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1、第3章力偶系本讲稿第一页，共三十一页一、平面中力对点之矩一、平面中力对点之矩力对点之矩：力使刚体绕点（矩心）转动效应的度量。力对点之矩：力使刚体绕点（矩心）转动效应的度量。平面中力对点之矩的正负规定：平面中力对点之矩的正负规定：力使刚体绕点逆时针转为正，顺时针力使刚体绕点逆时针转为正，顺时针转为负。转为负。第三章第三章 力偶系力偶系3-1 3-1 力对点之矩矢力对点之矩矢-+本讲稿第二页，共三十一页二、力对点之矩矢二、力对点之矩矢 1.1.力对点之矩矢的定义力对点之矩矢的定义 空间问题中引用力对点之空间问题中引用力对点之矩矩矢矢度量力使刚体绕某点的转动效应。度量力使刚体绕某点的转动效应。定义：
2、定义：力对点之矩矢等于矩心到力作用点的矢径与力力对点之矩矢等于矩心到力作用点的矢径与力的矢量积。的矢量积。本讲稿第三页，共三十一页力矩矢的力矩矢的大小大小（转动效应的强度）（转动效应的强度）力矩矢的力矩矢的方向方向：方位：力与矩心所确定平面的法向方位：力与矩心所确定平面的法向 指向：右手螺旋法则判定指向：右手螺旋法则判定（定位矢量）（定位矢量）本讲稿第四页，共三十一页2.2.力对点之矩矢的解析表达式力对点之矩矢的解析表达式本讲稿第五页，共三十一页的解析表达式的解析表达式本讲稿第六页，共三十一页3.3.力对点之矩矢的基本性质力对点之矩矢的基本性质 力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产生力对
3、点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产生的绕点的转动效应可用一个力矩矢度量，等于各力对点的绕点的转动效应可用一个力矩矢度量，等于各力对点之矩矢的矢量和。之矩矢的矢量和。本讲稿第七页，共三十一页4.4.合力矩定理合力矩定理 平面力系合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代平面力系合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。数和。本讲稿第八页，共三十一页例：例：求图所示力求图所示力F 对对A 点之矩。点之矩。解：解：将力将力F 分解两垂直的力分解两垂直的力Fx、Fy，由合力矩定理可得，由合力矩定理可得 本讲稿第九页，共三十一页一、力对轴之矩的定义一、力对轴之矩的定义 力对轴之矩等
4、于力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面交点之矩。交点之矩。力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则确定，拇指力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。指向与轴的正向一致为正，反之为负。3-2 3-2 力对轴之矩力对轴之矩 力与轴相交或力与轴平行时，力对轴之矩为零。力与轴相交或力与轴平行时，力对轴之矩为零。(3)(3)合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。本讲稿第十页，共三十一页二、力对轴之矩的解二、力对轴之矩的解析表达式析表达式 本讲稿第十一
5、页，共三十一页力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。三、力对点之矩与力对轴之矩的关系三、力对点之矩与力对轴之矩的关系本讲稿第十二页，共三十一页力对点之矩矢可表示为力对点之矩矢可表示为力对点之矩矢的方向力对点之矩矢的方向 力对点之矩矢的大小力对点之矩矢的大小 通过计算力对轴之矩实现计算通过计算力对轴之矩实现计算力对点之矩矢力对点之矩矢本讲稿第十三页，共三十一页 例例 已知已知:P=2000N,C点在Oxy平面内求：力求：力P对点O的矩。本讲稿第十四页，共三十一页解解：将力向坐标轴方向分解；（二次投影法）本讲稿第十五页，共三十一页求
6、力对轴的矩本讲稿第十六页，共三十一页 例例 试求力F对OD之矩。F=10kN，各边长分别为20cm、30cm、40cm。解：解：由于力对由于力对OD之力臂不是很明了，之力臂不是很明了，故先求出力对故先求出力对O点之矩矢，再将其投影点之矩矢，再将其投影到到OD上去上去 MO(F)OD=MOD(F)MO(F)=0.410i=4i kNm本讲稿第十七页，共三十一页力偶：作用于刚体上力偶：作用于刚体上等值、反向、平行而不共线等值、反向、平行而不共线的两个力组成的两个力组成的力系，记为（的力系，记为（）3-3 3-3 力偶矩矢力偶矩矢 力偶只能使物体产生转动，不能使物体产生移动力偶只能使物体产生转动，不
7、能使物体产生移动。力偶不能与一个力等效，力和力偶是静力学中两个基本元素。力偶不能与一个力等效，力和力偶是静力学中两个基本元素。力偶作用面、力偶臂力偶作用面、力偶臂d d本讲稿第十八页，共三十一页 力偶矩矢的大小：力偶矩矢的大小：|M|=|=|rABF|=|=Fd；力偶矩矢的方；力偶矩矢的方位位：力偶作用面的法向；力偶矩矢指向：右手螺旋法则确定。力偶作用面的法向；力偶矩矢指向：右手螺旋法则确定。平面力偶系，各力偶矩矢量互相平行，用标量表示力平面力偶系，各力偶矩矢量互相平行，用标量表示力偶矩的大小和转向，逆时针转为正，反之为负。偶矩的大小和转向，逆时针转为正，反之为负。力偶矩矢的解析表示式：力偶矩
