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1、第七章窄带随机过程本讲稿第一页，共六十九页目录窄带随机过程的一般概念与预备知识希尔伯特变换窄带随机过程的性质窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布本讲稿第二页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 3 一个平稳随机过程，若它的功率谱密度在频率轴的某个区域之外为零，或者说，它的功率谱带宽为有限值，那么，便称它为限带随机过程，简称限带过程。在限带过程中，根据其功率谱分布区域的不同，分为低通过程和带通过程。若平稳随机过程X(t)其功率谱密度 具有以下特点则称X(t)为低通过程。本讲稿第三页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 4若X(
2、t)的功率谱密度满足则称X(t)为带通过程。本讲稿第四页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 5 若在上式中，则称X(t)为高频窄带随机过程，简称窄带随机过程。本讲稿第五页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 6一、正弦型信号的复数表示方法简单的正弦型信号可以表示为很明显，s(t)是t的实值函数，称s(t)为实信号。本讲稿第六页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 7 对于式 的正弦信号来说，一种最常用的复数表示形式是复指数函数。定义复指数函数 为或式中 称之为复包络。比较以上两式可得，本讲稿第七页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Pa
3、ge 8 将复指数函数 展开，可得 式中，s(t)是原来的实信号，是另一个实信号。本讲稿第八页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 9 设s(t)是任意实信号，具有频谱 ，根据前面的讨论，任何实信号都具有双边带的频谱。为了简化分析，我们想寻找一种复信号 ，它同时满足式中，是该复信号 的频谱。二、任意信号的复数表示方法本讲稿第九页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 10利用令则本讲稿第十页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 11 现在假定我们已经找到一个复信号 ，它的频谱 满足又从而本讲稿第十一页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Pa
4、ge 12解析信号进一步得出上式给出了解析信号 的虚部 和它的实部（即原来的实信号）s(t)之间的关系式，把它称为希尔伯特（Hilbert）变换，记作本讲稿第十二页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 13归纳以上的讨论，可以得出几点结论：（1）对应于任何实信号s(t)，都可以找到一个同时两个条件的复信号 。（2）可将此复信号表示成解析表达式其虚部 是s(t)的希尔伯特变换，即（3）式 给出的是一种非常重要的复信号的表示形式。通常把它称为s(t)的解析信号或s(t)的预包络。本讲稿第十三页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 14三、高频窄带信号的复数表示方法
5、所谓高频窄带信号（或简称窄带信号）是指信号的频谱限制在载波频率 附近的一个频率范围内，而且此频带范围远小于载波频率。常将窄带信号表示为 展开可以得到其中由于 、都是低频限带信号。可见，和 也都是低频限带信号，且 与 彼此正交。本讲稿第十四页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 151.窄带信号的复解析表示 若s(t)为窄带信号，其振幅频谱 如下图所示，定义窄带信号的解析信号 为式中，。从而 的振幅频谱 如下页图所示。窄带信号频谱举例本讲稿第十五页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 16解析信号 的振幅频谱本讲稿第十六页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知
