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1、第二章第三节初等多值解析函数本讲稿第一页，共三十七页定义定义2.9 若若z=wn,则称则称w为为z的的n次根式函数，记为：次根式函数，记为：,根式函数根式函数 为幂函数为幂函数z=wn 的反函数的反函数.(1)根式函数的多值性根式函数的多值性.1、根式函数、根式函数本讲稿第二页，共三十七页本讲稿第三页，共三十七页(2)分出根式函数的单值解析分支分出根式函数的单值解析分支.从原点从原点O起到点起到点任意引一条射线将任意引一条射线将z平面割破，该直线称平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为构成以此割线为边界的区域，记为G)上，上，argz0时
2、时,Ln z的主值的主值ln z=ln x,就是实变数就是实变数对数函数对数函数.对数函数是实对数函数自然延伸。对数函数是实对数函数自然延伸。本讲稿第九页，共三十七页用z轴作虚部，颜色作实部，更能形象地表现多值函数的图像。本讲稿第十页，共三十七页例例解解例：求例：求Ln 2,Ln(-1)以及它们相应的主值以及它们相应的主值.解：因为解：因为 Ln 2=ln 2+2k i,所以它的主值就是所以它的主值就是ln2.而而 Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)i(k为整数为整数),所以它的主值是所以它的主值是ln(-1)=i.本讲稿第十一页，共三十七页3.对数函数的性质对数函数的性质
3、 在实变函数中在实变函数中,负数无对数负数无对数,此例说明在复数范围内此例说明在复数范围内不再成立不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的而且正实数的对数也是无穷多值的.因此因此,复复变数对数函数是实变数对数函数的拓广变数对数函数是实变数对数函数的拓广.利用幅角的性利用幅角的性质不难证明质不难证明:本讲稿第十二页，共三十七页 对数函数的解析性对数函数的解析性.就主值就主值ln z而言而言,其中其中ln|z|除原点外在其它点都是连续的除原点外在其它点都是连续的,而而arg z在原点与在原点与负实轴上都不连续负实轴上都不连续.因为若设因为若设z=x+iy,则当则当x0时时,所以所以,除去原点与负实
4、轴除去原点与负实轴,在复平面内其它点在复平面内其它点ln z处处连续处处连续.由反函数求导法则可知由反函数求导法则可知:本讲稿第十三页，共三十七页结论：ln z在除去原点及负实轴的平面内解析在除去原点及负实轴的平面内解析.Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析内也解析,并且有相同的导数值并且有相同的导数值.应用对数函数应用对数函数Ln z时时,指的都是它在除去原点指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支及负实轴的平面内的某一单值分支.本讲稿第十四页，共三十七页4.分出分出w=Lnz的单值解析分支的单值解析分支 从原点起沿着负实轴将从原点起
5、沿着负实轴将z平面平面割破割破，就可将，就可将对数函数对数函数w=Lnz分成如下分成如下无穷多个无穷多个单值解析分支：单值解析分支：wk在在定义域定义域上解析上解析,且且 以以 为支点，连接为支点，连接 的的任一（广义）简单任一（广义）简单曲线可作为其支割线曲线可作为其支割线.本讲稿第十五页，共三十七页例例1 设设 定义在沿负实轴割破的平面上，且定义在沿负实轴割破的平面上，且解解：求值：求值：（是下岸相应点的函数值）求（是下岸相应点的函数值）求 的值的值.本讲稿第十六页，共三十七页3、乘幂、乘幂 与幂函数与幂函数1.乘幂乘幂:本讲稿第十七页，共三十七页本讲稿第十八页，共三十七页本讲稿第十九页，
