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1、1-3 基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数11、函数的基本性质：、函数的基本性质：2、复合函数的合成与分解、复合函数的合成与分解复习2第三节第三节 基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数1.常值函数常值函数常常值值函数函数y=C,其中其中C为为常数其定常数其定义义域域为为(-,+).其函数其函数图图形形为为平行于平行于x轴轴的直的直线线.32.幂函数幂函数函数函数 称为幂函数称为幂函数.无论无论 为何值为何值,函数在函数在(0,+)内总是有定义的内总是有定义的.4指指数数函函数数的的定定义义域域是是(,+)图图象象通通过点过点(0,1),且总在且
2、总在x轴上方轴上方.当当a1时时,函数是单调增加的；函数是单调增加的；当当0a1时时，函函数数单单调调增增加加；当当0a0,a0)称为对数函数称为对数函数.6科学技术中常用以科学技术中常用以e为底的对数函数为底的对数函数y=logex,它被称为自然对数函数，简记作它被称为自然对数函数，简记作 y=lnx另另外外以以10为为底底的的对对数数函函数数y=log10 x,也也是是常常用用的的对对数数函数，简记作函数，简记作y=lgx.75三角函数三角函数常用三角函数有常用三角函数有正弦函数正弦函数 y=sinx;余弦函数余弦函数 y=cosx;正切函数正切函数 y=tanx；余切函数余切函数 y=c
3、otx;正割函数正割函数y=secx；余割函数余割函数y=cscx.其中自变量以弧度作单位来表示其中自变量以弧度作单位来表示8正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数都都是是以以2 为为周周期期的的周周期期函函数数，它它们们的的定定义义域域都都为为(-,+),值值域域都都为为-1,1正正弦弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数函数是奇函数，余弦函数是偶函数9正切函数正切函数 的定义域为的定义域为余切函数余切函数 的定义域为的定义域为正切函数和余切函数的值域都是正切函数和余切函数的值域都是(,+),且它且它们都是以们都是以 为周期的函数，它们都是奇函数为周期的函数，它们都是奇函数.1011正正割割函函数数
4、y=secx;余余割割函函数数y=cscx.它它们们都都是是以以2 为为周期的周期函数，且周期的周期函数，且126.反三角函数反三角函数反反三三角角函函数数是是各各三三角角函函数数在在其其特特定定的的单单调调区区间间上上的的反函数反函数.(1)正弦函数正弦函数y=sinx的反函数的反函数限定选择区间限定选择区间 .因为上式不太合呼大因为上式不太合呼大家的习惯家的习惯,所以常做变所以常做变量的更换量的更换,得得y136.反三角函数反三角函数反反三三角角函函数数是是各各三三角角函函数数在在其其特特定定的的单单调调区区间间上上的的反函数反函数.(1)反正弦函数反正弦函数y=arcsinx是正弦函数是
5、正弦函数y=sinx在区在区间间 上的反函数其定上的反函数其定义义域域为为-1,1值值域域为为(2)反余弦函数反余弦函数yarccosx是余弦函数是余弦函数y=cosx在区在区间间0,上上的反函数其定的反函数其定义义域域为为-1,1,值值域域为为0,.14(3)反正切函数反正切函数y=arctanx是正切函数是正切函数y=tanx在区在区间间 内的反函数其定义域为内的反函数其定义域为(,+),值值域为域为(4)反余切函数反余切函数y=arccotx是余切函数是余切函数y=cotx在区在区间间(0,)内的反函数，其定内的反函数，其定义义域域为为(,+),值值域域为为(0,).15常函数，幂函数常
6、函数，幂函数常函数，幂函数常函数，幂函数,指数函数指数函数指数函数指数函数,对数函数对数函数对数函数对数函数,三角函数三角函数三角函数三角函数和和和和反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数统称为统称为统称为统称为基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数.由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过有限次四则运算有限次四则运算有限次四则运算有限次四则运算和和和和定义：定义：定义：定义：如：如：如：如：有限次的函数复合步骤有限次的函数复合步骤有限次的函数复合步骤有限次的函数复合步骤所构成并可用所构成并可用所构成并可用所构成并可用一个式子