6、识Page 172.窄带信号的复指数表示 定义s(t)的复指数函数为 式中 通常，将 称为的复包络；将 称为复载频。可见，复包络 也是低频限带信号。即，复指数函数的实部就是窄 带信号s(t)。本讲稿第十七页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 18 下面再来求 的频谱 。对下式两端作傅里叶变换，并利用傅里叶变换的相乘性质及可得可见，具有单边带频谱。本讲稿第十八页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 19 下面我们再来求复指数函数 的频谱 与原来实信号s(t)的频谱 之间的关系:或上式说明，用复指数信号 表示实窄带信号s(t)时，虽然它的实部仍为原来的实信号s(t
7、)，但是，它的频谱 不满足 即 。这是复指数信号与解析信号的差别。本讲稿第十九页，共六十九页窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 20下图画出了窄带信号条件下，、和 之间的关系。本讲稿第二十页，共六十九页希尔伯特变换Page 21 定义定义：在区间 内给定实值函数x(t)，它的希尔伯特变换记作 （或者记作 ）用 代入上式，进行变量置换，可得到上式的等效形式为 本讲稿第二十一页，共六十九页希尔伯特变换Page 22 下面给出希尔伯特变换的两个重要性质：（1）希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。希尔伯特变换等效为90移相的线性滤波器本讲稿第二十二页，共六十九页希尔伯特变换Page 23 推广：推
8、广：若是低频带限的平稳信号（功率谱的最高非零频若是低频带限的平稳信号（功率谱的最高非零频率限制在率限制在 以下），则有：以下），则有：并且有：并且有：H奇函数奇函数=偶函数偶函数，H偶函数偶函数=奇函数奇函数本讲稿第二十三页，共六十九页希尔伯特变换Page 24（2）希尔伯特逆变换为 本讲稿第二十四页，共六十九页希尔伯特变换希尔伯特变换的性质（1 1）两次变换等于反相两次变换等于反相本讲稿第二十五页，共六十九页希尔伯特变换本讲稿第二十六页，共六十九页希尔伯特变换Page 27 （4）对于平稳随机信号）对于平稳随机信号 ，它的希尔伯特变换也是平稳的，并且，它的希尔伯特变换也是平稳的，并且有：有：
9、证明：证明：本讲稿第二十七页，共六十九页希尔伯特变换本讲稿第二十八页，共六十九页希尔伯特变换Page 29 （5）希尔伯特变换是正交变换。当输入是平稳信号时，有：）希尔伯特变换是正交变换。当输入是平稳信号时，有：这表明这表明：与与 功率相等且彼此正交。功率相等且彼此正交。证明：证明：由性质（由性质（3）可得：）可得：因为因为 是偶函数，所以是偶函数，所以 是奇函数，是奇函数，即希尔伯特变换前、后信号的功率相等。即希尔伯特变换前、后信号的功率相等。于是可得：于是可得：因此，在同一时刻上因此，在同一时刻上 与与 彼此正交。彼此正交。本讲稿第二十九页，共六十九页希尔伯特变换Page 30本讲稿第三十
10、页，共六十九页希尔伯特变换Page 31本讲稿第三十一页，共六十九页希尔伯特变换Page 32本讲稿第三十二页，共六十九页希尔伯特变换Page 33本讲稿第三十三页，共六十九页希尔伯特变换Page 34本讲稿第三十四页，共六十九页窄带随机信号的性质Page 35l分析条件pX(t)是任意的宽平稳、数学期望为零的实窄带随机过程。p已知窄带过程的包络和相位相对于0都是慢变化过程，则很明显Ac(t),As(t)相对于0为慢变部分。本讲稿第三十五页，共六十九页窄带随机信号的性质Page 36性质1：X(t)是均值为0的平稳过程，则Ac(t),As(t)也是均值为0的平稳过程，且联合平稳性质2：p自相关
11、函数相同：p平均功率相同：p方差相同：性质3：功率谱密度相同 本讲稿第三十六页，共六十九页窄带随机信号的性质Page 37本讲稿第三十七页，共六十九页窄带随机信号的性质Page 38性质4：p互相关函数：p互相关函数为奇函数：p在同一时刻两者正交：性质5：互功率谱密度 本讲稿第三十八页，共六十九页Page 39窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布假定窄带高斯过程X(t)X(t)的均值为零,方差为2 2宽带噪声宽带噪声N(t)高频窄带系统高频窄带系统包络检波包络检波相位检波相位检波窄带高斯过程窄带高斯过程X(t)平方律检波平方律检波本讲稿第三十九页，共六十九页Page 40窄带高斯随机过程的包
