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1、习题课习题课第十三章第十三章 能量方法能量方法莫尔积分的应用：莫尔积分的应用：1 1、计算梁发生弯曲变形的位移：2 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：3 3、计算圆轴发生扭转变形的位移：4 4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：5 5、计算桁桁架节点位移：6 6、计算结构组合变形的位移：三、莫尔积分的应用范围：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构线弹性结构四、四、的符号的含义：的符号的含义：1 1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2 2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反用莫尔积分计算的步骤：用莫尔积分计算的步骤：用莫尔积分计算的步骤：用莫尔积分计算的步骤：1 1、写出
2、结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2 2、将结构单独取出，在结构上、将结构单独取出，在结构上、将结构单独取出，在结构上、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位施加一与所求位移对应的单位载荷载荷即：即：即：即：3 3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4 4
3、、将同一段的同一种内力方程相乘积分、将同一段的同一种内力方程相乘积分、将同一段的同一种内力方程相乘积分、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段相同分段相同，并且每段自变量的基准点相同，并且每段自变量的基准点相同组合变形：组合变形：组合变形：组合变形：求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。求位移时施加单位力；求相
4、对位移时施加一对相反单位力。求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。所以：所以：所以：所以：其中其中其中其中:为原载荷引起为原载荷引起为原载荷引起为原载荷引起 的弯矩，的弯矩，的弯矩，的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。莫尔
5、积分的应用范围：莫尔积分的应用范围：莫尔积分的应用范围：莫尔积分的应用范围：线弹性结构线弹性结构线弹性结构线弹性结构例：例：图（a）所示重为P的重物于薄壁圆环顶点A，已知：EIEI为常数，求A点的位移。解：根据莫尔积分，利用对称性计算一半解：根据莫尔积分，利用对称性计算一半1BP/2BBC:BC:在在B B点加单位力点加单位力PAB解：也可以根据莫尔积分计算整体静变形，在解：也可以根据莫尔积分计算整体静变形，在C点加单位力点加单位力ABPCAB1CBC:BC:AC:AC:RABPP例1:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对水平位移1、求原载荷引起的内力：2、求水平相对位移，施加单位载荷：113
6、、根据莫尔积分R RA AB BP PP P例例2:2:开口圆环开口圆环,EI,EI为常量为常量,求求ABAB之间相对转角之间相对转角1 1、求原载荷引起的内力：、求原载荷引起的内力：2 2、求相对转角，施加单位载荷、求相对转角，施加单位载荷1 11 13 3、根据莫尔积分、根据莫尔积分:P PP PR RA AB B例例3:3:开口圆环开口圆环,EI,EI为常量为常量,求求ABAB之间相对竖直位移之间相对竖直位移1 1、求原载荷引起的内力：、求原载荷引起的内力：2 2、求竖直相对位移，施加单位载荷、求竖直相对位移，施加单位载荷1 11 13 3、根据莫尔积分，利用对称性、根据莫尔积分，利用对
7、称性例例4:4:开口圆环开口圆环,EI,EI，GIGIP P为常量为常量,求求ABAB之间垂直于纸面方向的相对位移之间垂直于纸面方向的相对位移1 1、求原载荷引起的内力：、求原载荷引起的内力：2 2、求原载荷引起的内力：、求原载荷引起的内力：3 3、求竖直相对位移，施加单位载荷、求竖直相对位移，施加单位载荷4 4、根据莫尔积分，利用对称性、根据莫尔积分，利用对称性R RA AB BP PP PR RA AB B1 11 1R RR RP P开口两侧分别作用一垂直于刚架平面的水平力开口两侧分别作用一垂直于刚架平面的水平力P,P,P PP P求切口两侧垂直于纸面方向的水平相对位移求切口两侧垂直于纸
8、面方向的水平相对位移.x xy y解解:1:1、求原载荷引起的内力：求原载荷引起的内力：由于对称于由于对称于由于对称于由于对称于y y轴，仅考虑一半轴，仅考虑一半轴，仅考虑一半轴，仅考虑一半:EDED段段A AB BC CD DE E例例5:5:图示正方形刚架图示正方形刚架,边长为边长为L,L,各部分刚度均相同各部分刚度均相同,E E处有一开口处有一开口,F F弯曲变形弯曲变形DADA段段弯曲变形弯曲变形扭转变形扭转变形FAFA段段扭转变形扭转变形弯曲变形弯曲变形2 2、求切口水平相对、求切口水平相对位移，施加单位载荷位移，施加单位载荷A AB BC CD DE EF Fx xy y1 11
9、13 3、求由单位载荷引起的内力、求由单位载荷引起的内力弯曲变形弯曲变形DADA段段弯曲变形弯曲变形扭转变形扭转变形FAFA段段扭转变形扭转变形弯曲变形弯曲变形EDED段段4 4、积分：、积分：扭转变形扭转变形EDED段段弯曲变形弯曲变形DADA段段弯曲变形弯曲变形扭转变形扭转变形FAFA段段弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形DADA段段弯曲变形弯曲变形扭转变形扭转变形FAFA段段扭转变形扭转变形弯曲变形弯曲变形EDED段段A AB BC CD DE EF F例6：图示桁桁架，所有杆长均为L，且抗拉压刚度均为EA，P P求：B点沿铅垂方向的位移。分析：分析：根据莫尔积分求桁架结点位移公式根据莫尔
