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1、9.1.概 述第1页/共64页摇臂挺杆气阀 内燃机挺杆第2页/共64页工作台活塞杆细长杠件受压 磨床活塞杆第3页/共64页内燃机连杆活塞连杆第4页/共64页细长杆受压失稳 第5页/共64页 对细长压杆，当压力逐渐增加，但小于某一极限值时，杆件一直保持直线形状的平衡。这表明压杆直线形状的平衡是稳定的。当压力逐渐增加到某一极限时，压杆的直线平衡变为不稳定，将转变为曲线形状的平衡。这时如再用微小的侧向干扰力使其发生轻微弯曲，干扰力解除后，它将保持曲线形状的平衡，不能恢复原有直线形状。上述压力的极限值称为临界压力或临界力，记为Pcr。压杆丧失其直线形状，称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲(buck)。
2、第6页/共64页薄壁容器失稳 梁或板条失稳 第7页/共64页9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力第8页/共64页两端铰支的细长压杆 截面x处的内力(此处压力P取绝对值，而v与M的符号与梁的内力符号一致)(a)第9页/共64页 对微小的弯曲变形，挠曲线的近似微分方程为（6.5）式，即 由于两端是球铰，允许杆件在任意纵向平面内发生弯曲变形，因而杆件的微小弯曲变形一定发生于抗弯能力最小的纵向平面内。所以，上式中的 I 应是横截面最小的惯性矩。代(a)入(b)(b)(c)第10页/共64页引用记号 于是(c)式可以写成 以上微分方程的通解为 式中A、B为积分常数。(d)第11页
3、/共64页杆件的边界条件是x=0 和x=l时，v=0当x=0，v=0时则当x=l，v=0时()第12页/共64页 由(*)知A0，否则v0，这与假定压杆处于临界状态不符。故必有由此求得第13页/共64页回代到式(d)则有因为n是0、1、2、等整数中的任一个整数，故上式表明，使杆件保持为曲线平衡的压力，理论上是多值的。在这些压力中，使杆件保持微小弯曲的最小压力，才是临界压力Pcr。第14页/共64页 如取n=0，则Pcr=0，表示杆件上并无压力，自然不是我们所需要的。如取n=2，则第15页/共64页 如取n=3，则显然对于n2，如果在曲线拐点处没有支座，其变形是不可能实现的。第16页/共64页
4、如取n=1，则这是可能出现的。第17页/共64页故临界力大小为这是两端铰支细长压杆临界力的计算公式，也称为两端铰支压杆的欧拉(Euler)公式。(9.1)第18页/共64页例1 柴油机的挺杆是钢制空心圆管，外径和内径分别为12mm和10mm，杆长383mm，钢的E=210GPa。根据动力计算，挺杆上的最大压力P=2290N。规定的稳定安全系数为nst=35。试校核挺杆的稳定性。解：挺杆横截面的惯性矩是 第19页/共64页由公式（9.1）算出挺杆的临界力为 临界压力与实际最大压力之比，为压杆的工作安全系数，即规定的稳定安全系数为nst=35，所以挺杆满足稳定要求。第20页/共64页 前面我们求取
5、了压杆的临界力，但是表达式中的系数A并没有得到。压杆过渡为曲线平衡后，轴线弯成半个正弦波曲线。A为为杆件中点（即l/2处）的挠度。它的数值很小，但却是未定的，若以横坐标表中点的挠度d，纵坐标表压力P。第21页/共64页n 当P小于Pcr时，杆件的直线平衡是稳定的，d=0，P与d 的关系是垂直的直线OA。n 当P达到Pcr时，直线平衡变为不稳定，过渡为曲线平衡后，P与d 的关系为水平直线AB。第22页/共64页第23页/共64页9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力第24页/共64页千斤顶螺杆 千斤顶螺杆就是一根压杆(如右图)，其下端可简化成固定端，面上端因可与
6、顶起的重物共同作微小的位移，所以简化成自由端。这样就成为下端固定、上端自由的压杆。第25页/共64页 把变形曲线延伸一倍，如图中假想线所示。可见一端固定、另一端自由且长为l的压杆的挠曲线，与两端铰支、长为2l的压杆的挠曲线的上半部分相同。所以，对于一端固定、另一端自由且长为l的压杆，其临界压力等于两端铰支长为2l的压杆的临界压力，即 一端固定、一端自由的压杆(9.2)第26页/共64页两端固支压杆 两端固支压杆 把长为l/2的中间部分CD看作是两端铰支的压杆，其临界力为(9.3)第27页/共64页一端固支一端简支压杆 对这种情况，可近似地把大约长为0.7l 的CB部分看作是两端铰支压杆。于是计
