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1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节3、球面坐标系下、球面坐标系下三重积分的计算 第六章 2、柱面坐标系下、柱面坐标系下1、直角坐标系下、直角坐标系下目录 上页 下页 返回 结束 复习、三重积分的概念复习、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.设存在,称为体积元素体积元素,若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常
2、写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如 下列“乘中值定理中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V 为 的体积,积和式”极限记作记作目录 上页 下页 返回 结束 1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)方法方法3.三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:目录 上页 下页 返回 结束 方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作目录 上页 下页 返回 结束 方法方
3、法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)为底,d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作目录 上页 下页 返回 结束 投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时,因为均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1.计算三重积分所围成的闭区域.解解:面及平面目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算三重积分解解:用用“先二后一先二后一”目录 上页 下页 返回 结束 例例3解一解一 先重后单先重后单目录 上页 下页 返回 结束
4、 解二解二 先单后重先单后重将将 投影到投影到 xoy 面得面得D例例3目录 上页 下页 返回 结束 例例4解解目录 上页 下页 返回 结束 14解法一解法一例例5目录 上页 下页 返回 结束 解法二解法二目录 上页 下页 返回 结束 例例6解目录 上页 下页 返回 结束 2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 目录 上页 下页 返回 结束 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面目录 上页 下页 返回 结束 如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面
5、坐标表示时变量互相分离变量互相分离.目录 上页 下页 返回 结束 其中 为例例7.计算三重积分所解解:在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.目录 上页 下页 返回 结束 例例8.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中 由抛物面原式=目录 上页 下页 返回 结束 解解目录 上页 下页 返回 结束 3.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面目录 上页 下页 返回 结束 如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.目录 上页 下页 返回 结束 例例10.计算三重积分解解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面目录 上页 下页 返回 结束 例例11.计算积分其中 是两个球(R 0)的公共部分.提示提示:由于被积函数缺 x,y,原式=利用“先二后一先二后一”计算方便.