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1、概率论与数理统计概率论与数理统计古典概率模型古典概率模型条件概率（条件概率（1）1 称这种试验为有穷等可能随机试验或古称这种试验为有穷等可能随机试验或古典概型，即等可能概型典概型，即等可能概型.定定义1 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.一、古典概型一、古典概型2这样就把求概率问题转化为计数问题这样就把求概率问题转化为计数问题.定义定义2 设试验设试验E是是古典概型古典概型,其样本空间其样本空间S由由n个样本点组成个样本点组成,事件事件A由由k
2、个样本点组成个样本点组成.则则定义事件定义事件A的概率为：的概率为：称此概率为称此概率为古典概率古典概率.A包含的样本点数包含的样本点数 P(A)k/n S中的样本点总数中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具.二、古典概型中事件概率的计算二、古典概型中事件概率的计算3例例1 将一颗骰子抛掷将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次次，问至少出一次“6”点的概率是多少？点的概率是多少？令令 事件事件A=至少出一次至少出一次“6”点点A发生发生出出1次次“6”点点出出2次次“6”点点出出3次次“6”点点出出4次次“6”点点直接计算直接计算A的概率较麻烦的概率较麻烦,我
3、们先来计算我们先来计算A的对立事件的对立事件=4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的概率的概率.三、古典概型举例三、古典概型举例4于是于是 =0.518 因此因此 =0.482由于将一颗骰子抛掷由于将一颗骰子抛掷4次次,共有共有 种等可能结果种等可能结果,而导致事件而导致事件 =4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的结果数有的结果数有 种种 5例例2 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的天的任何一天是等可能的，试求事件任何一天是等可能的，试求事件“至少有两至少有两人同生日人同生日”的概率的概率.为求为求P(A),先求先求P()解：令解：令 A=至少有两人同生日
4、至少有两人同生日 =r 个人的生日都不同个人的生日都不同则则6用上面的公式可以计算此事出现的概率为用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476 美国数学家伯格米尼曾经做美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足盛况空前、人山人海的世界杯足球球赛赛赛赛场场上上，他他随随机机地地在在某某号号看看台台上上召召唤唤了了22个个球球迷迷，请请他他们们分分别别写写下下自自己己的的生生日日，结结果竟发现其中有两人同生日果竟发现其中有两人同生日.即即22个球迷中至少有两人同生日的概率为个球迷中至少有两人同生日的概率为0.4
5、76.这个概率随着球迷人数的增加而迅速增加这个概率随着球迷人数的增加而迅速增加.7人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在假所有这些概率都是在假定一个人的生日在定一个人的生日在 365天的天的任何一天是等可能的前提下任何一天是等可能的前提下计算出来的计算出来的.实际上实际上,这个假定并不完这个假定并不完全成立，有关问题的实际概全成立，有关问题的实际概率比表中给出的还要大率比表中给出的还要大.当人数超
6、过当人数超过23时，打赌时，打赌说至少有两人同生日是有利说至少有两人同生日是有利的的.8解：解：=0.3024问：问：错在何处？错在何处？例例3 某城市的电话号码由某城市的电话号码由5个数字组成，每个个数字组成，每个数字可能是从数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求这十个数字中的任一个，求电电话号码由五个不同数字组成话号码由五个不同数字组成的概率的概率.计算样本空间样本点总数和所求事件计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同所含样本点数计数方法不同.9例例4 设有设有N件产品件产品,其中有其中有M件次品件次品,现从这现从这N 件中任取件中任取n件件,求其求其中恰有中恰有k件
7、次品的概件次品的概率率.这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.解：令解：令B=恰有恰有k件次品件次品 P(B)=？10解：把解：把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只只的分法总数为的分法总数为而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为n!,故故例例5 n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成n堆，堆，每堆每堆2只只.问问:“各堆都自成一双鞋各堆都自成一双鞋”(事件事件A)的概率是多少？的概率是多少？11 将将1515名同学名同学(含含3 3名女同学名女同学),),平均分平均分成三组成三组.求求(1)(1)每组有每组有1 1名女同学名女同学(设为事件设为事件A)A)的概率；
8、的概率；(2)3(2)3 名女同学同组名女同学同组(设为事件设为事件B)B)的概率的概率解解（1）（2）例例6 6 12例例7 设元件盒中装有设元件盒中装有50个电阻，个电阻，20个电感，个电感，30个电容，从盒中任取个电容，从盒中任取30个元件，求所取元件中个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率.所求概率为所求概率为P(AB)解解:设设A=所取元件中至少有一电阻所取元件中至少有一电阻B=所取元件中至少有一电感所取元件中至少有一电感13 三个事件和的概率为三个事件和的概率为 n个事件和的概率为个事件和的概率为 14 在解决许多概率问题时
9、，往往需要在在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.1.条件概率的概念条件概率的概念 如在事件如在事件B(附加信息附加信息)发生的条件下求发生的条件下求事件事件A发生的概率，将此概率记作发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般一般 P(A|B)P(A)四、条件概率四、条件概率P(A)=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=1/3P(A|B)15 若事件若事件B已发生已发生,则为使则为使 A也也发生发生,试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中
10、的样本点中的样本点,即即此点必属于此点必属于AB.由于我们已经由于我们已经知道知道B已发生已发生,故故B变成了新的变成了新的样本空间样本空间,于是于是 有有(1).设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)2.条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.163.条件概率的性质条件概率的性质设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0,则则1.对任一事件对任一事件A，0P(A|B)1;2.P(S|B)=1；3.设设A1,A2,互不相容，则互不相容，则P(A1+A2+)|B=P(A1|B)+P(A2|B)+前面对概率所