8、矢的解析表示式：M=Mx i+My j+Mz k力偶对物体的转动效应用力偶对物体的转动效应用力偶矩矢力偶矩矢M 来度量。来度量。本讲稿第十九页，共三十一页一、力偶的等效条件一、力偶的等效条件 力偶矩矢等效条件是两个力偶矩矢相等。力偶矩矢等效条件是两个力偶矩矢相等。二、力偶的性质二、力偶的性质 力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。3-4 3-4 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质1.1.力偶的性质一力偶的性质一本讲稿第二十页，共三十一页力偶中的两个力对任一点之矩之和与矩心位置无关，恒等于力力偶中的两个力对任一点之矩之和与矩心位置无关，恒等
9、于力偶矩矢量。偶矩矢量。2.2.力偶的性质二力偶的性质二本讲稿第二十一页，共三十一页 保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶中的保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶中的力和力偶臂，不改变对刚体的作用效应。力和力偶臂，不改变对刚体的作用效应。力偶在其作用平面内可任意转移或移到另一平行力偶在其作用平面内可任意转移或移到另一平行平面，不改变对刚体作用效应。平面，不改变对刚体作用效应。3.3.力偶的性质三力偶的性质三力偶在同一刚体内是一自由矢量力偶在同一刚体内是一自由矢量本讲稿第二十二页，共三十一页力偶系合成为一合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各分力偶力偶系合成为一合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各
10、分力偶的力偶矩矢之矢量和。的力偶矩矢之矢量和。3-5 3-5 力偶系的合成力偶系的合成本讲稿第二十三页，共三十一页合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的大小 合力偶矩矢的方向合力偶矩矢的方向 平面力偶系的合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。平面力偶系的合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。本讲稿第二十四页，共三十一页例：例：三力偶如图示，已知三力偶如图示，已知 N,力偶臂力偶臂d1=200mm，N，力偶臂力偶臂d2=300mm，N，力偶臂力偶臂d3=180mm，求其合力偶矩。求其合力偶矩。解：解：三个分力偶的力偶矩大小为：三个分力偶的力偶矩大小为：N.mN.mN.m本讲稿第二十五页，共三十一页根据合力偶矩矢在某一
11、坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢根据合力偶矩矢在某一坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢在同一坐标轴上的投影之代数和，有：在同一坐标轴上的投影之代数和，有：N.mN.mN.m合力偶矩矢合力偶矩矢MR的大小和方向余弦分别为：的大小和方向余弦分别为：N.m本讲稿第二十六页，共三十一页 力偶系作用下刚体平衡的充分且必要条件：合力偶矩矢等于零，力偶系作用下刚体平衡的充分且必要条件：合力偶矩矢等于零，即力偶系即力偶系n 个力偶矩矢的矢量和等于零。个力偶矩矢的矢量和等于零。力偶系平衡的充分且必要条件是各力偶矩矢在直角坐标系各轴力偶系平衡的充分且必要条件是各力偶矩矢在直角坐标系各轴上投影的代数和分别等于零。上投影的
12、代数和分别等于零。3-6 3-6 力偶系的平衡条件力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的充分且必要条件是力偶矩代数和为零。平面力偶系平衡的充分且必要条件是力偶矩代数和为零。空间力偶系的平空间力偶系的平衡方程衡方程本讲稿第二十七页，共三十一页 例：例：三铰拱三铰拱 AC 的部分上作用有力偶，其力偶矩为的部分上作用有力偶，其力偶矩为 M。已知两个半。已知两个半拱的直角边成正比，即拱的直角边成正比，即 a:b=c:a，不计三铰拱自重，求，不计三铰拱自重，求A、B 两点的约束力。两点的约束力。解：解：各杆受力图如图，由几何关系可得各杆受力图如图，由几何关系可得FA、FC垂直于垂直于AC。建立平。建立平衡方程
13、衡方程 解得：解得：本讲稿第二十八页，共三十一页 例：例：图示机构，套筒图示机构，套筒A 穿过摆杆穿过摆杆 O1B，用销子连接在曲柄，用销子连接在曲柄OA上，已上，已知长为知长为 a，其上作用有力偶，其上作用有力偶 M1。在图示位置。在图示位置=30o，机械能维持平衡。，机械能维持平衡。不计各杆自重及摩擦不计各杆自重及摩擦，试求在摆杆试求在摆杆 O1B 上所加力偶的力偶矩上所加力偶的力偶矩 M2。解：解：以杆以杆O1B 为研究对象，受力图如图，建立平衡方程为研究对象，受力图如图，建立平衡方程 本讲稿第二十九页，共三十一页 以曲柄以曲柄OA 和套筒为研究对象，对于曲柄和套筒力偶只能与力和套筒为研
14、究对象，对于曲柄和套筒力偶只能与力偶平衡，故力偶平衡，故力FA、FO 必构成力偶。受力图如图，建立平衡方程必构成力偶。受力图如图，建立平衡方程 解得：解得：由于由于 本讲稿第三十页，共三十一页 例：例：在直角三角形棱柱体的三个侧面上各受一力偶作用，力偶矩矢量分别在直角三角形棱柱体的三个侧面上各受一力偶作用，力偶矩矢量分别为为M1、M2、M3，如图所示。已知，如图所示。已知M1=100Nm，保持物体平衡时求，保持物体平衡时求M2、M3。解解:根据空间力偶系的平衡条件，力偶矩矢根据空间力偶系的平衡条件，力偶矩矢M1 、M2 、M3构成一封构成一封闭多边形，如图所示，由图可得闭多边形，如图所示，由图可得 本讲稿第三十一页，共三十一页