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1、用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？两角和一边，两角和一边，两边和其中一边的对角。两边和其中一边的对角。正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。角的正弦的比相等。复习回顾第1页/共22页 思考：思考：如果在一个斜三角形中，已知如果在一个斜三角形中，已知两边及这两边及这两边的夹角两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？为什么？不能，在正弦定理 中，已知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两个未知量。那么，怎么解这个三角形呢？第2页/共22页同理，从 出发，证得
2、从 出发，证得 证明：学过向量之后，我们能用向量的方法给予证明余弦定理。已知AB,AC和它们的夹角A，求CB即CBA向量法第3页/共22页解析法CBAcabyx(bcosC,bsinC)(a,0)(0，0)证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：第4页/共22页同理：CBAcabyx(bcosC,bsinC)(a,0)(0，0)解析法第5页/共22页ABCabcD当角C为锐角时几何法几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc 余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。第6页/共22页在锐角三角形ABC
3、中，已知AB=c,AC=b和A,求a同理有：同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个等式成立的，课后请同学们自己证明。D几何法ABCcba第7页/共22页用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和,再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余 弦 定 理第8页/共22页例1：若已知b=8,c=3,A=,能求a吗？思考：余弦定理还有别的用途吗？若已知a,b,c,可以求什么？解：第9页/共22页余弦定理的变形：余弦定理的变形：第10页/共22页例例2 2、在三角形、在三角形ABCABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,a=7,b=10,c=6,求求A A，B B，C C（精确到（
4、精确到 ）分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来解决问题解：第11页/共22页练一练：练一练：1、已知ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1 则最大内角为A由余弦定理 cosA=12+22-()2221=-12 A=120变一变：变一变：若已知三边的比是若已知三边的比是 :2:1,又又怎么求？怎么求？第12页/共22页 归纳：归纳：利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。第13页/共22页解：由余弦定理得：例3、在ABC中,若a=4、b=5、c
5、=6（1)试判断角C是什么角？（2）判断ABC的形状第14页/共22页变式训练：在ABC中，若，则ABC的形状 为（）、钝角三角形、直角三角形、锐角三角形、不能确定A第15页/共22页C CB BA Ab ba ac c提炼：设提炼：设a是最长的边，则是最长的边，则ABC是钝角三角形ABC是锐角三角形ABC是直角三角形推论：推论：判断三角形的形状第16页/共22页练习：练习：一钝角三角形的边长为连续自然数，一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为则这三边长为（）A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角，即该
6、角的余弦值小于0。B中：，所以C是钝角D中：，所以C是锐角，因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形A、C显然不满足B第17页/共22页练习：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC=,求最大角的余弦值分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。解：则有：b是最大边，那么B 是最大角第18页/共22页（1）余弦定理适用于任何三角形（3）由余弦定理可知：（2）余弦定理的作用：a、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角c、判断三角形的形状小结第19页/共22页 正余弦定理在解三角形中能正余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？解决哪些问题？角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理运用运用第20页/共22页 例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,C=,解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 ）分析：已知两边和两边的夹角解：数学运用思考:(1)还可怎样求角A？(2)角A会有两解吗？第21页/共22页谢谢您的观看！第22页/共22页