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1、数数 学学 分分 析析主讲老师：叶瑞芬主讲老师：叶瑞芬广州大学数学与信息科学学院广州大学数学与信息科学学院Tel:13392633522Tel:13392633522、616302(616302(短号）短号）Email:Email: 一、课程概述一、课程概述数学分析数学分析（微积分、分析学）（微积分、分析学）实数理论实数理论极限理论极限理论微分学（一元与多元）微分学（一元与多元）积分学（一元与多元）积分学（一元与多元）无穷级数无穷级数教学时间安排：四个学期（教学时间安排：四个学期（72、90、72、54学时）学时）学分数：学分数：16（4、5、4、3学分）学分）1.课程特点课程特点（1）本课程
2、所占学分多，跨度大（计划共四个学期）本课程所占学分多，跨度大（计划共四个学期）（2）内容丰富、整体性强、思想深刻、方法基本）内容丰富、整体性强、思想深刻、方法基本（3）经典微积分为主体内容）经典微积分为主体内容极限的思想贯穿全课程极限的思想贯穿全课程2.课程重要性课程重要性（1）本课程是综合性大学数学类各专业重要的基础课程）本课程是综合性大学数学类各专业重要的基础课程（2）为后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练）为后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练培养学生的现代数学素质培养学生的现代数学素质培养学生运用数学思想和方法解决问题的能力培养学生运用数学思想和方法解决问题的能力 使学生系
3、统地掌握极限理论、一元函数微积分学、使学生系统地掌握极限理论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识二、课程任务二、课程任务 使学生掌握近代数学的方法、技巧，为后续课程的使学生掌握近代数学的方法、技巧，为后续课程的学习乃至以后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础学习乃至以后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础 使学生获得数学思想，数学的逻辑性，严密性方面使学生获得数学思想，数学的逻辑性，严密性方面的严格训练的严格训练三、学习方法与要求三、学习方法与要求要求：要求：积极预习、认真听课、适当笔记、积极预习、认真听课、适当笔记、学会看书、独立练习、
4、虚心请教学会看书、独立练习、虚心请教方法：方法：1.主动适应主动适应2.三先三后三先三后3.善于沟通善于沟通（先看后做、先做后看、先厚后薄）（先看后做、先做后看、先厚后薄）参考书：参考书：1.数学分析数学分析(上、下册上、下册)（第二版）陈纪（第二版）陈纪修修2.数学分析简明教程数学分析简明教程（上、下册）（上、下册）（第二版）邓东皋（第二版）邓东皋 尹小玲尹小玲3.微积分微积分(上、下册上、下册)James Stewart1、当你看到彩虹时，水平线与你到彩虹最高点处、当你看到彩虹时，水平线与你到彩虹最高点处 视线的夹角为视线的夹角为 度度太阳光太阳光太阳光太阳光观察者观察者彩虹角彩虹角最大最
5、小值问题最大最小值问题.太阳太阳 光光观察观察 者者主彩虹的形成主彩虹的形成1、当你看到彩虹时，水平线与你到彩虹最高点处、当你看到彩虹时，水平线与你到彩虹最高点处 视线的夹角为视线的夹角为 度度太阳光太阳光太阳光太阳光观察者观察者彩虹角彩虹角最大最小值问题最大最小值问题2.进一步进一步：彩虹为什么是七色的？：彩虹为什么是七色的？太阳光包含了太阳光包含了红红、橙橙、黄黄、绿绿、靛靛、蓝蓝、紫紫七色光七色光红红光：光：红红光光的彩虹角约为的彩虹角约为紫紫光：光：紫紫光光的彩虹角约为的彩虹角约为结论：彩虹中包含了七种颜色的相分离的光弧结论：彩虹中包含了七种颜色的相分离的光弧2、在超市中你常见到的食品
6、罐的形状、在超市中你常见到的食品罐的形状最经济的最经济的优化问题优化问题解释：解释：（1）侧面）侧面矩形矩形效果：无浪费或浪费极少效果：无浪费或浪费极少（2）底面和顶）底面和顶圆形圆形效果：边角废料很可观效果：边角废料很可观效果：边角废料浪费少点效果：边角废料浪费少点结论：大罐子应该接近方形，小罐子应该高细结论：大罐子应该接近方形，小罐子应该高细abxyo极限极限微分问题微分问题2、面积问题、面积问题求右图所示的区域的面积A微积分的基本问题微积分的基本问题1、速度问题、速度问题设设一质点做直线运动，一质点做直线运动，s=s(t)，abxyo（四个小矩形）（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）（
