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1、数据拟合与最小二乘法第1页，共17页，编辑于2022年，星期六最小二乘原理最小二乘原理设已知某物理过程设已知某物理过程y=f(x)在在n个互异点的观测数据个互异点的观测数据求一个简单的近似函数求一个简单的近似函数p(x)，使之，使之“最好最好”地逼近地逼近f(x)，而不必满足插值原则。称函数而不必满足插值原则。称函数y=p(x)为经验公式或拟为经验公式或拟合曲线。这就是曲线拟合问题。合曲线。这就是曲线拟合问题。广泛用于工程中的参数标定问题。广泛用于工程中的参数标定问题。xi x1 x2 .xnyi y1 y2 .yn第2页，共17页，编辑于2022年，星期六多项式拟合多项式拟合1、直线拟合直线
2、拟合 超定方程组超定方程组曲线拟合问题中的偏差：曲线拟合问题中的偏差：第3页，共17页，编辑于2022年，星期六令：令：最小二乘原理：求出使最小二乘原理：求出使R取最小值时的取最小值时的a、b R取最小值的条件：取最小值的条件：第4页，共17页，编辑于2022年，星期六法方程组法方程组 解法方程组，解法方程组，求出求出a、b第5页，共17页，编辑于2022年，星期六【例【例1】已知：】已知：u-k观测数据，试采用观测数据，试采用Greenshields速度密度线性模型在在Matlab平台上进行数据拟合，平台上进行数据拟合，P.22clear all;close allx=20 30 40 50
3、 60 70 80 90 100 110 120;y=107 96 88 86 73 67 58 48 42 38 29;p1=polyfit(x,y,1)%拟合一次多项式，返回系数向量y1=polyval(p1,x);plot(x,y,r*,x,y1)u_f=p1(2)k_jam=-u_f/p1(1)ki 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 ui 107 96 88 86 73 67 58 48 42 38 29第6页，共17页，编辑于2022年，星期六【例例2】已知：已知：u-k观测数据，试采用观测数据，试采用Greenberg速度密度模型在在Matla
4、b平台上进行数据拟合，平台上进行数据拟合，P.22ki 80 85 90 95 100 105 110 115 120 ui 32 33 29 26 27 26.5 25.8 24 22lnki4.38 4.44 4.5 4.55 4.61 4.65 4.7 4.74 4.79第7页，共17页，编辑于2022年，星期六Greenberg速度密度模型在在Matlab平台上的数据拟合平台上的数据拟合clear all;close allx=log(80)log(85)log(90)log(95)log(100)log(105)log(110)log(115)log(120);y=42 39 37
5、35 32 29.5 23.8 21 19;p1=polyfit(x,y,1)%拟合一次多项式，返回系数向量y1=polyval(p1,x);plot(x,y,r*,x,y1)u_m=abs(p1(1)k_jam=exp(p1(2)/u_m)第8页，共17页，编辑于2022年，星期六【例例3】已知：已知：u-k观测数据，试采用观测数据，试采用Underwood速度密度模型在在Matlab平台上进行数据拟合，平台上进行数据拟合，P.23ki 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 ui 99 94 89 85 80 76 73 69 64 62 59 55
6、52lnui第9页，共17页，编辑于2022年，星期六Underwood速度密度模型在在Matlab平台上的数据拟合平台上的数据拟合clear all;close allx=10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70;y=log(99)log(94)log(89)log(85)log(80)log(76)log(73)log(69)log(64)log(62)log(59)log(55)log(52);p1=polyfit(x,y,1)%拟合一次多项式，返回系数向量y1=polyval(p1,x);plot(x,y,r*,x,y1)u_f=exp(p1(2)k
7、_jam=abs(1/p1(1)第10页，共17页，编辑于2022年，星期六2、推广到、推广到2次多项式拟合次多项式拟合物理过程物理过程y=f(x)为为2次多项式次多项式超定方程组超定方程组曲线拟合问题中的偏差：曲线拟合问题中的偏差：第11页，共17页，编辑于2022年，星期六令：令：最小二乘原理：最小二乘原理：求出使求出使R取最小值时的取最小值时的a、b、c R取最小值的条件：取最小值的条件：第12页，共17页，编辑于2022年，星期六法方程组法方程组 解法方程组，解法方程组，求出求出a、b、c第13页，共17页，编辑于2022年，星期六【例4】交通事故预测模型（7-2），P.93试在Mat
8、lab平台上进行数据拟合clear all;close allx=0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000;y=0 .75 1.1 1.45 1.8 1.78 1.75 1.52 1.23;p2=polyfit(x,y,2)%拟合一次多项式，返回系数向量y2=polyval(p2,x);plot(x,y,r*,x,y2)qi 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000mi 0 .75 1.1 1.45 1.8 1.88 1.75 1.52 1.23第14页，共17页，编辑于2022年，星期六3、推广到一般、推广到一般多项式拟合多项式拟合物理过程物理过程y=f(x)为高次为高次多项式（设为多项式（设为m次）次）考察考察2次多项式拟合的次多项式拟合的法方程组法方程组 第15页，共17页，编辑于2022年，星期六写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：其中，2 2次多项式拟合次多项式拟合次多项式拟合次多项式拟合的的的的法方程组法方程组第16页，共17页，编辑于2022年，星期六其中，推广到一般推广到一般m次多项式拟合次多项式拟合 法方程组法方程组形式为：解出法方程组，可得到解出法方程组，可得到X向量向量在Matlab平台上，pm=polyfit(x,y,m)第17页，共17页，编辑于2022年，星期六