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1、2.5平面向量应用举例先相信你自己，然后别人才会相信你。先相信你自己，然后别人才会相信你。平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计算，的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、明的几何背景，平面几何的许多性
2、质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。可以解决平面几何中的一些问题。问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法的平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD思考：思考：1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条
3、邻边长度之间有与两条邻边长度之间有何关系？何关系？何关系？何关系？ABCD发现：2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？ABCD例例1、证明平行四边形、证明平行四边形两对角线平方和两对角线平方和等于等于两条邻边平方和两条邻边平方和的的两倍两倍ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：解：解：设 ，则 分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。如果不用向量的方法，你能如果不用向量的方法，你能证明上述结论吗？如果有，怎么证明上述结论吗？如果有，怎么来解决呢？来解决呢？ABCDEF例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明
4、平行四边形四边平方和等于两对角线平方和你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向
5、量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形例例2如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别与分别与AC交于交于R、T两点，你两点，你能发现能发现AR、RT、TC之间的关系吗之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC由于由于 与与 共线，故设共线，故设又因为又因为 共线所以设共线所以设因为因为 所以所以ABCDEFRT第一步第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题
6、解：设解：设 则则第二步第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系通过向量运算，研究几何元素之间的关系由于由于 与与 共线，故设共线，故设又因为又因为 共线所以设共线所以设ABCDEFRT第一步第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题解：设解：设 则则第二步第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系通过向量运算，研究几何元素之间的关系第三步第三步：把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系故故AT=RT=TC你能从数学的角度解释这种现象吗？你能从数学
7、的角度解释这种现象吗？在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。，两臂的夹角越小越省力。例例3 3分析：分析：由向量的平行四边形法则，力的平衡及解由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：直角三角形等知识，得出：思考：思考：1.当当 逐渐增大时，逐渐增大时，的大小怎样变化？为什么？的大小怎样变化？为什么？2.当当 为何值时，为何值时，最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？3.当当 为何值时，为何值时，？例例
8、4 4vvq21DCAB解：解：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，考虑到水的流速，要使船行驶就能使行驶航程最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度必须垂直于最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度必须垂直于对岸，如图对岸，如图思考：要使船行驶的时间最短，船必须朝哪个方向开？要使船行驶的时间最短，船必须朝哪个方向开？步骤小结：步骤小结：物理问题物理问题(实际问题）实际问题）向量问题向量问题(数学模型数学模型)数学问题数学问题的解决的解决解释和验证相解释和验证相关物理现象关物理现象（1
9、）建立平面几何与向量的联系，用向量表建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。小结：小结：用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：练习、证明直径所对的圆周角是直角练习、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。解：解：设 则 ，由此可得：即 ，ACB=90第一步第一步：建立平面几何与建立平面几何与向量的联系，用向量表示向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问面几何问题转化为向量问题题第二步第二步：通过向量运算，研通过向量运算，研究几何元素之间的关系究几何元素之间的关系第三步第三步：把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系谢谢观赏勤能补拙，学有成就！2023/4/816