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1、12015淮安淮安下列四组线段中，能组成直角三角形的是下列四组线段中，能组成直角三角形的是()Aa1，b2，c3 Ba2，b3，c4Ca2，b4，c5 Da3，b4，c52在在RtABC中，中，C90，B30，斜边，斜边AB的长为的长为2 cm，则，则AC长为长为()小题热身DC第1页/共37页32014昆明昆明如图如图241，在，在RtABC中，中，ACB90，AB10 cm，点，点D为为AB的中点，则的中点，则CD_cm5图241第2页/共37页42015永康模拟永康模拟如图如图242为一圆柱体工艺品，其底面为一圆柱体工艺品，其底面周长为周长为60 cm，高为，高为25 cm，从点，从点A
2、出发绕该工艺品侧面出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点一周镶嵌一根装饰线到点B，则该装饰线最短长为，则该装饰线最短长为_cm.图24265第3页/共37页一、必知一、必知3 知识点知识点1直角三角形直角三角形定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形直角三角形性质：直角三角形性质：(1)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角_；(2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的直角三角形的斜边上的中线等于斜边的_；(3)在直角三角形中，在直角三角形中，30的角所对的边等于斜边的的角所对的边等于斜边的_直角三角形判定：有两个角互余的三角形是直角三角形判定：有两个
3、角互余的三角形是_三角形三角形考点管理互余互余一半一半一半一半直角直角第4页/共37页2勾股定理勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜，斜边为边为c，那么，那么a2b2_.c2第5页/共37页【智慧锦囊智慧锦囊】勾股定理的作用：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两条边，求第三边；已知直角三角形的两条边，求第三边；(2)已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系；已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系；(3)证明带有平方关系的问题；证明带有平方关系的问题；(4)把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题把实际问题转化为直角三角形
4、中应用勾股定理的问题第6页/共37页3勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足，满足a2b2c2，那么这个三角形是，那么这个三角形是_三角形三角形勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数称为勾股数直角直角【智慧锦囊智慧锦囊】勾股定理逆定理的应用：勾股定理逆定理的应用：(1)判断三角形的形状；判断三角形的形状；(2)证明两条线段垂直；证明两条线段垂直；(3)实际应用实际应用第7页/共37页二、必会二、必会2 方法方法1面积法面积法用面积法证
5、明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用面积法证明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用面积法即利用某个图形的多种面积求法或面积之间用面积法即利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到证明的结论的和差关系列出等式，从而得到证明的结论2数形结合思想数形结合思想在一些实际问题中，如解决立体图形侧面两点的距离问在一些实际问题中，如解决立体图形侧面两点的距离问题，折叠问题，航海问题，梯子下滑问题等，常直接或题，折叠问题，航海问题，梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理，在解决这些问题时，充间接运用勾股定理及其逆定理，在解决这些问题时，充分体现了数形结合思想，是中考的热
6、点考题分体现了数形结合思想，是中考的热点考题第8页/共37页三、必明三、必明3 易错点易错点1在利用勾股定理时，确定所给的边是直角边还是斜边，在利用勾股定理时，确定所给的边是直角边还是斜边，如果题中未说明，需要分类讨论如果题中未说明，需要分类讨论2在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定解题时，往往受思维定式的影响，定理的逆定理来判定解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则误认为如果是直角三角形，则c是斜边，从
7、而造成误解是斜边，从而造成误解3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个性质定直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个性质定理常用于证明一条线段是另一条线段的一半的数量关系理常用于证明一条线段是另一条线段的一半的数量关系注意直角三角形这一前提条件注意直角三角形这一前提条件第9页/共37页类型之一直角三角形的性质的运用类型之一直角三角形的性质的运用 2015黄冈黄冈如图如图243，在，在ABC中，中，C90，B30，边，边AB的垂直平分的垂直平分线线DE交交AB于点于点E，交，交BC于点于点D，CD3，则则BC的长为的长为 ()图243C第10页/共37页【解析解析】线段垂直平分线上的点到线
