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1、微分方程初值问题的数值解法第1页，共41页，编辑于2022年，星期六 引言引言 初值问题的数值解法初值问题的数值解法:求初值问题的解在一系列节点的值求初值问题的解在一系列节点的值 y(xn)的近的近似值似值 yn 的方法的方法.本章数值解法的特点本章数值解法的特点:都是采用都是采用“步进式步进式”,即求解过即求解过程顺着节点排列的次序一步步向前推进程顺着节点排列的次序一步步向前推进.基本知识基本知识:(1(1)定理定理1:1:如果函数如果函数 f(x,y)在区域在区域 上连续上连续,且关且关于于 y 满足满足Lipschitz条件条件常微分方程初值问题常微分方程初值问题:求未知函数求未知函数
2、y=y(x).第2页，共41页，编辑于2022年，星期六此时此时Lipschitz条件显然成立条件显然成立.故常用故常用 在在D上连续有界来代替上连续有界来代替 f(x,y)关于关于 y 满足满足Lipschitz条件条件.注注:如无特别说明如无特别说明,总假设总假设(1)(1)的解存在唯一且足够光滑的解存在唯一且足够光滑.在在f(x,y)对变量对变量 y 可微的情形下可微的情形下,若偏导数若偏导数 连续有界连续有界,则可取则可取L为为除了要保证除了要保证(1)(1)有唯一解外有唯一解外,还需保证微分方程本身是稳定的还需保证微分方程本身是稳定的,即即(1)(1)的解连的解连续依赖于初始值和函数
3、续依赖于初始值和函数 f(x,y).也就是说也就是说,当初始值当初始值 y0 及函数及函数 f(x,y)有微小变化时有微小变化时,只能引起解的微小变化只能引起解的微小变化.(其中其中L 称为称为LipschitzLipschitz常数常数),),则对任何则对任何 ,初值问题初值问题(1)(1)在在 a,b 上存在唯一连续可微解上存在唯一连续可微解 y=y(x).定理定理2:2:如果函数如果函数 f(x,y)在区域在区域 上关于上关于 y 满足满足Lipschitz条件条件,则则(1)是稳定的是稳定的.第3页，共41页，编辑于2022年，星期六单步迭代单步迭代:计算计算 yn+1时仅用时仅用 y
4、n;初值问题初值问题(1)与下列积分方程的解等价与下列积分方程的解等价:初值问题的数值解就是求一系列节点初值问题的数值解就是求一系列节点上函数上函数 y=y(x)的近似值的近似值 .称为步长称为步长.一般取等步长一般取等步长 h.多步迭代多步迭代:计算计算 yn+1时除用时除用 yn 外外,还要用到还要用到 yn-1,yn-2,;k 步迭代要用步迭代要用到到 yn-1,yn-2,yn-k+1.显式单步迭代显式单步迭代:隐式单步迭代隐式单步迭代:(2(2)第4页，共41页，编辑于2022年，星期六一、一、EulerEuler方法及其改进方法及其改进 将将 a,b n 等分等分,记记 微分法微分法
5、:积分法积分法:积分项利用矩形公式计算积分项利用矩形公式计算 1.1.显式显式EulerEuler方法方法()()第5页，共41页，编辑于2022年，星期六TaylorTaylor公式推导公式推导:EulerEuler公式几何意义公式几何意义:P1P2Pk也称折线法也称折线法 P0 xy第6页，共41页，编辑于2022年，星期六2.2.梯形法梯形法 称之为梯形公式称之为梯形公式.这是一个隐式公式这是一个隐式公式,通常用迭代法求解通常用迭代法求解.具体做法具体做法:取取 先用先用EulerEuler法求出初值法求出初值 ,即即 ,将其代入梯形公将其代入梯形公式的右端式的右端,使之转化为显式公式使
6、之转化为显式公式,即即 注注:当当 f(x,y)关于关于y满足满足Lipschitz条件且步长条件且步长h 满足满足 直至满足直至满足:若采用梯形公式计算若采用梯形公式计算()()中的积分项中的积分项,则有则有类似地类似地,可得可得()第7页，共41页，编辑于2022年，星期六时时,迭代格式迭代格式()收敛收敛.3.3.改进的改进的EulerEuler方法方法 把把EulerEuler法作为预报法作为预报(称为预估公式称为预估公式),),把隐式的梯形公式作为校正把隐式的梯形公式作为校正(称称为校正公式为校正公式),),则得改进的则得改进的EulerEuler方法方法:或或也称为预估也称为预估-
