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1、本节上页上页下页下页4.2 随机变量的独立性随机变量的独立性定义定义定义定义1 1 设 X,Y为两个随机变量，若对任意实数x,y有则称随机变量X,Y相互独立相互独立相互独立相互独立(IndependentIndependent )表明：表明：两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积。用分布函数表示，即随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性本节上页上页下页下页离散型随机变量独立性的判定离散型随机变量独立性的判定离散型随机变量独立性的判定离散型随机变量独立性的判定4.2 随机变量的独立性随机变量的独立性若(X,Y)为离散型随机变量，则上述独立性
2、的定义等价于：连续型随机变量独立性的判定连续型随机变量独立性的判定连续型随机变量独立性的判定连续型随机变量独立性的判定若(X,Y)为连续型随机变量，则随机变量独立性的定义等价于：对任意实数x,y有本节上页下页请在以下两种不同的摸球方式下判断X,Y的相互独立性。例例1设袋中有4个白球及5个红球，现从中随机抽取两次，每次取一个，定义随机变量X，Y如下:(1)有放回摸球；(2)不放回摸球；4.2 随机变量的独立性随机变量的独立性解：（1）有放回摸球 XY0101X01pY01p4.2 随机变量的独立性随机变量的独立性结论：相互独立4.2 随机变量的独立性随机变量的独立性结论：不相互独立解：（2）不放
3、回摸球 XY0101X01pY01p4.2 随机变量的独立性随机变量的独立性例例2：若(X,Y)的概率密度如下，问X和Y是否独立？解：解：本节上页上页下页下页4.2 随机变量的独立性随机变量的独立性 设X1,X2,Xn联合分布函数为F(x1,x2,xn),Xi的分布函数为 FXi(x i)(i=1,2,n)，若对任意实数x1,x2,xn满足 则称X1,X2,Xn相互独立二维独立性的相关结论推广到二维独立性的相关结论推广到二维独立性的相关结论推广到二维独立性的相关结论推广到n n维的情形维的情形维的情形维的情形 Note2:连续型随机变量X1,X2,Xn相互独立的充要条件是 Note1:离散型随
4、机变量X1,X2,Xn相互独立的充要条件是本节上页上页下页下页4.2 随机变量的独立性随机变量的独立性 (2)设h,g是两个连续的函数，则二维独立性的相关结论推广到二维独立性的相关结论推广到二维独立性的相关结论推广到二维独立性的相关结论推广到n n维的情形维的情形维的情形维的情形本节上页上页下页下页随机变量独立性的应用随机变量独立性的应用随机变量独立性的应用随机变量独立性的应用4.2 随机变量的独立性随机变量的独立性 例例例例3(3(会面问题会面问题会面问题会面问题)甲乙两人约定中午12时30分在某地会面。如果甲来到的时间在12:15到12:45之间服从均匀分布，乙独立地到达，而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布。试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率，又甲先到的概率是多少？解解 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻，以12时为起点，以分为单位，依题意知：由独立性：所求为：甲先到的概率先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率被积函数为常数，直接求面积