7、九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积积分问题积分问题3、切线问题、切线问题 求曲线y=f(x)在点M(x0 y0)处的切线的斜率 切线的定义切线的定义:过过点点M(x0 y0)处的处的割线割线MN 当当动点动点N沿曲线沿曲线 趋向于定点趋向于定点M时的时的极限极限位置位置定义定义为切线为切线MT 动画动画效果效果割线MN的斜率 极限极限切线MT的斜率 微分问题微分问题4、序列的极限问题、序列的极限问题芝诺（芝诺（Zeno)悖论悖论芝诺芝诺古希腊伊利亚（古希腊伊利亚（Elea）学派的哲学家）学派的哲学家芝诺第二悖论芝诺第二悖论阿
8、基里斯（阿基里斯（Achilles）悖论：）悖论：古希腊英雄阿基里斯与乌龟赛跑，起跑时让乌龟古希腊英雄阿基里斯与乌龟赛跑，起跑时让乌龟领先一段距离，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。领先一段距离，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。乌龟领先乌龟领先乌龟还是领先乌龟还是领先乌龟总是领先乌龟总是领先解决方法：解决方法：5、级数的和问题、级数的和问题芝诺另一个悖论芝诺另一个悖论亚里士多德（亚里士多德（Aristotle）悖论：）悖论：一个人走向一面墙，但他永远无法到达一个人走向一面墙，但他永远无法到达他永远无法到达他永远无法到达事实上：事实上：他肯定可以到达他肯定可以到达共同之处：共同之处：微积分微积分数学中
9、处理极限的分支数学中处理极限的分支（2）要计算的量是另外一个较容易计算量的极限要计算的量是另外一个较容易计算量的极限（1）有一个无限的过程有一个无限的过程 第一章第一章 实数集与函数实数集与函数教学内容：教学内容：1、复习实数、数集的有关知识、复习实数、数集的有关知识2、掌握确界定义以及确界原理、掌握确界定义以及确界原理3、复习函数的有关概念以及函数的、复习函数的有关概念以及函数的 几个基本特性几个基本特性教学重点与难点：教学重点与难点：如何利用确界定义去求或证明确界如何利用确界定义去求或证明确界约定：约定：任意的任意的存在的存在的实数构造的三大派理论实数构造的三大派理论1、戴德金的、戴德金的
10、“分划分划”；2、康托尔、康托尔海涅的海涅的“基本序列基本序列”；3、维尔斯特拉斯的、维尔斯特拉斯的“有界单调序列有界单调序列”；共同点共同点用有理数的某些集合来定义无理数用有理数的某些集合来定义无理数微积分大意微积分大意徐利治著（大连理工大学出版社，徐利治著（大连理工大学出版社，2007）实数的构造理论实数的构造理论王建午等编（人民教育出版社，王建午等编（人民教育出版社，1981）1 实数实数一、实数及其性质一、实数及其性质1、实数的组成、实数的组成 有理数：有理数：p/q (p、q为整数，为整数，q0）实数实数(也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数表
11、示)无理数：无限十进不循环小数无理数：无限十进不循环小数 为了讨论需要，将有限小数（包括整数）也表示为无限小数，为了讨论需要，将有限小数（包括整数）也表示为无限小数，并作如下规定：并作如下规定：（1）对于正有限小数（包括正整数）对于正有限小数（包括正整数)：（2 2）对于负有限小数（包括负数）对于负有限小数（包括负数）2、实数的一种表示法、实数的一种表示法确定的无限小数表示确定的无限小数表示3、不足近似与过剩近似、不足近似与过剩近似3、不足近似与过剩近似、不足近似与过剩近似不足近似与过剩近似的特性：不足近似与过剩近似的特性：4、实数的大小比较、实数的大小比较命题：设命题：设 与与 为实数，为实
12、数，证明见附录证明见附录第八节第八节存在非负整数存在非负整数 ，使得，使得 ，其中其中 是是 的的 位不足近似，位不足近似，表示表示 的的 位过剩近似。位过剩近似。证明：证明：有理数有理数存在非负整数存在非负整数 ，使得，使得 （1）实数对四则运算的封闭性）实数对四则运算的封闭性 （2）有序性）有序性（3）传递性）传递性:（4）具有阿基米德（）具有阿基米德（）性，即对任何）性，即对任何则存在正整数，使得则存在正整数，使得5、实数的性质、实数的性质（5）实数的稠密性，即任何两实数之间必有另一实数，实数的稠密性，即任何两实数之间必有另一实数，且既有有理数（见例），也有无理数且既有有理数（见例），也有无理数（6）实数与数轴上点一一对应）实数与数轴上点一一对应例例2二绝对值与不等式（自看）二绝对值与不等式（自看）几何平均值几何平均值算术平均值算术平均值