页 (5)(5)运用强度条件和刚度条件解决实际问题的步骤：计算轴上外力偶矩；计算内力(扭矩)，并画出扭矩图；分析危险截面，即根据各段的扭矩与抗扭截面系数，找出最大切应力所在截面；计算危险截面的强度，必要时还应进行刚度计算。第37页/共38页感谢您的观看。第38页/共38页