12、络和相位的概率分布l若X(t)X(t)为高斯过程，则A Ac c(t),A(t),As s(t)(t)也应为高斯过程，并且都具有零均值和方差2 2 l由于A Ac c(t),A(t),As s(t)(t)在同一时刻是互不相关的，且二者都是高斯过程，所以，它们在同一时刻也是互相独立的。本讲稿第四十页，共六十九页Page 41窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l又又 l由于由于lA(t)A(t)和和(t)(t)的联合概率密度的联合概率密度为为l即即l可得可得本讲稿第四十一页，共六十九页Page 42窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l包络的一维概率密度为包络的一维概率密度为瑞利分布瑞利分布
13、l相位的一维概率密度为相位的一维概率密度为均匀分布均匀分布l在在同同一一时时刻刻窄窄带带高高斯斯过过程程的的包包络络和和相相位位是是互互相相独独立立的的随随机变量机变量本讲稿第四十二页，共六十九页Page 43窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布包络和相位的二维概率分布l求包络和相位的二维概率密度的步骤如下：求包络和相位的二维概率密度的步骤如下：l先求出四维概率密度先求出四维概率密度 l然后转换为然后转换为 l最后再推导出最后再推导出 ,本讲稿第四十三页，共六十九页Page 44窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l两过程独立两过程独立l四维的联合分布可以用二维分布来表示：四维的联合分布可
14、以用二维分布来表示：l（1）求）求本讲稿第四十四页，共六十九页Page 45窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布本讲稿第四十五页，共六十九页Page 46窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l（2）求）求本讲稿第四十六页，共六十九页Page 47窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l其它其它本讲稿第四十七页，共六十九页Page 48窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l（3）求）求 的二维分布的二维分布l第一类零阶修正贝塞尔（第一类零阶修正贝塞尔（Bessel）函数）函数l包络的二维分布包络的二维分布本讲稿第四十八页，共六十九页Page 49窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l相位
15、的二维分布相位的二维分布l窄带随机过程的包络窄带随机过程的包络 和相位和相位 的二维分布彼此是不独立的彼此是不独立的本讲稿第四十九页，共六十九页Page 50余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l随机余弦信号随机余弦信号为已知常数，为已知常数，在在 上均匀分布。上均匀分布。l均值为零，方差为均值为零，方差为 的平稳随机过程。的平稳随机过程。l 关于关于 偶对称。偶对称。l（均为高斯分布）均为高斯分布）l高斯窄带噪声高斯窄带噪声l理解分析过程理解分析过程本讲稿第五十页，共六十九页Page 51余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l合成信号合成信号l合成信号的包络合成信号的包络l合成信号的相位合成
16、信号的相位本讲稿第五十一页，共六十九页Page 52窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l（1）求）求 在给定在给定 条件下的条件下的l方差方差l二维条件概率密度二维条件概率密度l均值均值l高斯过程高斯过程本讲稿第五十二页，共六十九页Page 53余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l（2）求）求 在给定在给定 条件下的条件下的l由于：由于：l包络与相位的二维条件概率密度包络与相位的二维条件概率密度本讲稿第五十三页，共六十九页Page 54余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l（3）求包络）求包络 的一维概率密度的一维概率密度l包络的一维概率密度包络的一维概率密度ln=2的莱斯分布的莱斯分布
