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1、第一型曲线积分本讲稿第一页，共二十二页一 第一型曲线积分的定义 上的上的连续连续函函 是定是定义义在在 设设某物体的密度函数某物体的密度函数 数当数当 是直线段时是直线段时,应用定积分就能计算得该物体应用定积分就能计算得该物体 的质量的质量.现在研究当现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题段时物体的质量的计算问题.(2)近似求和：在近似求和：在每一个每一个 上任取一点上任取一点 由于由于 (1)分割：把分割：把 分成分成 个可求个可求长长度的小曲度的小曲线线段段 本讲稿第二页，共二十二页 上的上的连续连续函数函数,故当故当 的弧的弧
2、长长都很小都很小时时,每一小段每一小段 的的质质量可近似地等于量可近似地等于 其中其中 为小曲线段为小曲线段 的长度的长度.于是在整个于是在整个 上的质量就近似地等于和式上的质量就近似地等于和式 (3)当当对对的分割越来越的分割越来越细细密密(即即 )时时,上述和式的极限就应是该物体的质量上述和式的极限就应是该物体的质量.由上面看到由上面看到,求物质曲线段的质量求物质曲线段的质量,与求直线段的质与求直线段的质 本讲稿第三页，共二十二页量一样量一样,也是通过也是通过“分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限”来得来得到的到的.下面给出这类积分的定义下面给出这类积分的定义.个可求个可求长长度的
3、小曲度的小曲线线段段 的弧的弧长长,它把它把 定定义义在在 上的函数上的函数.对对曲曲线线 做分割做分割 分成分成记为记为 分割分割 的的细细度度为为 在在 上任上任取取 一点一点 若有极限若有极限 为为平面上可求平面上可求长长度的曲度的曲线线段段,定定义义1 设设 为为本讲稿第四页，共二十二页且且 的的值值与分割与分割 的取法无关的取法无关,则则称此称此 极极限为限为上的上的第一型曲线积分第一型曲线积分,记作记作为为空空间间可求可求长长曲曲线线段段,若若 为为定定义义在在 上上 的函数的函数,则则可可类类似地定似地定义义 在空在空间间曲曲线线 上上 的第一型曲线积分的第一型曲线积分,并且记作
4、并且记作 于是前面于是前面讲讲到的到的质质量分布在曲量分布在曲线线段段 上的物体的上的物体的质质 本讲稿第五页，共二十二页量可由第一型曲线积分量可由第一型曲线积分(1)或或(2)求得求得.1.若若在在 为为 常数常数,则则也存在也存在,且且2.若曲若曲线线段段 由曲由曲线线 首尾相接而首尾相接而成成,都存在都存在,则则 也存在也存在,且且本讲稿第六页，共二十二页3 都存在都存在,且在且在 则则4也存在也存在,且且 本讲稿第七页，共二十二页5存在存在,的弧的弧长为长为则则存在常数存在常数 使得使得6.第一型曲线积分的几何意义第一型曲线积分的几何意义 为为L若若 为为坐坐标标平面平面 上的分段光滑
5、曲上的分段光滑曲线线,上定义的连续非负函数上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义由第一型曲线的定义,易见易见 以以 为为准准线线,母母线线平行于平行于 轴轴的柱面上截取的柱面上截取 本讲稿第八页，共二十二页的部分的面的部分的面积积就是就是 本讲稿第九页，共二十二页二 第一型曲线积分的计算定理定理20.1 设有光滑曲线设有光滑曲线 为定义在为定义在 上的连续函数上的连续函数,则则 证证 由弧长公式知道由弧长公式知道,上由上由 的弧长的弧长 的连续性与积分中值定理的连续性与积分中值定理,有有 本讲稿第十页，共二十二页所以所以 这里这里 则有则有 本讲稿第十一页，共二十二页令令现在证明现在证明 因
6、因为为复合函数复合函数 连续连续,所以在所以在闭闭区区 间间 上有界上有界,即存在常数即存在常数 使使对对一切一切 都有都有 本讲稿第十二页，共二十二页再由再由 上上连续连续,所以它在所以它在 上一致连续上一致连续,即对任给的即对任给的 使当使当 时时,从而从而 所以所以 本讲稿第十三页，共二十二页因此当在因此当在(4)式两边取极限后式两边取极限后,即得所要证的即得所要证的(3)式式.上有连续的导函数时上有连续的导函数时,(3)式成为式成为 再由定积分定义再由定积分定义 当曲线当曲线 由方程由方程 表示表示,且且 在在 本讲稿第十四页，共二十二页上有连续导函数时上有连续导函数时,(3)式成为式
7、成为 例例1 设设 是半圆周是半圆周 试计算第一型曲线积分试计算第一型曲线积分 解解 当曲线当曲线 L由方程由方程表示表示,且且 在在 本讲稿第十五页，共二十二页例例2 一段一段(图图20-2),试计试计算第一型曲算第一型曲线积线积分分 解解 由参由参 仿照定理仿照定理20.1,对对于空于空间间曲曲线积线积分分(2),当曲当曲线线 量方程量方程 表示表示时时,本讲稿第十六页，共二十二页其计算公式为其计算公式为:例例3 计计算算 其中其中 为为球面球面 被平面被平面 所截得的圆周所截得的圆周.解解 由对称性知由对称性知 所以所以 本讲稿第十七页，共二十二页*例例4 计算计算 其中其中 为内摆线为
8、内摆线 解解 由对称性知由对称性知 本讲稿第十八页，共二十二页其中其中*例例5 求求圆柱面圆柱面 被圆柱面被圆柱面 所所 而内摆线的参数方程为而内摆线的参数方程为 因此因此 本讲稿第十九页，共二十二页包围部分的面积包围部分的面积 A.解解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分,它的面积为它的面积为 把把 平面上的平面上的 位于第一象限的四分之一圆周记为位于第一象限的四分之一圆周记为,则被围柱面则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于为准线母线平行于 z 积分的几何意义可知它的面积为积分的几何意义可知它的面积为 的那部分柱面的那部分柱面.由第一型曲面由第一型曲面 轴的轴的 本讲稿第二十页，共二十二页L 的参数方程为的参数方程为:因此因此,定定义义,线线密度密度为为 的的 曲线状物体对于曲线状物体对于 x,y 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 注注 由第一型曲线积分的由第一型曲线积分的 本讲稿第二十一页，共二十二页例例6 求线密度为求线密度为 的曲线段的曲线段 对于对于 y 轴的转动惯量轴的转动惯量.解解 和和本讲稿第二十二页，共二十二页