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1、经济学中常用的函数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一一.常用的几个经济函数常用的几个经济函数1.需求函数需求函数 (1)需求函数商品的需求量需求函数商品的需求量 Qd,受消费者的偏好收入及受消费者的偏好收入及需求函数需求函数 一般是一般是 p 的递减函数的递减函数.最常见、最最常见、最(a、b均为正常数均为正常数)则称此函数为则称此函数为需求函数需求函数.商品价格等等因素的影响商品价格等等因素的影响.但最主要的是价格因素但最主要的是价格因素;若若不
2、考其它因素不考其它因素,把需求量把需求量 Qd 只看成价格只看成价格 p 的函数的函数,即即简单的需求函数是如下形式的线性需求函数简单的需求函数是如下形式的线性需求函数1.3 经济学中常用的函数经济学中常用的函数2 这个函数的几何形态这个函数的几何形态,是一条反应需求量与价格关系的是一条反应需求量与价格关系的bop特别地特别地,当价格当价格 p=0时时,需求量需求量 Qd=b,它表示人们的它表示人们的Qd曲线曲线,我们称之为需求曲线我们称之为需求曲线,如右图如右图.需要是有限的需要是有限的.b/a 为最大销售价格为最大销售价格,此时需求量为零此时需求量为零.作价格函数作价格函数.当然价格当然价
3、格 p 也可表示成需求量也可表示成需求量Qd的函数的函数,称称3解解 设价格由设价格由70元增加元增加 k个个3元元,则则 例例1 某产品销售某产品销售70元元/件件,可买出可买出10000件件,价格每增价格每增加加3元就少买元就少买300件件,求需求量求需求量 Qd 与价格与价格 p 的函数的函数.从而从而故故4(2)供给函数供给函数 生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的,其中其中(c、d 均为正常数均为正常数)反应供给量与价格关系的曲线反应供给量与价格关系的曲线,我们称之为供给曲线我们称之为供给曲线,opQd价格是最主要的因素价格是最主要的因素;
4、一般地一般地,价格越高价格越高,就越要加大就越要加大供应供应,因此供给量因此供给量Qs 是价格是价格 p 的单增函数的单增函数.最简单的供给最简单的供给函数是如下形式的线性函数是如下形式的线性供给函数供给函数.如图如图.5 例例2 某商品当价格为某商品当价格为50元时元时,有有50单位投放市场单位投放市场,显然只有价格不低于显然只有价格不低于 d/c 时时,才有供给量才有供给量Qs,因为厂因为厂(3)均衡价格均衡价格均衡价格就是使一种商品的市场需求量均衡价格就是使一种商品的市场需求量Qd 与供给量与供给量Qs商都不愿作亏本生意商都不愿作亏本生意.当价格为当价格为75元时元时,有有100单位投放
5、市场单位投放市场,求供给求供给 Qs 与价与价格格p的函数的函数.相等时的价格相等时的价格;即均衡价格就是使即均衡价格就是使 f(p)=g(p)时的价格时的价格,记为记为p*.显然此时的市场处于均衡状态显然此时的市场处于均衡状态.解解 设设 ,则则6即如果需求量大于供给量则价格会上涨即如果需求量大于供给量则价格会上涨,反之反之,价格价格当市场价格当市场价格 p 高于均衡价格高于均衡价格 p*时时,则供给量则供给量Qs将增加将增加,因此因此,市场上商品价格的调节市场上商品价格的调节,就是按照需求律与供就是按照需求律与供需求量需求量 Qd 将相应地减少将相应地减少;反之反之,当市场价格当市场价格
6、p 低于均衡低于均衡价格价格 p*时时,则供给量则供给量 Qs 将减少将减少,而需求量而需求量 Qd 将增将增加加.给律来实现的给律来实现的.会降低会降低.因此因此,市场上商品的价格总是围绕均衡价格上市场上商品的价格总是围绕均衡价格上下浮动下浮动.72.总成本函数总成本函数某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部它由固定资本它由固定资本(生产准备费生产准备费,用于维修、添制设备等用于维修、添制设备等)b元元每件产品的成本每件产品的成本(称为单位成本或平均成本称为单位成本或平均成本)为为 经济资源的价格或费用总额经济资源的价格或费用总额.和可变