10、积分求桁架结点位移公式在B点沿铅垂方向加一单位力。列表如下：列表如下：杆号杆号杆长杆长1 12 23 34 45 56 61 13 32 24 46 65 5A A1 1B B1 13 32 24 46 65 5A AB B练习:刚架的EI为常量,求：A点竖直位移ABACAC段段DBDB段段CDCD段段CDCECE段：。段：。ACAC段段DBDB段段CDCD段段CECE段：。段：。EFABDCEFACAC段段DBDB段段CDCD段段CECE段：。段：。ACAC段段DBDB段段CDCD段段CECE段：。段：。ABDCEF功的互等定理：功的互等定理：第一组力第一组力A点点在第二组力在第二组力B点点
11、引起的位移上所作的功引起的位移上所作的功 =(等于等于)第二组力第二组力B点点在第一组力在第一组力A点点引起的位移上所作的功。引起的位移上所作的功。i 表示位移产生的位置，表示位移产生的位置，j 表示引起位移的力。表示引起位移的力。注：位移互等定理中位移一般用注：位移互等定理中位移一般用ij双角标表示，即：双角标表示，即：例7:选择题1、如图所示，随着载荷P的移动，自由端B的挠度由挠度表读出，问方程表示：A）力P的作用点的挠度与x的关系B）梁在自由端受集中力P的作用时的挠曲线方程C）梁在自由端受集中力P的作用时的转角方程D）无任何力学意义P Px x2、如图所示，同一刚架的两种受力形式，若P与
12、数值相同，则比较二者变形，可知：答案：答案：B B答案：答案：C C3、如图所示，一简支梁分别承受两种形式的单位力，则C CA AB B1 11 14、两悬臂梁，设BD之间的距离为，CE之间的距离为，则BCEDA）增大，不变B）增大，改变C）减小，不变B）减小，改变答案：答案：D D答案：答案：A A三、应用图乘法的注意事项：三、应用图乘法的注意事项：1 1、有正负号：有正负号：有正负号：有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的
13、内力图在轴的异侧，为负原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负2 2、当、当、当、当为一条光滑的的曲线，为一条光滑的的曲线，为一条光滑的的曲线，为一条光滑的的曲线，为一条折线时，为一条折线时，为一条折线时，为一条折线时，必须以折点为界必须以折点为界必须以折点为界必须以折点为界,分段分段分段分段图乘图乘图乘图乘,即即即即:可将可将可将可将4 4、当、当、当、当图很复杂时，图很复杂时，图很复杂时，图很复杂时，分成若干个简单图形分成若干个简单图形分成若干个简单图形分成若干个简单图形,分部分图乘分部分图乘分部分
14、图乘分部分图乘3 3、若梁的抗弯刚度、若梁的抗弯刚度、若梁的抗弯刚度、若梁的抗弯刚度EIEI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段5 5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：的折点；的折点；的折点；的折点；图是否需要划分为若干简单图形；图是否需要划分为
15、若干简单图形；图是否需要划分为若干简单图形；图是否需要划分为若干简单图形；(2)EI(2)EI(2)EI(2)EI是否阶梯变化；是否阶梯变化；是否阶梯变化；是否阶梯变化；B BA AD DC CP PP Pa aa aa a例8:图示刚架,各部分刚度均相同,求在P的作用下,A,CA,C两截面的水平位移两截面的水平位移解：解：1 1、求、求A A 点水平位移，点水平位移，画原载荷引起的内力图画原载荷引起的内力图C CD DPaPaA AB BA AB BPaPa3Pa3PaM M 图图PaPaPaPaT T 图图2 2、求、求A A的水平位移施加单位载荷的水平位移施加单位载荷B BA AD DC
16、 C1 1M M 图图 图图A AB BA AB B2a2aa a 图图图图3 3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图4 4、图乘：、图乘：解：解：5 5、求、求C C 点水平位移，点水平位移，画原载荷引起的内力图画原载荷引起的内力图C CD DM M 图图PaPaA AB BPaPa3Pa3PaM M 图图A AB BPaPaPaPaT T 图图6 6、求、求C C的水平位移施加单位载荷的水平位移施加单位载荷B BA AD DC C1 17 7、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图C CD Da a 图图A AB BA AB Ba a 图图a aa a图图8 8、图乘：
17、、图乘：P PL L例例9 9：求图示梁的挠曲线方程：求图示梁的挠曲线方程 解：解：1 1、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图PLPLM M 图图2 2、求任一点挠度，施加单位载荷、求任一点挠度，施加单位载荷1 13 3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图图图4 4、图乘、图乘例例1010：平面结构空间受力，：平面结构空间受力，ABAB和和BCBC两杆具有相同两杆具有相同的刚度，的刚度，求：求：1.1.A A 端的铅垂位移；端的铅垂位移；2.2.A A端绕端绕BCBC 轴线（轴线（X X轴）的转角。轴）的转角。解：解：1 1、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图 X
18、X2 2、求、求A A点竖直位移施加单位载荷点竖直位移施加单位载荷3 3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图4 4、图乘：、图乘：解：解：1 1、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图 2 2、求、求A A点绕点绕BCBC轴转角轴转角施加单位载荷施加单位载荷 3 3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图4 4、图乘：、图乘：例11：图示桁桁架，所有杆长均为L，且抗拉压刚度均为EA，P P1 13 32 24 46 65 5A A求A点沿铅垂方向的位移。分析：分析：根据莫尔积分求桁架结点位移公式根据莫尔积分求桁架结点位移公式列表如下：列表如下：杆号杆号杆长杆长1 12 23 34 45 56 61 13 32 24 46 65 5A A1 15、图示悬臂梁，测得，则梁在2处受时，有21A）集中力偶B）集中力偶C）集中力D）集中力答案：答案：B B