7、校正法校正法.有时为了方便有时为了方便,预估预估-校正格式也写成下面形式校正格式也写成下面形式:第8页，共41页，编辑于2022年，星期六二、单步法的局部截断误差及精度二、单步法的局部截断误差及精度 Def 1:先假设先假设 ,再估计误差再估计误差这种误差称为单步迭代法在这种误差称为单步迭代法在 xk+1处的局部截断误差处的局部截断误差.Def 2:若某种数值方法的局部截断误差为若某种数值方法的局部截断误差为 ,则称该数值方法的则称该数值方法的精度为精度为P 阶的阶的.注注:通常情况下通常情况下,P 越大越大,h 越小越小,则截断误差越小则截断误差越小,数值方法越精数值方法越精确确.设设 1
8、10 0.Euler.Euler方法是一阶方法方法是一阶方法.第9页，共41页，编辑于2022年，星期六所以所以EulerEuler方法为一阶方法方法为一阶方法.而而 2 20 0.梯形法是二阶方法梯形法是二阶方法.TaylorTaylor展开展开 第10页，共41页，编辑于2022年，星期六将将 代入上式代入上式,得得 而而代入上式得代入上式得:当当h充分小时充分小时,若若 ,则可选取则可选取 h,使得使得第11页，共41页，编辑于2022年，星期六故梯形法的精度为故梯形法的精度为2.同样可以证明同样可以证明改进的改进的EulerEuler法也是二阶方法法也是二阶方法.梯形法的梯形法的局部截
9、断误差局部截断误差为为:从而从而第12页，共41页，编辑于2022年，星期六例例1:取步长取步长 h=2/10,2/20,2/30,2/40,分别用欧拉法、改进的欧拉法和梯形分别用欧拉法、改进的欧拉法和梯形法求解法求解.解解:记记 f(x,y)=y x y2,xk=k h (k=0,1,2,n)(1).Euler法法:yk+1=yk+h(yk xk yk2)(k=0,1,n)y0=1当当 h=2/10时时,n=10.由由Euler公式可得公式可得:k01234yk+11.21.38241.5061.535041.46503k56789yk+11.328771.170771.021130.891
10、690.783788第13页，共41页，编辑于2022年，星期六(2).改进的改进的Euler法法:k01234yk+11.19121.343841.423481.419051.3473k56789yk+11.237261.114240.994151 0.884751 0.788666(3).梯形法梯形法(计算过程略计算过程略)第14页，共41页，编辑于2022年，星期六 n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05误差误差 0.1059 0.0521 0.0342 0.0256Euler法误差法误差:改进的改进的Euler法误差法误差:n 10 20 30 40 h
11、 0.2 0.1 0.0667 0.05误差误差 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e-004第15页，共41页，编辑于2022年，星期六预预-校方法校方法,h=0.2时时误差最大值误差最大值:0.0123欧拉方法欧拉方法,h=0.2时时误差最大值误差最大值:0.1059解析解解析解:第16页，共41页，编辑于2022年，星期六三、三、Runge-Kutta 方法方法1 1、Taylor 级数级数法法 设初值问题设初值问题 有解有解 y(x),由由Tayler公公式得式得:令令当当 时时,有有 .此时此时为为 p 阶阶Taylor方法方法.p=1时即为时即为Euler公式公
12、式.称之为称之为Taylor级数法级数法.其中其中例例2:取步长取步长 h=0.1,用一阶、二阶和四阶用一阶、二阶和四阶Taylor方法求解下列初值问题方法求解下列初值问题第17页，共41页，编辑于2022年，星期六解解:(1)一阶一阶Taylor法法k01234yk+11.11.2211.370081.557791.80046(2)二阶二阶Taylor法法k01234yk+11.111.246891.421751.652631.97088第18页，共41页，编辑于2022年，星期六(3)四阶四阶Taylor法法k01234yk+11.11111.249961.428481.666441.99