7、资本和可变资本(每单位产品消耗原材料、劳力等费用每单位产品消耗原材料、劳力等费用)a元元,则生产则生产 x 件产品的总成本为件产品的总成本为 83.销售收入函数销售收入函数(总收益函数总收益函数)4.总利润函数总利润函数总利润是总收入总利润是总收入 R(x)与总成本与总成本 C(x)之差之差.总收益是产量的函数总收益是产量的函数.设某种产品的销售量为设某种产品的销售量为x,价格为价格为 p,则销售收入函数为则销售收入函数为 而价格而价格 p 又可表为又可表为 x 的函数的函数,所以销售收入函数可看成所以销售收入函数可看成 设设 x 件产品的总成本为件产品的总成本为 C(x),销售收入为销售收入
8、为 R(x).则利润为则利润为5.其它经济函数其它经济函数x 的函数的函数 R(x).9二二.建立函数关系举例建立函数关系举例运用数学来解决实际问题运用数学来解决实际问题,首先要把问题中的数量关系首先要把问题中的数量关系 例例3 某型号手机价格为每只某型号手机价格为每只1000元时能卖出元时能卖出15只只,当价当价格为每只格为每只800元时元时,能卖出能卖出20只只.已知手机的价格高低与已知手机的价格高低与其需求量多少是线性关系其需求量多少是线性关系,试建立该型号手机的需求量试建立该型号手机的需求量解解 价格价格 x 元元/只只,需求量需求量 y只只,则则用数学表达式表示出来用数学表达式表示出
9、来,也就是建立数学模型也就是建立数学模型.为此必须明为此必须明确问题中的常量和变量确问题中的常量和变量,变量中的自变量和因变量变量中的自变量和因变量,以及以及它们之间存在什么关系它们之间存在什么关系,以确定函数关系以确定函数关系,根据实际问题根据实际问题的要求指出定义域的要求指出定义域.与价格之间的函数关系与价格之间的函数关系.10例例4 工厂生产某种产品工厂生产某种产品,生产准备费生产准备费1000元元,可变资可变资本本4元元,单位售价单位售价8元元.求：求：(1)总成本函数总成本函数;(2)单位成本函数单位成本函数;(3)销售收入函数销售收入函数;(4)利润函数利润函数.解解11例例5 某
10、工厂在一年内分若干批生产某种车床某工厂在一年内分若干批生产某种车床,年产年产 解解 设批量为设批量为 x台台,库存费与生产准备费之和为库存费与生产准备费之和为p(x),则则全年的生产准备费为全年的生产准备费为(a/x)b,库存费为库存费为(x/2)c,故故其中其中 a/x 为批数为批数,x/2 为库存量为库存量.量为量为 a 台台,每批生准备费每批生准备费 b 元元,设产品均匀投入市场设产品均匀投入市场(即即平均库存量为批量的一半平均库存量为批量的一半),每年每台库存费为每年每台库存费为 c 元元,显显然然,生产批量大则库存费高生产批量大则库存费高;生产批量小则批数增多生产批量小则批数增多;因
11、因而生产准备费高而生产准备费高.试求出一年中库存费与生产准备费之试求出一年中库存费与生产准备费之和和与批量的函数关系与批量的函数关系.12 例例6 某矿厂某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂B冶炼冶炼.已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里公里,xABCMab解解它的垂足它的垂足 C 到到 B 的距离为的距离为 b公里公里.又知铁路运价为又知铁路运价为 m 元元/吨吨公里公里,公路运价是公路运价是 n元元/吨吨公里公里(m 0)和率减和率减(r 0)就遵这就遵这种规律种规律,而且是立即产生立即结算而且是立即产生立即结算.例如细胞的繁殖、树例如细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的率减等木生长、物体冷却、放射性元素的率减等.此函数即可看成期数此函数即可看成期数 t 的函数的函数,也可看成结算次数也可看成结算次数 m的的函数函数.14