8、段两端距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，ADBD，可得，可得DAE30，易得，易得ADC60，CAD30，则，则AD为为BAC的角平分线，由角平分线的角平分线，由角平分线的性质得的性质得DECD3，再根据直角三角形，再根据直角三角形30角所对的角所对的直角边等于斜边的一半可得直角边等于斜边的一半可得BD2DE6.所以所以BC9.第11页/共37页2015湖北湖北如图如图244，在，在ABC中，中，B30，BC的垂直平分线交的垂直平分线交AB于于点点E，垂足为，垂足为D，CE平分平分ACB.若若BE2，则，则AE的长为的长为()【解析解析】在在ABC中，中，B30，BC的垂直平分
9、的垂直平分线交线交AB于于E，BE2，BECE2，BDCE30，CE平分平分ACB，图244B第12页/共37页ACEDCE30，ACB2DCE60，A180BACB90.在在RtCAE中，中，第13页/共37页类型之二勾股定理的应用类型之二勾股定理的应用 2015常州常州如图如图245是根据某公园的平面示意图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点古塔位于点A(400，300)，从古塔出发沿射线，从古塔出发沿射线OA方向前方向前行行300 m是盆景园是盆景园B，从盆景园，从盆景园B向左转向左转90后直行后直
10、行400 m到达梅花阁到达梅花阁C，则点，则点C的坐标是的坐标是_(400，800)图245第14页/共37页【解析解析】根据题意结合全等三角形根据题意结合全等三角形的判定与性质得出的判定与性质得出AODACB(SAS)，进而得出，进而得出C，A，D也在一条也在一条直线上，求出直线上，求出CD的长即可得出的长即可得出C点坐点坐标标如答图，连结如答图，连结AC，由题意可得由题意可得AB300 m，BC400 m，在在AOD和和ACB中，中，例2答图第15页/共37页AODACB(SAS)，CABOAD，B，O在一条直线上，在一条直线上，C，A，D也在一条直线上，也在一条直线上，ACAO500 m
11、，则，则CDACAD800 m，C点坐标为点坐标为(400，800)第16页/共37页2014东营东营如图如图246，有两棵树，一棵，有两棵树，一棵高高12 m，另一棵高，另一棵高6 m，两树相距，两树相距8 m一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行树梢，问小鸟至少飞行_m.【解析解析】根据根据“两点之间线段最短两点之间线段最短”可可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，飞行的路程知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出如答图，大树高为如答图，大树高为AB1
12、2 m，小树高为，小树高为CD6 m，过过C点作点作CEAB于于E，则四边形，则四边形EBDC是矩形，连结是矩形，连结AC，10图246第17页/共37页EB6 m，EC8 m，AEABEB6(m)，故小鸟至少飞行故小鸟至少飞行10 m.变式跟进答图第18页/共37页类型之三勾股定理与拼图类型之三勾股定理与拼图 2015株洲株洲如图如图247是是“赵爽弦图赵爽弦图”，ABH，BCG，CDF和和DAE是四个全等的直角三角形，是四个全等的直角三角形，四边形四边形ABCD和和EFGH都是正方形如果都是正方形如果AB10，EF2，那么，那么AH等于等于_.【解析解析】设设DE为为a，由四个直角三角形，
13、由四个直角三角形全等可得全等可得DFDE2AE，AD2AE2DE2.a2(a2)2100a6，a8(舍去舍去)，AH6.图2476第19页/共37页1如图如图248是一株美丽的勾股树，其中所是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为的面积分别为2，5，1，2，则最大的，则最大的正方形正方形E的面积是的面积是_.【解析解析】根据勾股定理的几何意义，可根据勾股定理的几何意义，可得得A，B的面积和为的面积和为S1，C，D的面积和为的面积和为S2，S1S2S3，即，即S3251
14、210.图24810第20页/共37页2如图如图249，四边形，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方都是正方形，边长分别为形，边长分别为a，b，c，A，B，N，E，F五点在同一五点在同一条直线上，则条直线上，则c_(用含有用含有a，b的代数式表的代数式表示示)图249第21页/共37页32015烟台烟台如图如图2410，正方形，正方形ABCD的边长为的边长为2，其面积标记为，其面积标记为S1，以，以CD为斜边作等腰直角三角为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标角边为边向外作正方形，其面积标记为记为S2，按照此规律继续
15、下去，按照此规律继续下去，则则S2 015的值为的值为()图2410C第22页/共37页【解析解析】根据题意，第一个正方形的边长为根据题意，第一个正方形的边长为2；第23页/共37页【点悟点悟】勾股定理既反映了直角三角形三边关系，同勾股定理既反映了直角三角形三边关系，同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是勾股定理另一种表现形式勾股定理另一种表现形式第24页/共37页类型之四平面展开最短线段问题类型之四平面展开最短线段问题 2015资阳资阳如图如图2411，透明的圆柱形容，透明的圆柱形容器器(容器厚度忽略不计容器厚度忽略不计)的高为的高