13、942第19页，共41页，编辑于2022年，星期六记记由由得得称为称为xk,xk+1上的平均斜率上的平均斜率.故故2 2、Runge-Kutta方法方法只要对只要对K*提供不同的算法提供不同的算法,就会得出不同的计算公式就会得出不同的计算公式.如取如取则得改进的则得改进的Euler公式公式,它是利用它是利用xk,xk+1两点的斜率值两点的斜率值K1,K2 的算术的算术平均值作为平均值作为K*,精度比精度比Euler法高法高.则得则得Euler公式公式;取取第20页，共41页，编辑于2022年，星期六Runge-Kutta法的法的基本思想基本思想:设法在设法在xk,xk+1内多预报几个点的斜率内
14、多预报几个点的斜率,再将它们的加权平均值作再将它们的加权平均值作为平均斜率为平均斜率K*一般显式一般显式Runge-Kutta公式公式为为:其中其中 为待定参数为待定参数,且且 .称为称为r 级级Runge-Kutta方法计算公式方法计算公式.注注:式中待定参数的确定式中待定参数的确定:先将先将式右端在式右端在(xk,yk)处展成处展成h的幂级数的幂级数(即将即将 yk+1 展成展成 h 的幂级数的幂级数);再将再将 y(xk+1)作作Taylor 级数展开级数展开;最后比最后比较两式中较两式中hk(k=0,1,2,)的系数的系数,以确定出所有待定参数以确定出所有待定参数.第21页，共41页，
15、编辑于2022年，星期六即可得即可得 p 个方程个方程,从而确定出待定参数从而确定出待定参数.代入表达式即可得到计算公式代入表达式即可得到计算公式.如如果要求两个表达式的前果要求两个表达式的前p+1项完全重合项完全重合,即局部截断误差达到即局部截断误差达到 ,则称则称式为式为 p 阶阶 r 级级的的Runge-Kutta方法方法.常用的是常用的是 r=2,3,4 级的级的R-K方法方法,且且适当选取参数使得适当选取参数使得 p=r.如要求如要求:Runge-Kutta方法的推导方法的推导(以以r=2为例为例):当当r=2 时时第22页，共41页，编辑于2022年，星期六则则记记又又第23页，共
16、41页，编辑于2022年，星期六(1)常用的二阶常用的二阶Runge-Kutta方法方法:预估预估-校正算法校正算法(2)这是一个四个参数三个方程的非线性方程组这是一个四个参数三个方程的非线性方程组.它有一个自由度它有一个自由度.称满足上称满足上述方程组的一族公式为二级二阶述方程组的一族公式为二级二阶Runge-Kutta方法方法.为使局部截断误差为为使局部截断误差为 ,比较上述两式右端同次幂系数比较上述两式右端同次幂系数,应应取取第24页，共41页，编辑于2022年，星期六注注:二级二级Runge-Kutta方法的精度最高是二阶的方法的精度最高是二阶的,不可能达到三阶不可能达到三阶.要提高计
17、算方法的阶要提高计算方法的阶,就必须增加预报点就必须增加预报点.常用的三阶常用的三阶Runge-Kutta方法方法(r=3):(1)Heun(休恩休恩)方法方法 中间点方法中间点方法 (3)三阶三阶Kutta方法方法 第25页，共41页，编辑于2022年，星期六(1)三阶三阶Heun方法方法 标准标准(经典经典)四阶四阶Runge-Kutta方法方法 (2)常用的四阶常用的四阶Runge-Kutta方法方法(r=4):第26页，共41页，编辑于2022年，星期六(2)称为称为Gill(吉尔吉尔)方法方法 注注:从理论上讲从理论上讲,可以构造任意高阶的计算方法可以构造任意高阶的计算方法.但事实上
18、但事实上,精度的阶精度的阶数与预报点的个数之间并非等量关系数与预报点的个数之间并非等量关系.预报点的个数 r123456789r 10精度的阶数123445667 r-2一般情况下一般情况下,四阶四阶Runge-Kutta方法已可满足精度要求方法已可满足精度要求.第27页，共41页，编辑于2022年，星期六例例3:用经典用经典Runge-Kutta方法求解下列初值问题方法求解下列初值问题(取取 h=0.1)解解:标准标准Runge-Kutta公式为公式为:计算结果见下表计算结果见下表.为比较在相同计算量条件下近似解的精度为比较在相同计算量条件下近似解的精度,表中列出了表中列出了Euler法法(
19、h=0.025)和改进的和改进的Euler法法(h=0.05)在相应节点上的计算结果在相应节点上的计算结果.第28页，共41页，编辑于2022年，星期六xiEuler法h=0.025改进Euler法h=0.05经典R-K法h=0.1准确解0.11.1114391.1153801.1155121.1155130.21.2552091.2639141.2642081.2642080.31.4346671.4490891.4495761.4495760.41.6535171.6747561.6754731.6754740.51.9158491.9451711.9461621.9461640.62.2
