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1、塑性力学塑性力学第第1章章 应力分析应力分析1.应力状态应力状态2.三维应力状态分析三维应力状态分析3.三维应力状态的主应力三维应力状态的主应力4.最大剪应力最大剪应力5.等倾面上的正应力和剪应力等倾面上的正应力和剪应力6.应力罗德参数与应力罗德角应力罗德参数与应力罗德角7.应力张量的分解应力张量的分解8.平衡微分方程平衡微分方程1.外力外力体力、面力体力、面力(1)体体力力 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力上所受的外力 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位：N/m3kN/m3说明：说明：(1)F
2、是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2)F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3)X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。11 应力状态应力状态(2)面面力力 作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力上的外力 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzO 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位：1N/m2=1Pa(帕帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕兆帕)说明：说明：(1)F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2)F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;
3、(3)的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。2.应力应力(1)一点应力的概念一点应力的概念dSd dP P内力内力(1)物体内部分子或原子间的相互物体内部分子或原子间的相互作用力作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)M(1)M点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2)应力矢量应力矢量-M点的应点的应力力的极限方向的极限方向由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与
4、面力相同MPa(兆帕兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的总应力斜截面上的总应力斜截面上的总应力斜截面上的总应力斜截面上的正应力和剪应力斜截面上的正应力和剪应力斜截面上的正应力和剪应力斜截面上的正应力和剪应力平面应力状态平面应力状态主应力与应力主向主应力与应力主向最大剪应力最大剪应力摩尔应力圆摩尔应力圆x面的应力：面的应力：y面的应力：面的应力：z面的应力：面的应力：12 三维应力状态三维应力状态用矩阵表示：用矩阵表示：其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。剪应力互等定理剪应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：第第1个下标个下标 x
5、表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.应力应力正负号正负号的规定：的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标坐标正面正面上，与坐标正向一致时为正；上，与坐标正向一致时为正；坐标坐标负面负面上，与坐标正向相反时为正。上，与坐标正向相反时为正。xyzO与材力中剪应力与材力中剪应力正负号正负号规定的区别：规定的区别：xy规定使得单元体顺时转的剪应力规定使得单元体顺时转的剪应力为正，反之为负。为正，反之为负。在用在用应力莫尔圆应力莫尔圆时必须用此规定求解问题时必须用此规定求解问题xyzO四面体受力图四面体受力图 在在在在
