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1、最小二乘法选讲第1页，共14页，编辑于2022年，星期六问题的提出*实例一：实例一：考察某种纤维的强度纤维的强度与其拉伸倍数拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品强度与相应拉伸倍数的记录:第2页，共14页，编辑于2022年，星期六*纤维强度随拉伸倍数增加而增加图中可见，24个点大致分布在一条直线附近问题分析：如何确定这直线的系数呢？多个数据点，构造直线？第3页，共14页，编辑于2022年，星期六*在实际中，数据不可避免的会有误差，而插值函数会将这些误差也包括在内；再者，实际数据一般多于待定参数的数量。第4页，共14页，编辑于2022年，星期六*最小二乘法我们需要一种新的逼近原函数的手段
2、：不要求过所有的点（可以消除误差影响）；尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。可以采用最小二乘法最小二乘法平方意义下的逼近 事实上，我们对最小二乘的思想有过接触！回忆一下概率论中讲过的方差理论。随机变量X，一组取值Xi，i=1,2,.,n。期望E(X)，方差D(X)=EX-E(x)2。对于矛盾方程组，求一组数x1,x2,xm，代入原来方程组，使每个等式的两端偏差最小，称 x1,x2,xm，为矛盾方程组的最优近似解最优近似解。第5页，共14页，编辑于2022年，星期六*一、最小二乘原则：2.2.常用方法：常用方法：常用第三种方法，称为最小二乘原则最小二乘原则。第6页，共14页，编辑于2022年，星期
3、六*（1）二、矛盾方程组的解二、矛盾方程组的解第7页，共14页，编辑于2022年，星期六*求Q的最小值，令称（2）为（1）的正规方程组（法方程组）正规方程组（法方程组）。（2）的解即为（1）的解，称此方法为最小二乘法最小二乘法。（2）第8页，共14页，编辑于2022年，星期六*第9页，共14页，编辑于2022年，星期六*第10页，共14页，编辑于2022年，星期六*再看引例一一般实际问题的解题步骤：第11页，共14页，编辑于2022年，星期六*第12页，共14页，编辑于2022年，星期六*解：从散点图可以看出，纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系，故可选取线性函数为拟合函数，建立法方程组解得第13页，共14页，编辑于2022年，星期六*练习：2.给出数据x-1.00-0.75-0.50-0.250y-0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003x0.250.500.751.00y2.5645 3.1334 3.7061 4.2836试用最小二乘法求一次拟合多项式。1.用最小二乘法解下列矛盾方程组：第14页，共14页，编辑于2022年，星期六