16、为12 cm，底面周，底面周长为长为10 cm，在容器内壁离容器底部，在容器内壁离容器底部3 cm的点的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿壁，且离容器上沿3 cm的点的点A处，则蚂蚁吃到处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是饭粒需爬行的最短路径是()A图2411第25页/共37页【解析解析】如答图，将容器侧面展开，建立如答图，将容器侧面展开，建立A关于关于EF的的对称点对称点A，根据两点之间线段最短可知，根据两点之间线段最短可知AB的长度即最的长度即最短路径短路径如答图，高为如答图，高为12 cm，底面周长为，底面周长为10 cm，在，在
17、容器内壁离容器底部容器内壁离容器底部3 cm的点的点B处有一饭粒，处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3 cm与饭粒相对的点与饭粒相对的点A处，处，AD5 cm，BD123AE12 cm，将容器侧面展开，作将容器侧面展开，作A关于关于EF的对称点的对称点A，连结连结AB，则，则AB即为最短距离，即为最短距离，例4答图第26页/共37页12015杭州模拟杭州模拟如图如图2412是一块长、是一块长、宽、高分别是宽、高分别是6 cm，4 cm和和3 cm的长方的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点个顶点A处，沿着长方体
18、的表面到长方体处，沿着长方体的表面到长方体上和上和A点相对的顶点点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是路径的长是 ()图2412C第27页/共37页【解析解析】如答图，如答图，AB就是蚂就是蚂蚁爬的最短路线蚁爬的最短路线但有三种情况：但有三种情况：当当AD3，DB4610，变式跟进1答图第28页/共37页22014潍坊潍坊我国古代有这样一道数学问题：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？周而达其顶，问葛藤之长几何？”题
19、意是：如图题意是：如图2413所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为柱的高为20尺，底面周长为尺，底面周长为3尺，有葛藤自点尺，有葛藤自点A处缠绕而处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点上，绕五周后其末端恰好到达点B处则问题中葛藤的处则问题中葛藤的最短长度是最短长度是_尺尺25图2413第29页/共37页【解析解析】如答图，一条直角边如答图，一条直角边(即枯木的高即枯木的高)长长20尺，另一条直角边长尺，另一条直角边长5315(尺尺)，故答案为故答案为25.【点悟点悟】在求几何体表面上两点之间的在求几何体表面上两点之间的最短距离时
20、，可以通过把立体图形展开成平面图形，利最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离变式跟进2答图第30页/共37页类型之五勾股定理中的逆定理类型之五勾股定理中的逆定理 如图如图2414，点，点E是正方形是正方形ABCD内的内的一点，连结一点，连结AE，BE，CE，将，将ABE绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转90到到CBE的位置若的位置若AE1，BE2，CE3，则，则BEC_.【解析解析】首先根据旋转的性质得出首先根据旋转的性质得出EBE90，BEBE2，AEEC1，进而根据勾股定理的逆定理，进而根据勾股定理的逆定
21、理求出求出EEC是直角三角形，进而得出答案是直角三角形，进而得出答案135图2414第31页/共37页如答图，连结如答图，连结EE，将将ABE绕点绕点B顺时顺时针旋转针旋转90到到CBE的位置，的位置，AE1，BE2，CE3，EBE90，BEBE2，AEEC1，EE2EC2819，EC29，EE2EC2EC2，EEC是直角三角形，是直角三角形，EEC90，BEC135.例5答图第32页/共37页如图如图2415，已知，已知AB4，BC3，AD12，DC13，B90，则四边，则四边形形ABCD的面积为的面积为_.【解析解析】连结连结AC，B90，AC2AB2BC216925，AD2144，DC2
22、169，AC2AD2DC2，CAAD，36变式跟进答图图2415第33页/共37页概念理解误区概念理解误区c2a2b20或或ab0，c2a2b2或或ab，则则ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形故答案为等腰三角形或直角三角形故答案为等腰三角形或直角三角形第34页/共37页【错因错因】已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为数之和为0，两非负数同时为，两非负数同时为0，可得出，可得出c2a2b2且且ab，利用勾股定理的逆定理可得出，利用勾股定理的逆定理可得出C为直角，进而确定为直角，进而确定出三角形出三角形ABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形【正解正解】等腰直角三角形等腰直角三角形第35页/共37页第36页/共37页