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1、西南科技大学品牌课程西南科技大学品牌课程数学分析数学分析E-mail:主讲：杨莉主讲：杨莉西南科技大学品牌课程2数集与确界数集与确界数学分析讨论的对象是函数，数学分析讨论的对象是函数，1.数集集合集合具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.表示方法：表示方法：如数列如数列而函数的定义域或值域都而函数的定义域或值域都所以我们必要对数集有一个了解所以我们必要对数集有一个了解是是数集数集,(1)列举法把集合的元素罗列在花括号内列举法把集合的元素罗列在花括号内简记为简记为一一.区间和邻域区间和邻域 组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.西南科技大学品牌
2、课程解析法是常用的一种方法，由集合的定义解析法是常用的一种方法，由集合的定义,具有属性具有属性数集数集由数构成的集合由数构成的集合的对象构成的集合的对象构成的集合(3)解析法解析法(2)用大写字母表示用大写字母表示R实数集；实数集；Q 有理数集；有理数集；Z整数集；整数集；N自然数集自然数集西南科技大学品牌课程取取v有限区间数集数集x|a x b称为开区间称为开区间,记为记为(a,b),即即(a,b)=x|a x b.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.例如例如2.区间西南科技大学品牌课程a,b=x|a x b闭区间
3、闭区间.a,b)=x|a x b半开半闭区间半开半闭区间,(a,b=x|a x b半开半闭区间半开半闭区间.上述区间都是有限区间上述区间都是有限区间,其中其中a和和b称为区间的端点称为区间的端点,b-a 称为区间的长度称为区间的长度.西南科技大学品牌课程(-,b=x|x b,(-,+,+)=x|x|+.a,+,+)=x|a x,v无限区间(-,b)=x|xb,(a,+,+)=x|ax,西南科技大学品牌课程西南科技大学品牌课程(1)点点a的的邻邻域：域：设设，满满足不等式足不等式的全体的全体实实数数的集合称的集合称为为点点a的的邻邻域，域，记记作作，或，或简记为简记为，即，即.其中点其中点a称称
4、为邻为邻域的中心域的中心,称称为邻为邻域的半径域的半径.3.邻域西南科技大学品牌课程对于邻域的类型还有如下一些对于邻域的类型还有如下一些.空心邻域空心邻域左邻域左邻域右邻域右邻域邻域邻域为较大的正数为较大的正数邻域邻域邻域邻域西南科技大学品牌课程(x L)则称则称S为有上界为有上界(下界下界)的数集的数集,x S,都有都有x M数数M(L)称为称为S的一个上界的一个上界(下界下界).设设S是是R中的一个数集中的一个数集,若存在数若存在数M(L),使得对任一使得对任一定义1二二.有界集有界集 确界原理确界原理数集数集 S有上界有上界数集数集S有下界有下界数集数集S有上界是指可以找到数有上界是指可
5、以找到数M，使得，使得S中的任一元素不中的任一元素不会比会比M 大大数集数集S有下界是指可以找到数有下界是指可以找到数L，使得，使得S 中的任一元素不中的任一元素不会比会比L小小西南科技大学品牌课程有界数集有界数集:若数集若数集S既有上界又有下界既有上界又有下界,则称则称S为有界集为有界集.定理定理数集数集S是一有界数集的充分必要条件是存在是一有界数集的充分必要条件是存在，使得对任何，使得对任何，有，有实数实数数集数集 S有界有界西南科技大学品牌课程无界数集无界数集:若数集若数集S不是有界集，则不是有界集，则称称S为为无界集。无界集。注：）上（下）界若存在，不唯一；注：）上（下）界若存在，不唯
6、一；）上（下）界与）上（下）界与S的关系如何？看下面的例题：的关系如何？看下面的例题：例例2 2 证证明集合明集合是无界数集是无界数集.例例1 1 讨论讨论数集数集的有界性。的有界性。数集数集S无上界无上界数集数集S无界无界数集数集S无下界无下界西南科技大学品牌课程确界确界:直观定义直观定义:若数集若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集最小的一个上界称为数集S的上确界，记作的上确界，记作 同样，有下界数集同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集最大的一个下界称为数集 S的下确的下确界，记作界，记作MM2M1上确界上确界上界上界 m2mm1
