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1、一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、定积分的元素法二、定积分的元素法三、旋转体的体积三、旋转体的体积四、小结、作业四、小结、作业 5.4 5.4 定积分的几何应用定积分的几何应用直角坐标系下平面图形面积的计算直角坐标系下平面图形面积的计算一、平面图形的面积一、平面图形的面积图图1 1 如图如图1 1所示图形的面积可以视作分所示图形的面积可以视作分别以别以 曲边梯形面积的差。因此曲边梯形面积的差。因此为曲边的两个为曲边的两个图图2 2且且 类似地可以得到，由连续曲线类似地可以得到，由连续曲线 与直与直线线所围成的平面图形所围成的平面图形（如图（如图2）的面积为）的面积为例例1xy解解 所围成
2、的图形如图所示：所围成的图形如图所示：平面图形的面积。平面图形的面积。例例2的面积。的面积。所围成的图形所围成的图形解解 所围成的图形如图所示所围成的图形如图所示:则则先解联立方程组先解联立方程组 线的交点坐标为线的交点坐标为 得两抛物得两抛物则图形的面积为则图形的面积为解解 先求两曲线的交点。先求两曲线的交点。例例3注意注意：此题选取纵坐标此题选取纵坐标 为积分变量，而没有选取为积分变量，而没有选取横坐标横坐标 为积分变量，请思考这时为什么？若选取为积分变量，请思考这时为什么？若选取横坐标横坐标 为积分变量能否得到这个问题的结果？为积分变量能否得到这个问题的结果？二、定积分的元素法二、定积分
3、的元素法 在定积分的应用中，经常采用在定积分的应用中，经常采用“元素法元素法”。为了说明。为了说明这种方法，我们回顾引入定积分的概念时曾经举的两个这种方法，我们回顾引入定积分的概念时曾经举的两个例子：例子：曲边梯形的面积曲边梯形的面积、变速直线运动的路程变速直线运动的路程。这两个。这两个问题最终都归结为定积分的计算，且它们都满足下述三问题最终都归结为定积分的计算，且它们都满足下述三个条件：个条件：(2)量量 对于区间对于区间 具有可加性；具有可加性；的近似值可表示为的近似值可表示为(3)部分量部分量 有关的量；有关的量；(1)(1)所求的量所求的量 是与一个变量是与一个变量 的变化区间的变化区
4、间 一般地，如果一个量一般地，如果一个量 满足上述三个条件，我满足上述三个条件，我们就可以考虑用定积分来表示这个量。们就可以考虑用定积分来表示这个量。确定量确定量 的的积分表达式的步骤是：积分表达式的步骤是：（1）根据问题的具体情况，选取积分变量）根据问题的具体情况，选取积分变量 并确并确定其变化区间定其变化区间 。（2）在区间）在区间 上任取一小区间上任取一小区间 ，求出，求出相应于此区间的所求量相应于此区间的所求量 的部分量的部分量 的近似值：的近似值：（3）计算所求量计算所求量 称为称为所求量所求量 的元素（或微元）。的元素（或微元）。下面我们利用这一方法来求旋转体的体积。下面我们利用这
5、一方法来求旋转体的体积。这个方法就称为这个方法就称为定积分的元素法定积分的元素法（或微元法或微元法）。）。圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体的三、旋转体的体积体积 旋转体旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴旋转轴xyo旋转体的体积公式旋转体的体积公式推导推导 如图由于图形关于坐标轴对如图由于图形关于坐标轴对称，故只需考虑其第一象限内的称，故只需考虑其第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。转体的体积。求椭圆求椭圆 分别绕分别绕 轴与轴与 轴旋转而成轴旋转而
6、成的旋转体的体积。的旋转体的体积。例例4 4 解解（1）绕）绕 轴旋转而成的旋转体的体积为：轴旋转而成的旋转体的体积为：（2）绕）绕 轴旋转而成的旋转体的体积为：轴旋转而成的旋转体的体积为：特别地，当特别地，当 时，得半径为时，得半径为 的球体积的球体积 计算由两条抛物线计算由两条抛物线 ，所围成的图所围成的图形绕形绕 轴旋转而成轴旋转而成 的旋转体的体积。的旋转体的体积。例例5 5解解 先解联立方程组先解联立方程组 得两抛物线的交点坐标为得两抛物线的交点坐标为 设由曲线设由曲线 ，直线，直线 所围成的曲边所围成的曲边梯形绕轴梯形绕轴 旋转而成的旋转体的体积为旋转而成的旋转体的体积为 ；由曲线由曲线 转而成的旋转体的体积为转而成的旋转体的体积为 则所求旋转体的体积为：则所求旋转体的体积为：直线直线 所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕轴 旋旋 1、定积分的几何应用可直接代公式，这就要记住、定积分的几何应用可直接代公式，这就要记住面积、体积公式。面积、体积公式。四、小结四、小结 2、理解定积分的微元法。、理解定积分的微元法。