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1、第2章 随机变量及其概率分布23 连续型随机变量及其概率分布231 连续型随机变量及其概率密度1概率密度函数概率密度函数定定义义 对对于于随随机机变变量量 ，若若存存在在一一个个非非负负可可积积函数函数 ，使对任意的使对任意的 ，都有，都有 （2.3.1）成立，则称成立，则称 为连续型随机变量，称为连续型随机变量，称 为为 的概率密度函数，简称密度函数或概率密的概率密度函数，简称密度函数或概率密度度（2.3.1）式表明，落在 中的概率等于图2.3.中阴影部分的面积由此看出，取值较大的区间，落入该区间的概率也大，因此概率密度函数 刻画了连续型随机变量的概率分布情况 图2.3.1 图2.3.2 2
2、密度函数的性质密度函数的性质由密度函数的定义可知，由密度函数的定义可知，具有以下性质：具有以下性质：（1）；（2）若某个函数满足性质（若某个函数满足性质（1）、（）、（2），则此函），则此函数可作为某个随机变量的密度函数数可作为某个随机变量的密度函数性质（性质（2）表示介于曲线）表示介于曲线 与与 轴之间平轴之间平面图形的面积为面图形的面积为1（图（图2.3.2）与例例1设连续型随机变量 的密度函数为 ，试确定常数 ，并求 解解由 ，有所以 ，且 2.3.2 几种常见的连续型随机变量一、均匀分布一、均匀分布若连续型随机变量 的密度函数为则称 在区间 上服从均匀分布，记为 均匀分布的密度函数满足
3、：（1）（显然）；（2）例例2 廊坊到北京的长途汽车每隔10min一趟，若一乘客到站的时间是随机的，问：其候车时间超过6min的概率是多少？解解 设 为候车时间，则 在 上服从均匀分布，其概率密度函数为于是 ，即该乘客候车时间超过6min的概率为 二、指数分布二、指数分布若连续型随机变量 的密度函数为其中 为常数，则称随机变量 服从参数 为 的指数分布，记为 指数分布的密度函数满足：（1）（显然）；（2）例例3 假设某元件的寿命服从参数 的指数分布，求它使用1000h后还没有坏的概率解解 设 为该元件的寿命，则即该元件使用1000h后还没有坏的概率为 三、正态分布三、正态分布若连续型随机变量
4、的密度函数为其中 为常数，则称 服从参数为 和 的正态分布，或高斯（Gauss）分布，记为 正态分布的密度函数满足：（1）；（2）正态分布的密度曲线呈钟形状（如图2.3.3），称其为正态曲线利用导数讨论函数性质可知，密度函数还具有下列性质：(1)在 内处处连续；（2）对任意实数 ，有 ，即 图形关于直线 对称；（3）在 处，取得最大值为 ，即集中在 附近取值；（4）曲线在点 处对应有拐点；（5）在 轴上方，且以 轴为水平渐近线；（6）若固定 而改变 值，则曲线 左右位置不同，但形状不变，即此时图形沿着 轴平行移动，参数 决定曲线 的位置，故称 为位置参数（如图2.3.4）；（7）若固定 值而改变 值，则曲线 形状改变而位置不变，曲线的峰顶为 ，值越大，曲线越平缓，即分布越分散；值越小，曲线越陡峭，即分布越集中（如图2.3.5）从几何直观上可看出，参数 决定曲线 的形状，故称 为形状参数，它反映了 所取值的离散程度 图2.3.4图2.3.5 图2.3.3 图2.3.6 特别地，当参数 的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数为 ，其图形如图2.3.6所示 定理定理 若随机变量 ，则随机变量 且