7、一个式子一个式子一个式子表示的函数表示的函数表示的函数表示的函数,称为称为称为称为初等函数初等函数初等函数初等函数.二、初等函数二、初等函数但但但但是复合函数是复合函数是复合函数是复合函数.呢呢呢呢？16第四节第四节 经济学中常见的函数经济学中常见的函数一、需求函数与供给函数一、需求函数与供给函数二、成本函数二、成本函数三、收益函数三、收益函数四、利润函数四、利润函数五、其它函数五、其它函数17商品的需求量与其价格之间的函数关系商品的需求量与其价格之间的函数关系.价格即是指商品的销售价格价格即是指商品的销售价格,常用字母常用字母 P 来来表示表示.即即Q=f(P)商品的需求量商品的需求量:消费
8、者具有购买该商品的欲望消费者具有购买该商品的欲望和能力的商品的数量和能力的商品的数量,常用字母常用字母 Q 表示表示.1 1、需求函数、需求函数 一、需求函数与供给函数一、需求函数与供给函数18 一般说来，商品价格低，需求量就大，商品价格高，一般说来，商品价格低，需求量就大，商品价格高，需求就小，因此需求函数需求就小，因此需求函数 Q=f(P)为单调减少函数，它的为单调减少函数，它的图形称之为需求曲线如图图形称之为需求曲线如图.在应用时，需求函数可由一些简在应用时，需求函数可由一些简单初等函数去近似。如单初等函数去近似。如 线性函数线性函数 反比例函数反比例函数 幂函数幂函数 指数函数指数函数
9、 等。等。19 2 2、供给函数、供给函数 供给指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有可供供给指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。供给也是由多种因素决定，这里略去价格出售的商品量。供给也是由多种因素决定，这里略去价格以外的其它因素以外的其它因素,只讨论供给与价格的关系。只讨论供给与价格的关系。设设 P 表示商品价格表示商品价格,S 表示供给量表示供给量,那么把那么把 S=S(P)称之为供给函数。称之为供给函数。一般说来，商品价格低，生产者一般说来，商品价格低，生产者不愿生产，供给少；商品价格高，不愿生产，供给少；商品价格高，供给就多，因此供给函数一般为单供给就多，因此供
10、给函数一般为单调增加函数。供给函数的图形也称调增加函数。供给函数的图形也称之为供给曲线之为供给曲线(如图如图)。20 在应用时，供给函数也可由一些简单初等函数去近似。在应用时，供给函数也可由一些简单初等函数去近似。如如 线性函数线性函数 幂函数幂函数 指数函数指数函数 等。等。21 均衡价格均衡价格:若市场上某种商品的供给量与需求量相等若市场上某种商品的供给量与需求量相等,这时称这种商品的供、需达到了平衡这时称这种商品的供、需达到了平衡,此时此时 该商品的价格称为该商品的价格称为均衡价格均衡价格.常记为常记为 .此时，此时，22设该产品的线性需求函数为设该产品的线性需求函数为解：解：解：解：解
11、得解得:由问题设有由问题设有：从而可求需求量函数为从而可求需求量函数为:例例例例1 1 1 1：某某种种产产品品每每台台售售价价500元元时时,每每月月可可销销售售1500台台,每每台台售售价价降降为为450元元时时,每每月月可可增增销销250台台,试试求求该该产产品品的线性需求函数的线性需求函数.23 成本函数指的是产品的总成本和产量之间的关系。成本函数指的是产品的总成本和产量之间的关系。某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源投入经济资源投入(劳力、原料、设备等劳力、原料、设备等)的价格或费用总的价格或费用总 额。它由固定成本与
12、可变成本组成。额。它由固定成本与可变成本组成。二、成本函数二、成本函数总成本总成本 =固定成本固定成本 +可变成本可变成本 固定成本固定成本:固定不变的成本固定不变的成本,该成本不随产量该成本不随产量的变化而变化的变化而变化.例如例如:厂房厂房,机器设备机器设备,管理费用等管理费用等.可变成本可变成本:可以变化的成本可以变化的成本,该成本会随产该成本会随产量的变化而变化量的变化而变化.例如例如:购买原料的费用购买原料的费用,工人的工人的生产奖金等生产奖金等.为产品为产品的产量的产量24 一方面一方面,可以想象可以想象,生产产量越大生产产量越大,成本就越高成本就越高,因而为增因而为增函数函数 ,
