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1、二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若定理定理 1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证证:“”“”机动 目录 上页 下页 返回 结束 都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分
2、别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)若强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,2)若机动 目录 上页 下页 返回 结束 调和级数与 p 级数是两个常用的
3、比较级数.若存在对一切机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明级数发散.证证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=证证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理 2 可知同时收敛或同时发散;(3)当l=时,即由定理2可知,若发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知收敛,若机动 目录 上页 下页 返回 结束 是两个正项级数正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;特别取可
4、得如下结论:对正项级数(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;也发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性.例例3.判别级数的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知例例4.判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法)设 为正项级数,且则(1)当(2)当证证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此所以级数发散.时(2)当说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数但级数收敛;级数发散.从而机动 目录 上页 下页 返回
5、结束 例例5.讨论级数的敛散性.解解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意给定的正数 定理定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设 为正项级则证明提示证明提示:即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数 说明说明:但级数收敛;级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明级数收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.解解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二、交错级数及其审敛法、交错
6、级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛；
7、则称原级数条件收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.(P203 定理9)说明说明:证明参考 P203P206,这里从略.*定理定理9.(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数
8、也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.(P205 定理10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示提示:由比较判敛法可知收敛.注意注意:反之不成立.例如,收敛,发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P206 1(1),(3),(5);2 (2),(3),(4);3 (1),(2);4 (1),(3),(5),(6);5(2),(3),(5)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.判别级数的敛散性:解解:(1)发散,故原级数发散.不是 p级数(2)发散,故原级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析分析:(B)错;又C机动 目录 上页 下页 返回 结束