7、下确界下确界下界下界西南科技大学品牌课程定义定义2Sxx1x2x3x4x5xn,)(x xa a$xSx使得使得x0，S的最小上界的最小上界又是又是即即x x;.,)(的上界的上界是是即即有有满足满足若数若数中的一个数集中的一个数集是是设设SxSxi，RSx xx xx x .supS，S=x xx x记作记作的上确界的上确界为数集为数集则称数则称数同理可得下确界的定义.定义定义3:3:;.,)(的下界的下界是是即即有有满足满足若数若数中的一个数集中的一个数集是是设设SxSxi，RSh hh hh h .inf,)(00S，S，SxSxii=h hh hh hb bh hb b记作记作的下确界
8、的下确界为数集为数集则称数则称数的最大下界的最大下界又是又是即即使得使得西南科技大学品牌课程命题命题1)2)命题命题21)2)西南科技大学品牌课程且且证：设证：设则不妨设则不妨设有有对对使使矛盾矛盾西南科技大学品牌课程证证二二:设设非空有界数集非空有界数集S的上确界的上确界为为西南科技大学品牌课程例例3则则若若存在存在,必有必有对下确界有类似的结论对下确界有类似的结论.西南科技大学品牌课程u确界原理定定理理1.1设设S为为非非空空数数集集,若若S有有上上界界,则则S必必有有上上确确界界;若若S有下界有下界,则则S必有下确界必有下确界.西南科技大学品牌课程注意：注意：1确界是一个数；确界是一个数
9、；2确界是唯一的；确界是唯一的；3数集数集A 的最值一定在的最值一定在A中，但确界不一定在中，但确界不一定在A中；中；例如例如sup(0，1)=1，inf(0，1)=0，开区间，开区间(0，1)无最值无最值.4有界数集有界数集A不一定有最值，但必有确界不一定有最值，但必有确界.西南科技大学品牌课程例例5设设 A,BA,B为非空数集为非空数集,满足满足:证明数集证明数集 A A有上确界有上确界,数集数集B B有下确界有下确界,且且设设A,B为非空有界数集为非空有界数集,.证明证明:例例6例例4 4设设和和是非空有界数集，且有是非空有界数集，且有,则则有有 西南科技大学品牌课程1.1.数集与确界的
10、关系数集与确界的关系:确界不一定属于原集合确界不一定属于原集合.2.确界与最确界与最值值的关系的关系:设设为为数集数集.的最的最值值必属于必属于,但确界未必但确界未必,非空有界数集必有确界非空有界数集必有确界(见上面的确界原理见上面的确界原理),但未必有最值但未必有最值.若若存在存在,必有必有对下确界有类似的结论对下确界有类似的结论.注：注：西南科技大学品牌课程例例1 1 讨论讨论数集数集的有界性。的有界性。上界、下界？下界上界、下界？下界显显然有，如取然有，如取；上界似乎无，但需要；上界似乎无，但需要证证明。明。，显显然有然有，所以，所以有下界；有下界；但但无上界。无上界。证证明如下：假明如
11、下：假设设有上界有上界M,则则M00，按定，按定义义，对对任意任意，都有，都有，这这是不可能的，如取是不可能的，如取则则，且，且.综综上所述知：上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集。是有下界无上界的数集，因而是无界集。分析：有界或无界分析：有界或无界解：任取解：任取西南科技大学品牌课程例例2证证明明集合集合是无界数集是无界数集.证明：证明：由无界集定由无界集定义义，E为为无界集无界集.西南科技大学品牌课程证：证：从而从而即是的一个上界，即是的一个上界，是数集是数集 的最小上界的最小上界,故故有有例例4 4设设和和是非空有界数集，且有是非空有界数集，且有,则则有有 西南科技大学品牌课程例
12、例5 设设 A A,B B为非空数集为非空数集,满足满足:证明数集证明数集 A A有上确界有上确界,数集数集B B有下确界有下确界,且且证证:故有确界原理知故有确界原理知,数集数集A A有上确界有上确界,数集数集B B有下确界有下确界.是数集是数集A A的一个上界的一个上界,而由上确界的定义知而由上确界的定义知由假设由假设,数集数集B B中任一数中任一数 都是数集都是数集A A的上界的上界,A A中任一数中任一数 都是都是B B的下界的下界,是数集是数集A A的最小上界的最小上界,故故有有 而此式又表明数而此式又表明数 是数集是数集B B的一个下界的一个下界,故由下确界的定义证得故由下确界的定义证得 西南科技大学品牌课程例例6 6 为为非空有界数集非空有界数集,试证试证明明:证证有有或或由由和和分分别别是是的下界的下界,有有或或即即是数集是数集的下界的下界,.和和，西南科技大学品牌课程又又的下界就是的下界就是A的下界的下界,是是S 的下界的下界,是是A 的下界的下界,同理有同理有于是有于是有综上综上,有有