11、证明的一些重要性质都前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率适用于条件概率.17 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4.条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:P(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数18例例8 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少?解法解法1:解法解
12、法2:解解:设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算19例例9 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的年以上的概率为概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4.问现问现年年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到25岁以上的概岁以上的概率是多少？率是多少？解：设解：设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为所求为P(B|A).20由条件概率的定义：由条件概率的
13、定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而而 P(AB)=P(BA)五、乘法公式五、乘法公式若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率21例例10 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300件是乙厂生产的件是乙厂生产的.而在这而在这300
14、个零件中，有个零件中，有189个个是标准件，现从这是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这这个零件是乙厂生产的标准件个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件注意注意P(AB)与与P(A|B)的区别！的区别！22所求为所求为P(AB).设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少
15、问它是标准件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B).B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产23当当P(A1A2A3)0时，有时，有P(A1A2A3）=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:当当P(A1A2An-1)0时，有时，有P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)24乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球
16、.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜个与所抽出的球具有相同颜色的球色的球.这种手续进行四次，试求第一、这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概二次取到白球且第三、四次取到红球的概率率.（波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球,r个红球个红球25于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球一、第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球个白球,r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐
17、中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球.解解:设设Wi=第第i次取出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球，j=1,2,3,426用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c0 时，由于每次取出球后会增加下时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率一次也取到同色球的概率.这是一个这是一个传染病传染病模型模型.每次发现一个传染病患者，都会增加每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)2
18、7例例1111 盒中装有盒中装有5 5个产品个产品,其中其中3 3个一等品，个一等品，2 2个个二等品二等品,从中不放回地取产品从中不放回地取产品,每次每次1 1个个,求求（1 1）取两次，两次都取得一等品的概率）取两次，两次都取得一等品的概率;（2 2）取两次，第二次取得一等品的概率）取两次，第二次取得一等品的概率;（3 3）取三次，第三次才取得一等品的概率）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4 4）取两次，已知第二次取得一等品，求）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率第一次取得的是二等品的概率.解解 令令 Ai 为第为第 i 次取到一等品次取到一等品（1）28提问
19、：第三次才取得一等品的概率提问：第三次才取得一等品的概率,是是（2 2）更简单解）更简单解（2 2）取两次，第二次取得一等品的概率）取两次，第二次取得一等品的概率;29（4 4）取两次，已知第二次取得一等品，）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率求第一次取得的是二等品的概率.（3 3）取三次，第三次才取得一等品的概率）取三次，第三次才取得一等品的概率;30例例1212 为了防止意外为了防止意外,矿井内同时装有矿井内同时装有A与与B两两两种报警设备两种报警设备,已知设备已知设备 A 单独使用时有效单独使用时有效的概率为的概率为0.92,0.92,设备设备 B 单独使用时有效的概单独使用时有效的概率为率为0.93,0.93,在设备在设备 A 失效的条件下失效的条件下,设备设备B 有有效的概率为效的概率为 0.85,0.85,求发生意外时至少有一个求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率报警设备有效的概率.设事件设事件 A,B 分别表示设备分别表示设备A,B 有效有效 已知已知求求分析分析31解解 由由即即故故另解另解32