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1、数理方程第一章第1页，共14页，编辑于2022年，星期六课程的内容：解偏微分方程 拉普拉斯方程：热传导方程：波动方程：哈密尔顿算子，读作del，拉普拉斯算子 三类偏微分方程 两种特殊函数 贝赛尔 勒让德 第2页，共14页，编辑于2022年，星期六为什么要专门研究这三类方程 拉普拉斯方程：热传导方程：波动方程：空间的静电场分布 热传导中的温度分布 琴弦的振动 静磁场分布、稳定温度场分布 流体的扩散、粘性液体的流动 杆、膜、液体、气体等的振动电磁场的振荡 数学物理方程 其它原因第3页，共14页，编辑于2022年，星期六这些方程是如何导出的 确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度 根据物理规律
2、建立微分方程 对方程进行化简，工程近似 第4页，共14页，编辑于2022年，星期六静电场电势u 确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程 泊松方程 非齐次的拉普拉斯方程 次、阶、元 第5页，共14页，编辑于2022年，星期六热传导确定所要研究的物理量：温度 根据物理规律建立微分方程并化简：在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）第6页，共14页，编辑于2022年，星期六流入的热量导致V内的温度发生变化 流入的热量：温度发生变化需要的热量为：第7页，共14页，编辑于202
3、2年，星期六弹簧的振动 第8页，共14页，编辑于2022年，星期六弦的振动 横向位移为 u 横向速度为 横向加速度为 横向纵向第9页，共14页，编辑于2022年，星期六第10页，共14页，编辑于2022年，星期六什么是方程的解 古典解：如果将某个函数u代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解，也就古典解。通解：如果解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数，称为通解。特解：通过约束条件确定了解中的任意常数后得到的为特解。形式解：未经过验证的解为形式解。第11页，共14页，编辑于2022年，星期六方程分类 阶数：拉普拉斯方程、热传导方程、波动方程 次数：线性方程、非线性方程，齐次方程、非齐次方程 线性方程具有叠加特性 第12页，共14页，编辑于2022年，星期六定解条件 初始条件：边界条件：初始位置、初始温度 初始速度 第一类边界条件，固定端、恒温端、恒压端 第二类边界条件，自由端、绝热端 第三类边界条件，弹性支承端、热交换端 第13页，共14页，编辑于2022年，星期六定解问题 波动方程 齐次 第一类边界条件的 具有 一维 有界域齐次 第14页，共14页，编辑于2022年，星期六