6、共三十七页本讲稿第二十页，共三十七页本讲稿第二十一页，共三十七页本讲稿第二十二页，共三十七页 zn在复平面内是单值解析函数,(zn)=nzn-1.3、幂函数的解析性、幂函数的解析性本讲稿第二十三页，共三十七页本讲稿第二十四页，共三十七页本讲稿第二十五页，共三十七页例例2 2解解它是无穷多个独立的、在它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。平面上单值解析的函数。本讲稿第二十六页，共三十七页例：1）求解：2）求解：本讲稿第二十七页，共三十七页1.反三角函数的定义反三角函数的定义两端取对数得两端取对数得 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复重复以上步骤以上
7、步骤,可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:4、反三角函数和反双曲函数、反三角函数和反双曲函数本讲稿第二十八页，共三十七页 反双曲函数定义为双曲函数的反函数.用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤,可以得到各反双曲函数的表达式:它们都是多值函数.2、反双曲函数的定义、反双曲函数的定义本讲稿第二十九页，共三十七页例例1 1解解本讲稿第三十页，共三十七页1、反正切例：求解：2、反正弦例：求解：本讲稿第三十一页，共三十七页5、具有有限个支点的情形、具有有限个支点的情形设有任意设有任意N次多项式：次多项式：分别为分别为P(z)的一切相异零点，对应重数为的一切相异零点，对应重数为且有且有则函数则函数
8、的支点有以下结论：的支点有以下结论：(1)的可能支点为的可能支点为 和和 ；(2)当且仅当当且仅当 不能整除不能整除 时，时，是是 的支点；的支点；(3)当且仅当当且仅当 不能整除不能整除 时，时，是是 的支点；的支点；(4)若若 能整除能整除 中若干个之和，则中若干个之和，则 中对应的几个就可以联结成割线，即变点中对应的几个就可以联结成割线，即变点 z 沿沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变不变.本讲稿第三十二页，共三十七页例例1 1 作出一个含作出一个含 i 的区域的区域,使得函数使得函数在此区域内可分解成单值解析分支在此区
9、域内可分解成单值解析分支,求一个分支在求一个分支在i点点解可能的支点为可能的支点为易知函数易知函数因因0,1,2与与无穷无穷，具体分析见下图具体分析见下图结论：结论：0 0、1 1、2 2与无穷都是支点。与无穷都是支点。的值的值,使其满足使其满足本讲稿第三十三页，共三十七页支点确定后，我们作支点确定后，我们作区域，将函数分解成单值解析分支。区域，将函数分解成单值解析分支。首先，在复平面内作一条连接首先，在复平面内作一条连接0,1,20,1,2及及无穷远点无穷远点的任意无界简的任意无界简单连续曲线作为割线单连续曲线作为割线,在所得区域内在所得区域内,可以把可以把w分解成连续分分解成连续分支。例如
10、支。例如,可取可取 作为割线作为割线,得到区域得到区域D。其次其次,也可以取线段也可以取线段0,10,1及从及从2 2出发且不与出发且不与0,10,1相交的射线相交的射线为割线为割线,在所得区域内在所得区域内,可以把可以把w分解成连续分支。例如，可取分解成连续分支。例如，可取0,10,1及及 作为割线作为割线,得到区域得到区域 。本讲稿第三十四页，共三十七页例例2 2 验证函数验证函数内可以分解成解析分支内可以分解成解析分支;求出这个分支函数在求出这个分支函数在(0,1)解解由于故故0,1是支点，是支点，无穷远点无穷远点不是支点不是支点。在区域在区域D=C0,1上沿取正实值的一个分支在上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值处的值。本讲稿第三十五页，共三十七页结论结论:0,1是支点是支点,无穷远点不是支点无穷远点不是支点。因此，在区域D=C-0,1内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定其四个解析分支为：则对应的解析分支为则对应的解析分支为k=0。在在z=-1处，有处，有，所以所以本讲稿第三十六页，共三十七页例2.15 试证 在将 平面适当割开后能分出三个单值解析分支，并求出在点 取负值的那个分支在 的值.解：设 则 当 时，当且仅当 取负值 故所取分支为本讲稿第三十七页，共三十七页