13、一般地一般地 ,成本函数的图形大致类同于下图成本函数的图形大致类同于下图.常常还需要研究平均成本常常还需要研究平均成本(单位成本单位成本):平均成本平均成本=总成本总成本总产量总产量即平均成本即平均成本(单位成本单位成本)=25例例2 2 已知某产品的总成本函数为已知某产品的总成本函数为 C(Q)=200+5Q+0.5Q2求求:(1)(1)固定成本固定成本;(2)(2)产量产量Q=20时的总成本时的总成本;(3)(3)平均成本平均成本;(4)(4)产量产量Q=20时的平均成本时的平均成本.解：解：(1)固定成本即固定成本即C(0)=(200+5Q+0.5Q2)Q=0=200 (2)即求即求C(
14、20)=(200+5Q+0.5Q2)Q=20=500(3)平均成本平均成本(4)即求即求26 三、收益函数三、收益函数 收益函数收益函数R(Q)表示出售产品的数量为表示出售产品的数量为 Q 时的总收时的总收 益。益。若用若用P P表示价格，表示价格，则则 R(Q)=PQ.如果产品价格为一常数如果产品价格为一常数 P,此时此时 ,R(Q)的图形是一的图形是一 条直线条直线 ,但实际情况是销售量但实际情况是销售量 Q 大到一定程度大到一定程度 ,由由 于市场的调节于市场的调节 ,价格就会下降价格就会下降 ,因而因而R(Q)的图形一般的图形一般 应具有如下的形状。应具有如下的形状。若用若用 表示平均
15、表示平均收益收益 ,则则27 四、利润函数四、利润函数 利润函数是总利润和产量利润函数是总利润和产量 Q 之间的关系之间的关系,记记 为为L(Q).在经济学中一般认为生产的产品总能销售在经济学中一般认为生产的产品总能销售 出去出去,而且成立一个重要关系是而且成立一个重要关系是 总利润总利润=总收益总收益 总成本总成本 把总收益和总成本都看成是产量把总收益和总成本都看成是产量 Q 的函数，有的函数，有利润函数利润函数=收益函数收益函数 成本函数成本函数28 L(Q)=R(Q)-C(Q)当当R(Q)C(Q)时时,厂商盈利；厂商盈利；当当R(Q)C(Q)时时,厂商亏损；厂商亏损；当当R(Q)=C(Q
16、)时时,厂商不赔也不赚，厂商不赔也不赚，当产量当产量Q0使得使得R(Q0)=C(Q0),即即L(Q0)=0时时,称称Q0为盈为盈亏临界点或保本点亏临界点或保本点 29 例例3 设某产品的固定成本为设某产品的固定成本为100万元万元,每生每生产产1百件成本就增加百件成本就增加4万元万元,已该商品市场前景看已该商品市场前景看好好,即产品可以全部销售出去即产品可以全部销售出去,又知其需求量函又知其需求量函数为数为 试求其总利润函数试求其总利润函数解解 总成本总成本总收益为总收益为所以总利润为所以总利润为30例例例例4 4：某商品的成本函数与收入函数分别为某商品的成本函数与收入函数分别为C=21+5q
17、,R=8q,求该商品的盈亏平衡点求该商品的盈亏平衡点解：解：解：解：盈亏平衡点即使利润为零的产量值。盈亏平衡点即使利润为零的产量值。故故L(q)=R-C=8q-(21+5q)=3q-21=0 即即q=731 例例5 设有一块边长为设有一块边长为 a 的正方形薄板的正方形薄板,将它的四角将它的四角 剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子,试将盒试将盒 子的体积表示成小正方形边长的函数子的体积表示成小正方形边长的函数(如下图如下图).解解 设剪去的小正方形的边长为设剪去的小正方形的边长为 x,盒子的体积为盒子的体积为V,则盒子的底面积为则盒子的底面积为 高为高
18、为 x,因此所求的函数因此所求的函数 关系为关系为 五、其它函数五、其它函数32 例例6：戈珀兹：戈珀兹(Gompertz)曲线曲线 戈珀兹曲线是戈珀兹曲线是 在经济预测中在经济预测中,经常使用该经常使用该 曲线。曲线。当当 lg a 0,0 b 0 且无限增大时且无限增大时,其无限与直线其无限与直线 y=k 接近接近,且始终位于该直线下方。在产品销售预测且始终位于该直线下方。在产品销售预测 中中,当预测销售量充分接近到当预测销售量充分接近到 k 值时值时,表示该产品在商表示该产品在商 业流通中将达到市场饱和。业流通中将达到市场饱和。331、基本初等函数和初等函数、基本初等函数和初等函数 2、常用的经济学函数、常用的经济学函数小结作业：作业：P28P28：1.1.P29P29：6.6.预习：从预习：从3131页到页到3737页页.34