17、la=0时，变为瑞利分布，即前面窄带过程的包络分布时，变为瑞利分布，即前面窄带过程的包络分布本讲稿第五十四页，共六十九页Page 55余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l当当r 1时，（大信噪比时）时，（大信噪比时）l讨论：讨论：本讲稿第五十五页，共六十九页Page 56余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l(高斯分布高斯分布)l包络的概率密度函数包络的概率密度函数本讲稿第五十六页，共六十九页Page 57余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l（4）求相位）求相位 的一维概率密度的一维概率密度l当当r 0时，（小信噪比时）时，（小信噪比时）l（均匀分布）（均匀分布）l概率积分函数本讲稿第五十
18、七页，共六十九页Page 58余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l其均值为其均值为，方差为，方差为 高斯分布高斯分布l当当r时，（无噪声时，（无噪声）l当当r 1时，（大信噪比时）时，（大信噪比时）本讲稿第五十八页，共六十九页Page 59余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l相位的概率密度函数相位的概率密度函数l信噪比信噪比r极小时，接近极小时，接近均匀分布均匀分布l信噪比信噪比r较大时，在较大时，在附近接近附近接近高斯分布高斯分布l信噪比趋于信噪比趋于r时，趋于在上的一个时，趋于在上的一个冲激冲激l相位的一维概率密度总结相位的一维概率密度总结本讲稿第五十九页，共六十九页Page 60窄带
19、高斯过程包络平方的概率分布 若窄带高斯过程通过平方律检波器，其输出是包络的平方，即为窄带高斯过程的包络服从瑞利分布，即窄带高斯过程的包络服从瑞利分布，即l已知已知 ，则，则U Ut t的概率密度为的概率密度为l窄带高斯过程的包络平方为窄带高斯过程的包络平方为指数分布指数分布l窄带高斯噪声包络平方的分布窄带高斯噪声包络平方的分布本讲稿第六十页，共六十九页Page 61窄带高斯过程包络平方的概率分布l包络平方包络平方l因为包络服从莱斯分布因为包络服从莱斯分布l包络平方的概率密度包络平方的概率密度l余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的概率分布余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的概率分布本讲稿第六十一页，共六
20、十九页Page 62窄带高斯过程包络平方的概率分布 分布分布 定义：若n n个互相独立的高斯变量X X1 1,X,X2 2,X,Xn n的数学期望都为零，方差为 ，则 的分布是具有n n个自由度的中心 分布l（1 1）中心）中心 分布分布 本讲稿第六十二页，共六十九页Page 63窄带高斯过程包络平方的概率分布概率密度为 性质性质：两个互相独立的具有：两个互相独立的具有 分布的随机变量之和分布的随机变量之和仍为仍为 分布，若它们的自由度分别为分布，若它们的自由度分别为n n1 1和和n n2 2，其和的，其和的自由度为自由度为n=nn=n1 1+n+n2 2。本讲稿第六十三页，共六十九页Pag
21、e 64窄带高斯过程包络平方的概率分布定义：若n n个互相独立的高斯变量X X1 1,X,X2 2,X,Xn n的数学期望都为 ，方差为 ，则 的分布是具有n n个自由度的非中心 分布l（2 2）非）非中心中心 分布分布 概率密度概率密度为为非中心分布参量非中心分布参量本讲稿第六十四页，共六十九页Page 65窄带高斯过程包络平方的概率分布 性质：两个相互独立的非中心 分布的随机变量之和仍为非中心 分布，若它们的自由度为n n1 1和n n2 2，非中心分布参量分别为 和 ，其和的自由度为n=nn=n1 1+n+n2 2，非中心分布参量为本讲稿第六十五页，共六十九页Page 66窄带高斯过程包
22、络平方的概率分布 对于两个自由度的中心 分布，即X Xi i(i=1,2)(i=1,2)是数学期望为零，方差为 ，且相互独立的高斯变量，则 为瑞利分布。指数分布指数分布l（3 3）瑞利分布）瑞利分布 本讲稿第六十六页，共六十九页Page 67窄带高斯过程包络平方的概率分布 当高斯变量X Xi i(i=1,2,n)(i=1,2,n)的数学期望为 不为零时，是非中心 分布，而 则是莱斯分布。l（4 4）莱斯分布）莱斯分布 本讲稿第六十七页，共六十九页Page 68窄带高斯过程包络平方的概率分布应用l窄带过程窄带过程N(t)l平方律检波平方律检波l独立采样独立采样m次次l 归一化归一化l加法器加法器l开方开方l中心中心 分布分布l莱斯分布莱斯分布lS(t)+N(t)l非中心非中心l瑞利分布瑞利分布l指数分布（指数分布（2项）项）本讲稿第六十八页，共六十九页本讲稿第六十九页，共六十九页