7、算临界压力的公式可写成 一端固支一端简支压杆(9.4)第28页/共64页公式(9.1)、(9.2)、(9.3)和(9.4)可以统一写成 这是欧拉公式的普遍形式。式中ml 表示把压杆折算成两端铰支杆的长度，称为相当长度，m称为长度系数。(9.5)第29页/共64页压杆的约束条件 长度系数 两端铰支 m=1 一端固定，另一端自由 m=2 两端固定 m=0.5 一端固定，另一端铰支 m=0.7表9.1 压杆的长度系数第30页/共64页例2 由压杆挠曲线的微分方程，导出一端固定、另一端铰支杆件的Euler公式。解：一端固定、另一端铰支的压杆失稳后，计算简图如图示。为使杆件平衡，上端铰支座应有横向反力Q
8、。于是挠曲线的微分方程应为 第31页/共64页引用记号，上式可以写成 以上微分方程方程的通解为第32页/共64页由此求出v的一阶导数为杆件的边界条件是x=0时x=l 时第33页/共64页考虑以上边界条件，得 这是关于A、B和Q/P的齐次线性方程组。因为它们不能皆等于零，即要求以上齐次线性方程组必须有非零的解，所以其系数行列式应等于零。故有 第34页/共64页展开得 上列超越方程可用图解法求解。第35页/共64页 以kl为横坐标，作直线y=kl和曲线y=tankl，其第一个交点的横坐标 由此求得 图解超越方程 第36页/共64页9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式第37页/共64页 前面已经导出
9、了计算临界压力的公式(9.5)，用压杆的横截面面积A除Pcr，得到与临界压力对应的应力为 scr称为临界应力。把横截面的惯性矩 I 写成 式中i为截面的惯性半径。第38页/共64页如此，临界应力可以写成第39页/共64页引用记号l是一个没有量纲的量，称为柔度或长细比。它集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力scr的影响。由于引用了柔度l，计算临界应力的公式可以写成(9.6)(9.7)第40页/共64页 公式(9.7)是欧拉公式(9.5)的另一种表达形式，两者并无实质性的差别。欧拉公式是由弯曲变形的微分方程导出的，而材料服从虎克定律又是上述微分方程的基础，所以，只有临界应
10、力小于比例极限sP时，公式(9.5)或(9.7)才是正确的。第41页/共64页令scr小于sP，得或于是欧拉公式的适用范围为取(9.8)(9.9)第42页/共64页 公式（9.8）表明，l1与材料的性质有关，材料不同，l1的数值也就不同。以钢为例，E=206GPa，sP=200GPa，于是所以，用A3钢制成的压杆，只有当l1 100时，材料可以使用欧拉公式。满足条件ll1的压杆，称为大柔度压杆。前面经常提到的“细长”压杆就是指大柔度压杆。第43页/共64页 若压杆的柔度ll1，则临界应力大于材料的比例极限，这时欧拉公式已不能使用，属于超过比例极限的压杆稳定问题。常见的压杆，如内燃机连杆、千斤顶
11、螺杆等，其柔度就往往小于l1。对超过比例极限后的压杆稳定问题，也有理论分析的结果。但工程中对这类压杆的计算，一般使用以试验结果为依据的经验公式。在这里我们介绍两种经常使用的经验公式：直线公式 和 抛物线公式。第44页/共64页直线公式(9.10)式中a与b是与材料性质有关的常数。例如对钢制成的压杆，a=304MPa，b=1.12MPa。在表9.2中列入了一些材料的a与b的数值。第45页/共64页表9.2 直线公式的系数材料(MPa)abA3sb3723041.12ss=235优质碳钢sb4714612.568ss=306钼钢sb5105783.744ss=353第46页/共64页 柔度很小的短柱，如压缩试验用的金属短柱或水泥块，受压时不可能像大柔度杆那样出现弯曲变形，主要因应力达到屈服极限（塑性材料）或强度极限（脆性材料）而失效，这是一个强度问题。所以，对塑性材料，按公式（9.10）算出的应力最高只能等于ss，若相应的柔度为l2，则(9.11)第47页/共64页这是直线公式的最小柔度。若ll1，所以前面用欧拉公式进行的试算是正确的。第62页/共64页谢谢大家第63页/共64页感谢您的观看！第64页/共64页