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1、第三章 曲率本讲稿第一页，共二十页一、弧微分一、弧微分规定：规定：本讲稿第二页，共二十页单调增函数单调增函数如图，如图，弧微分公式本讲稿第三页，共二十页二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。)弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义)本讲稿第四页，共二十页)yxo（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率本讲稿第五页，共二十页2.曲率的计算公式曲率的计算公式注意注意:(1)直线的曲率处处
2、为零直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径且半径越小曲率越大越小曲率越大.本讲稿第六页，共二十页本讲稿第七页，共二十页例例1 1解解显然显然,本讲稿第八页，共二十页例例2 2本讲稿第九页，共二十页证证如图如图（在缓冲段上在缓冲段上,实际要求实际要求本讲稿第十页，共二十页本讲稿第十一页，共二十页三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义本讲稿第十二页，共二十页1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数率互为倒数.注意注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线
3、在该点处的曲曲线在该点处的曲率越小率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲率越大曲率越大(曲曲线越弯曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).本讲稿第十三页，共二十页曲率圆曲率圆y=y(x)与曲线与曲线y=f(x)的关系的关系过同一点过同一点有公切线有公切线圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同设圆的方程为设圆的方程为本讲稿第十四页，共二十页连续求导两次，将上述条件代入得连续求导两次，将上述条件代入得
4、解得解得本讲稿第十五页，共二十页例例3 3解解如图如图,受力分析受力分析视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径本讲稿第十六页，共二十页得曲率为得曲率为曲率半径为曲率半径为即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.本讲稿第十七页，共二十页四、小结四、小结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念:弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).本讲稿第十八页，共二十页思考题思考题 椭圆椭圆 上哪些上哪些点处曲率最大？点处曲率最大？本讲稿第十九页，共二十页思考题解答思考题解答要使要使 最大，最大，必有必有 最小，最小，此时此时 最大，最大，本讲稿第二十页，共二十页