6、某某某某点点点点处处处处取取取取出出出出一一一一无无无无限限限限小小小小四四四四面面面面体体体体。它它它它的的的的三三三三个个个个面面面面分分分分别别别别与与与与x x、y y、z z三三三三个个个个轴轴轴轴相相相相垂垂垂垂直直直直。另另另另一一一一面面面面即即即即为为为为任任任任意意意意倾倾倾倾斜斜斜斜面面面面，其其其其法法法法线线线线为为为为v v，其其其其方方方方向向向向余余余余弦弦弦弦为为为为l l、mm、n n。pv利利用用力力的的平平衡衡条条件件，可可得得任任意意斜斜截截面面上上的的应应力力pv作作用用于于任任一一斜斜截截面面上上的的应应力力向向量量分分量量可可以以用用作作用用在在
7、与与坐坐标标轴轴垂垂直直的的三三个个面面上上的的应应力力向向量量分分量来表示。量来表示。上式可作为力的边界条件的表达式。上式可作为力的边界条件的表达式。13 三维应力状态的主应力三维应力状态的主应力在在在在过过过过任任任任一一一一点点点点所所所所作作作作任任任任意意意意方方方方向向向向的的的的单单单单元元元元面面面面积积积积上上上上都都都都有有有有正正正正应应应应力力力力和和和和剪剪剪剪应应应应力力力力。如如如如果果果果在在在在某某某某一一一一方方方方向向向向剪剪剪剪应应应应力力力力为为为为零零零零，则则则则此此此此方方方方向向向向即即即即称称称称为为为为主主主主方方方方向向向向（应应应应力力
8、力力主主主主向向向向），而而而而这这这这时时时时在在在在该该该该面面面面上上上上的的的的正正正正应应应应力力力力便便便便称为主应力。称为主应力。称为主应力。称为主应力。如如如如果果果果v v方方方方向向向向为为为为主主主主应应应应力力力力平平平平面面面面的的的的方方方方向向向向，则则则则有有有有p pvxvx =x x l l，p pvyvy y y mm，p pvzvz=z z n n，则得，则得，则得，则得 几何关系几何关系几何关系几何关系l l,mm,n n不不不不能能能能同同同同时时时时为为为为零零零零，因因因因此此此此前前前前式式式式为为为为包包包包括括括括三三三三个个个个未未未未知
9、知知知量量量量l l,mm,n n的的的的线线线线性性性性齐齐齐齐次次次次方方方方程程程程。若若若若有有有有非非非非零零零零解解解解，则则则则此此此此方方方方程程程程组组组组的的的的系数行列式应当等于零，即系数行列式应当等于零，即系数行列式应当等于零，即系数行列式应当等于零，即展开行列式得到展开行列式得到展开行列式得到展开行列式得到 其中其中其中其中I1、I2、I3不不随随坐坐标标方方向向不不同同而而变变，称称为为应应力力张张量量不不变变量量，分分别别称称为为应应力力张张量量第第一一（一一次次）不不变变量量、第第二二（二二次次）不不变变量量与与第第三三（三三次次）不变量。不变量。解一元三次方程
10、，得三个主应力解一元三次方程，得三个主应力 1,2,3。I1、I2、I3可用主应力表示如下：可用主应力表示如下：求求解解主主应应力力时时，先先求求出出各各应应力力张张量量不不变变量量，再再解一元三次方程。解一元三次方程。【例例】已已知知一一点点的的应应力力状状态态由由如如下下应应力力分分量量确确定，即定，即试求主应力的值。试求主应力的值。【解解】求求各各应应力力张张量量不不变变量量，I1=3，I2=-6，I3=-8，代入一元三次方程得，代入一元三次方程得解得解得斜截面上的正应力和剪应力斜截面上的正应力和剪应力设斜截面上的正应力为设斜截面上的正应力为设斜截面上的正应力为设斜截面上的正应力为 v
11、v,则由投影可得则由投影可得则由投影可得则由投影可得若若若若三三三三个个个个坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴的的的的方方方方向向向向为为为为主主主主方方方方向向向向，且且且且主主主主应应应应力力力力大大大大小小小小顺顺顺顺序序序序按按按按x x,y y,z z排列，则排列，则排列，则排列，则总应力为总应力为总应力为总应力为斜截面上的剪应力为斜截面上的剪应力为斜截面上的剪应力为斜截面上的剪应力为三维应力圆三维应力圆三三三三维维维维应应应应力力力力状状状状态态态态下下下下任任任任意意意意斜斜斜斜截截截截面面面面上上上上的的的的正正正正应应应应力力力力和和和和剪剪剪剪应应应应力力力力，在在在在以以以以三三三