20、261782.2650402.2663542.2663560.72.5894852.6395612.6412552.6412580.83.0112713.0744793.0766193.0766230.93.4976063.5761443.5788043.5788091.04.0551924.1515734.1548394.154845注注:用表中每种方法计算用表中每种方法计算 yi 都需要计算四次都需要计算四次 f 的值的值,即它们的计算即它们的计算量基本相等量基本相等.第29页，共41页，编辑于2022年，星期六四、四、单步单步法的进一步讨论法的进一步讨论收敛性、相容性与稳定性收敛性、相容
21、性与稳定性注注:由定义可知由定义可知,数值方法的收敛性并不涉及计算过程的舍入误差数值方法的收敛性并不涉及计算过程的舍入误差,只与只与方法的截断误差有关方法的截断误差有关.若格式收敛若格式收敛,则整体截断误差必趋于零则整体截断误差必趋于零.Def:(整体截断误差整体截断误差)称称 为某一数值方法在点为某一数值方法在点 xk 处的整体截断误差处的整体截断误差.它不仅与它不仅与 xk 有关有关,也也与与xk-1,xk-2,x1,x0 有关有关.则称该单步法收敛则称该单步法收敛.Def:对满足解存在唯一性条件的初值问题对满足解存在唯一性条件的初值问题(1),如果一个显式如果一个显式单步法单步法(3)产
22、生的近似解对于任一固定的产生的近似解对于任一固定的 ,均有均有 1.收敛性收敛性第30页，共41页，编辑于2022年，星期六由于由于 ,且且 关于关于 y 满足满足Lipschitz条件条件,得得 则存在常数则存在常数 c 0 使得使得 且单步法中函数且单步法中函数 关于关于 y 满足满足Lipschitz条件条件,则则 定理定理1:若初值问题的一个单步法的局部截断误差为若初值问题的一个单步法的局部截断误差为 记记 证证:由局部截断误差的定义知由局部截断误差的定义知第31页，共41页，编辑于2022年，星期六故故 从而有从而有 故故 若若 y(x0)=y0,则则e0=0,由不等式由不等式 得得
23、 第32页，共41页，编辑于2022年，星期六设单步法为设单步法为 注注:定理表明定理表明,数值方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶数值方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶.收收敛的方法至少是一阶方法敛的方法至少是一阶方法.在该定义条件下在该定义条件下,Euler方法是一阶的方法是一阶的,预预估估-校正方法是二阶校正方法是二阶.当当f(x,y)关于关于 y 也满足也满足Lipschitz条件条件,r 级级Runge-Kutta方法中的方法中的 关于关于 y 也满足也满足Lipschitz条件条件,故定理中的故定理中的条件得到满足条件得到满足,解的收敛性得到保证解的收敛性得到保证.由于由于R
24、 n,h0(h0),且且 xn为任意点为任意点,故该式相当于用近似方程故该式相当于用近似方程 当当x=xn+1固定时固定时,所以有所以有 2.相容性相容性第33页，共41页，编辑于2022年，星期六通过在通过在 x=xn 处求解近似方程而获得原方程的近似解处求解近似方程而获得原方程的近似解.因此因此,必须要求当必须要求当h0 时时,近似方程应逼近于原方程近似方程应逼近于原方程.来代替来代替 因此因此,要使要使 h0 时时,近似方程的极限状态为原微分方程近似方程的极限状态为原微分方程,需且只需下列极需且只需下列极限成立限成立:由于由于 由于假设由于假设 是连续函数是连续函数,故上式可表示为故上式
25、可表示为 Def:如果当如果当h0时时,近似方程逼近微分方程近似方程逼近微分方程,则称数值公式则称数值公式与原微分方程相容与原微分方程相容.相容的充要条件相容的充要条件:第34页，共41页，编辑于2022年，星期六事实上事实上:Remark:可以证明若单步法的阶大于或等于可以证明若单步法的阶大于或等于1,则单步法与微分方程相则单步法与微分方程相容容;反之反之,如果单步法与微分方程相容如果单步法与微分方程相容,且且 关于关于 y 满足满足Lipschitz条件条件,则单步法至少为一阶方法则单步法至少为一阶方法.(h0)(1)若单步法的阶大于或等于若单步法的阶大于或等于1,由由 知知 即单步法与微
