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1、2023/4/13都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共31页2023/4/13(1)若强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共31页2023/4/13例例1.讨论讨论 p 级级数数(常数 p 0)的敛散性.解:1)若因为
2、对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共31页2023/4/13因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,2)若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共31页2023/4/13调和级数调和级数与与 p 级数级数是两个常用的比较级是两个常用的比较级数数.若存在对一切机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共31页2023/4/13证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共31页2023/4/13定理定理3.(比较
3、审敛法的极限形比较审敛法的极限形式式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共31页2023/4/13由定理 2 可知同时收敛或同时发散;(3)当l=时,即由定理2可知,若发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知收敛,若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共31页2023/4/13是两个正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;也发散.机动 目录 上页 下页 返回 结
4、束 第9页/共31页2023/4/13的敛散性.例例3.判别级数判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知例4.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共31页2023/4/13定理定理4.比值审敛法比值审敛法(Dalembert 判别法判别法)设 为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共31页2023/4/13因此所以级数发散.时(2)当当说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数但级数收敛;级数发散.从而机动 目录 上页 下页 返回
5、 结束 第12页/共31页2023/4/13例例5.讨论级数讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共31页2023/4/13对任意给定的正数 定理定理5.根值审敛法根值审敛法(Cauchy判判别法别法)设 为正项级则证明提示:即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共31页2023/4/13时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数 说明说明:但级数收敛;级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共31页2023/4/13例例6.证明级数证明级数收敛于S
6、,似代替和 S 时所产生的误差.解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共31页2023/4/13二二、交错级数及其审敛、交错级数及其审敛法法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共31页2023/4/13证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共31页2023/4/13收敛收敛用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下
7、列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共31页2023/4/13三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共31页2023/4/13定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共31页2023/4/13例例7.证明下列级
8、数绝对收敛证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共31页2023/4/13(2)令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共31页2023/4/13其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质质.*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.(P203 定理9)说明:证明参考 P203P206,这里从略.*定理9.(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质
9、.(P205 定理10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共31页2023/4/13内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共31页2023/4/133.任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共31页2023/4/13思考与练习思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛
10、.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共31页2023/4/13 作业作业 P206 1(1),(3),(5);2 (2),(3),(4);3 (1),(2);4 (1),(3),(5),(6);5(2),(3),(5)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共31页2023/4/13备用题备用题1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.不是 p级数(2)发散,故原级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共31页2023/4/132.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:(B)错;又C机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共31页2023/4/13阜师院数科院感谢您的欣赏！第31页/共31页