12、三个个个个主主主主应应应应力力力力组组组组成成成成的的的的应应应应力力力力圆圆圆圆所所所所围围围围成成成成的的的的阴阴阴阴影影影影的的的的范围之内。范围之内。范围之内。范围之内。最最最最大大大大剪剪剪剪应应应应力力力力等等等等于于于于最最最最大大大大和和和和最最最最小小小小正正正正应应应应力力力力值值值值之之之之差差差差的一半。的一半。的一半。的一半。14 最大剪应力最大剪应力主主应应力力平平面面上上的的剪剪应应力力为为零零；最最大大剪剪应应力力位位于于坐坐标标轴轴分分角角面面上上，而而三三个个最最大大剪剪应应力力分分别别等等于于三三个个主主应应力力两两两两之之差差的一半。的一半。在在主主应应
13、力力坐坐标标系系中中（1,2,3分分别别代代表表 1,2,3）主主应应力力与与最最大大剪剪应应力力作作用用面面及及其其方向余弦方向余弦1-5 等倾面上的正应力和剪应力等倾面上的正应力和剪应力等等等等倾倾倾倾面面面面就就就就是是是是和和和和三三三三个个个个主主主主应应应应力力力力轴轴轴轴成成成成相相相相同同同同角角角角度度度度（5454 4444）的的的的面面面面，等等等等倾倾倾倾面面面面的的的的法法法法线线线线方方方方向向向向也也也也与与与与三三三三个个个个主主主主应应应应力力力力轴轴轴轴成成成成相相相相同同同同的的的的角角角角度度度度。法法法法线线线线v v为为为为空空空空间间间间对对对对角
14、角角角线线线线，也也也也称称称称为为为为等等等等倾倾倾倾线线线线。等等等等倾倾倾倾面法线的方向余弦面法线的方向余弦面法线的方向余弦面法线的方向余弦l l,mm,n n可由下式确定可由下式确定可由下式确定可由下式确定则等倾面上的正应力和剪应力则等倾面上的正应力和剪应力则等倾面上的正应力和剪应力则等倾面上的正应力和剪应力主应力空间主应力空间：以三个主：以三个主应力为轴而组成的笛卡应力为轴而组成的笛卡儿坐标系儿坐标系若若将将 1,2,3轴轴在在等等倾倾面面上上投投影影，则则在在等等倾倾面面上上可可以以得得到到互互相相成成120 角的三个坐标轴。角的三个坐标轴。等倾面及其上应力等倾面及其上应力 向量向
15、量 在等倾线上的投影在等倾线上的投影 0向量向量 在等倾面上的投影在等倾面上的投影 0 0与轴与轴 1在等倾面上的投影之间的夹角在等倾面上的投影之间的夹角 称为应力状态的特征角，称为应力状态的特征角，称为应力状态的特征角，称为应力状态的特征角，coscos 为应力形式指数为应力形式指数为应力形式指数为应力形式指数。等倾面上一点的应力状态等倾面上一点的应力状态八面体上八面体上的正应力的正应力与剪应力与剪应力偏平面偏平面如果等倾面上的正应力如果等倾面上的正应力 0=0，？，？如果如果 0=0，等倾面过原点，则此等倾面称为，等倾面过原点，则此等倾面称为 平面平面。平面上没有正应力，只有剪应力，只平面
16、上没有正应力，只有剪应力，只有应力偏张量，所以有应力偏张量，所以 平面又叫平面又叫偏平面偏平面。应力强度应力强度应力强度应力强度 或广义剪应力或广义剪应力或广义剪应力或广义剪应力 0 为平均应力或静为平均应力或静水压力，只引起物水压力，只引起物体体积的变化，体体积的变化，i 或或 0只引起物体形只引起物体形状的变化，状的变化，与应与应力状态有关。力状态有关。应力偏量分量、主应力用应力强度、应力偏量分量、主应力用应力强度、平均应力与应力状态状态角表示平均应力与应力状态状态角表示 应力偏量应力偏量 主应力主应力 s1+s2+s3=0 1+2+3 =3 0 应力星圆应力星圆应应力力星星圆圆是是以以距
17、距原原点点O为为 0的的一一点点为为圆圆心心，以以2 i/3为为半半径径所所画画的的圆圆。由由圆圆心心O 点点开开始始作作与与轴轴O 成成 角角的的直直线线，则则此此直直线线与与圆圆的的交交点点在在O 轴轴上上的的投投影影即即为为 1。由由O A线线顺顺时时针针旋旋转转120 作作一一直直线线，此此直直线线与与圆圆的的交交点点在在 轴轴上上的的投投影影即即为为 2。而而由由O A线线顺顺时时针针旋旋转转240 所所作作的的直直线线与与圆圆的的交交点点在在 轴轴上上的的投投影影即为即为 3。应力星圆应力星圆应力状态与应力状态与应力星圆应力星圆【例例例例】已已已已知知知知应应应应力力力力状状状状态