26、分方程相容即单步法与微分方程相容.故有故有 (2)如果单步法与微分方程相容如果单步法与微分方程相容,且且 关于关于y 满足满足Lipschitz条件条件,则则第35页，共41页，编辑于2022年，星期六关于关于 单步法的收敛性以及收敛性定理都是在计算过程中无任何舍入误差的前单步法的收敛性以及收敛性定理都是在计算过程中无任何舍入误差的前提条件下建立的提条件下建立的,但在实际计算时通常会有舍入误差及其积累但在实际计算时通常会有舍入误差及其积累,数值求解微数值求解微分方程的过程是一个递推公式分方程的过程是一个递推公式,必须考必须考 即与微分方程相容的单步法至少为一阶方法即与微分方程相容的单步法至少为
27、一阶方法.Remark:在定理条件下在定理条件下,Euler方法、预估方法、预估-校正方法以及校正方法以及Runge-Kutta方法都方法都与原微分方程相容与原微分方程相容.中连续中连续,且关于变量且关于变量y 满足满足Lipschitz条件条件,则单步法收敛的充要条件为相容则单步法收敛的充要条件为相容性条件成立性条件成立.Th1.设增量函数设增量函数 在区域在区域 3.稳定性稳定性第36页，共41页，编辑于2022年，星期六 如果数值方法在计算过程中舍入误差的积累越来越大如果数值方法在计算过程中舍入误差的积累越来越大,得不到有效得不到有效控制控制,则称其是不稳定的则称其是不稳定的;反之如果计
28、算结果对初始数据的误差及计反之如果计算结果对初始数据的误差及计算过程中的误差不敏感算过程中的误差不敏感,即舍入误差不增长即舍入误差不增长,则称相应的算法是稳定则称相应的算法是稳定的的.数值方法的稳定性有各种定义数值方法的稳定性有各种定义,这里仅考虑绝对稳定性概念这里仅考虑绝对稳定性概念.虑误差积累能否得到控制虑误差积累能否得到控制.Remark:从上面的定义可知从上面的定义可知,单步法是绝对稳定的单步法是绝对稳定的,与模型方程与模型方程 设某数值方法在节点设某数值方法在节点 xn 处对初值问题的数值解为处对初值问题的数值解为 yn,实际计实际计算得到的近似解为算得到的近似解为 ,称为第称为第
29、n 步数值解得扰动步数值解得扰动.=-Def:若某种数值方法在计算若某种数值方法在计算 yn 时有扰动时有扰动 但在计算后面的但在计算后面的 ym(m n)由由 引起的误差引起的误差 满足满足 则称该数值方法是绝则称该数值方法是绝对稳定的对稳定的.设设 f(x,y)关于关于 y 满足满足Lipschitz条件条件,下面仅对典型方程下面仅对典型方程(模型方模型方程程)进行讨论进行讨论.(其中其中为复常数为复常数,且且 )第37页，共41页，编辑于2022年，星期六(1)Euler显式公式显式公式:几个常用公式的稳定性几个常用公式的稳定性要求误差不增加要求误差不增加,即即 必须必须中的复数中的复数
30、以及所用步长以及所用步长 h 有关有关.若对复平面上的某个区域若对复平面上的某个区域G,当当 时单步法绝对收敛时单步法绝对收敛,则称则称G为单步法的绝对收敛域为单步法的绝对收敛域,G与与实轴的交集称为绝对稳定区间实轴的交集称为绝对稳定区间.显然绝对稳定域越大显然绝对稳定域越大,数值方法数值方法的绝对稳定性越好的绝对稳定性越好.将将Euler显式公式用于模型方程显式公式用于模型方程 ,则有则有设设 yn 有误差有误差 ,参与运算的量为参与运算的量为 由此引起的由此引起的 yn+1 有有误差误差 ,则实际得到近似则实际得到近似 yn+1的量为的量为 ,即即故有故有第38页，共41页，编辑于2022
31、年，星期六故故当当为实数时为实数时,得绝对稳定区间为得绝对稳定区间为(-2,0).即即 是保持绝对稳定性对步长是保持绝对稳定性对步长 h 所加的限制所加的限制.因此因此Euler法的法的绝对稳定域为绝对稳定域为(Euler法是条件稳定的法是条件稳定的):(2)梯形公式梯形公式:将梯形公式用于模型方程将梯形公式用于模型方程 ,则有则有由于由于设设第39页，共41页，编辑于2022年，星期六当当x=Re(h)0时时,上式右端总小于上式右端总小于1.故梯形法的绝对稳定区域为故梯形法的绝对稳定区域为:Re(h)0,即左半平面即左半平面.(3)四阶经典四阶经典R-K方法方法:四阶经典四阶经典R-K方法用于模型方程方法用于模型方程 ,则有则有第40页，共41页，编辑于2022年，星期六故四阶经典故四阶经典R-K方法的绝对稳定域为方法的绝对稳定域为:扰动满足扰动满足:第41页，共41页，编辑于2022年，星期六