18、态态态为为为为：1 1=150MPa,=150MPa,2 2=50MPa,=50MPa,3 3=-50MPa-50MPa，试画出应力星圆。，试画出应力星圆。，试画出应力星圆。，试画出应力星圆。【解】【解】【解】【解】0 0=(150+50-50)/3=50MPa=(150+50-50)/3=50MPa 故，故，故，故，=30=30 。应力星圆应力星圆最大剪应力用最大剪应力用 i 和和 表示表示应力星圆应力星圆剪剪应应力力 2的的绝绝对对值最大。值最大。1 1OO 1 1 3 3 2 2 0 0 2 2 3 31-6 应力罗德参数与应力罗德角应力罗德参数与应力罗德角在在在在 平平平平面面面面上上
19、上上建建建建立立立立直直直直角角角角坐坐坐坐标标标标系系系系OxyOxy，取取取取y y轴轴轴轴方方方方向向向向与与与与 2 2轴轴轴轴在在在在 平平平平面面面面上上上上投投投投影影影影2 2 一一一一致。致。致。致。矢矢矢矢量量量量OpOp在在在在坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴1 1 上上上上的的的的投投投投影影影影长长长长度度度度为为为为O O p p1 1 =1 1，在在在在2 2 上上上上的的的的投投投投影影影影长长长长度度度度为为为为O O p p2 2 =2 2，在在在在3 3 上上上上的的的的投投投投影影影影长长长长 度度度度 为为为为 O O p p3 3 =3 3。矢矢矢矢量量量量
20、OpOp与与与与x x轴轴轴轴夹夹夹夹角角角角为应力罗德角为应力罗德角为应力罗德角为应力罗德角 。120 120 1 2 3 O yxpp3 p2 p1 应应力力罗罗德德参参数数与与应应力力罗罗德德角角和和应应力力状状态态特特征征角角的的关系关系 r r 应力罗德参数与应力罗德角应力罗德参数与应力罗德角应力罗德角应力罗德角应力罗德参数应力罗德参数 洛洛德德角角，平平面面上上的的剪剪应应力力 与与2 轴轴的的垂垂线线间间的的夹夹角；角；洛德参数，洛德参数，。应力罗德参数应力罗德参数-30-30 30 30 -1-1 1 1 应力状态与应力罗德角应力状态与应力罗德角【例例例例】已已已已知知知知一一
21、一一点点点点的的的的主主主主应应应应力力力力 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3，试试试试求求求求该该该该点点点点的的的的应应应应力力力力形形形形式式式式指指指指数数数数coscos 、应应应应力力力力罗罗罗罗德德德德参参参参数数数数 、应应应应力力力力状状状状态态态态特特特特征征征征角角角角 、应应应应力力力力罗罗罗罗德德德德角角角角 ，并并并并在在在在 平平平平面面面面（等等等等倾倾倾倾面面面面）上上上上画画画画出两个角度之间的关系。出两个角度之间的关系。出两个角度之间的关系。出两个角度之间的关系。如如如如 果果果果 1 1 3 3 3 3，2 2 2 2 3 3，则，则，则，则 30
22、 0 r 30 0 1 1 3 3 2 2 3 3 3 31-7 应力张量的分解应力张量的分解一一点点的的应应力力状状态态可可以以用用6个个应应力力分分量量来来表表示示，在在给给定定的的受受力力情情况况下下，各各应应力力分分量量的的大大小小与与坐坐标标轴轴的的方方向向有有关关，而而它它们们作作为为一一个个整整体体用用来来表表示示一一点点应应力力状状态态的的这这一一物物理理量量（称称为为应应力力张张量量）则则与与坐坐标标的的选选择择无无关关。所所谓谓张张量量是是指指在在坐坐标标变变换换时时，按按某某种种指指定定形形式式变变化化的的量量。张张量量的的分分量量随随坐坐标标的的变变换换而而变变化化。应
23、应力力张张量量是二阶张量。应力张量是二阶对称张量。是二阶张量。应力张量是二阶对称张量。应力应力张量张量应应力力分分量量应力偏应力偏量张量量张量应力球应力球张量张量克罗内克尔（克罗内克尔（Kronecker）符号）符号应应力力张张量量的的分分解解将将应应力力状状态态分分解解为为球球形形应应力力张张量量和和应应力力偏偏量量，球球形形应应力力张张量量表表示示各各向向均均匀匀受受力力状状态态，有有时时也也称称静静水水压压力力状状态态。将将原原应应力力状状态态减减去去静静水水压压力力状状态态即即可可得得到到应应力力偏偏量量状状态态。球球形形应应力力张张量量引引起起物物体体体体积积的的改改变变，而而应应力力偏偏量量则则引引起物体形状的变化。起物体形状的变化。应力偏量张量不变量应力偏量张量不变量