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1、微分方程初步微分方程初步第1页，共29页，编辑于2022年，星期六微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题第2页，共29页，编辑于2022年，星期六引例引例1.1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C=1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程.第3页，共29页，编辑于2022年，星期六引例引例引例引例2.2.列车在平直路上以列车在平直路上以列车在平直路上以列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解
2、解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求 s=s(t).第4页，共29页，编辑于2022年，星期六常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n 阶显式显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或第5页，共29页，编辑于2022年，星期六引例2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解
3、中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同.特解特解引例1 通解:特解:微分方程的解解 不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.第6页，共29页，编辑于2022年，星期六分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y(x)是方程的解,两边积分,得 则有恒等式 当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.则有称为方程的隐式通解隐式通解,或通积分或通积分.同样,当F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.第7页，共29页，编辑于2022年，星期六例例1.求微分方
4、程求微分方程求微分方程求微分方程的通解.解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)第8页，共29页，编辑于2022年，星期六齐次方程齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.第9页，共29页，编辑于2022年，星期六令代入原方程得解法解法:第10页，共29页，编辑于2022年，星期六一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x)0,若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程;第11页，共29页，编辑于2022年，
5、星期六一一一一.差分差分差分差分:设函数 记为 ,当 取遍非负整数,即:则差 称为函数 的差分差分,记为又有又有:称为函数 的 二阶差分二阶差分.时,函数值可以排成一个数列:第12页，共29页，编辑于2022年，星期六差分方程的一般概念差分方程的一般概念:差分方程不同形式之间可以互相转化的符号的方程称为差分方程差分方程.例如:都是差分方程差分方程.定义:含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值第13页，共29页，编辑于2022年，星期六 是一个二阶差分方程,可以化为将原方程左边写成:则可以化为第14页，共29页，编辑于2022年，星期六定义定义:如果一个函数 代入差分方程后,方程两边把函数 代
6、入设有差分方程则有则有:左边等于 右边右边.恒等,则称此函数为差分方程的解.可以验证是常数,也是差分方程的解初始条件,通解和特解第15页，共29页，编辑于2022年，星期六定义定义定义定义:形如 是常数,其中 为已知函数,为未知函数时称为非齐次方程,否则称为齐次的.的方程称为一阶常系数线性差分方程.第16页，共29页，编辑于2022年，星期六常系数线性差分方程的解法常系数线性差分方程的解法:是方程 的解 容易验证:设 和 都是方程 的解,则即即:也是方程 的解1.通解和特解:非齐次方程的通解:第17页，共29页，编辑于2022年，星期六常系数齐次线性差分方程的解法常系数齐次线性差分方程的解法:
7、设 已知,容易验证:迭代法:第18页，共29页，编辑于2022年，星期六微分方程数学实验微分方程数学实验41 1、MATLAB MATLAB 求微分方程求微分方程42 2、案例应用、案例应用43 3、小结、小结第19页，共29页，编辑于2022年，星期六一、一、MATLAB求微分方程求微分方程MATLAB求微分方程操作命令：求微分方程操作命令：dsolve(Dy=f(x,y),x)-求微分方程求微分方程 的通解的通解dsolve(Dy=f(x,y),y(a)=b,x)-求微分方程求微分方程 的特解的特解dsolve(D2y=f(x,y,Dy),y(a)=b,Dy()=,x)-求微分方程求微分方
8、程 的特解的特解第20页，共29页，编辑于2022年，星期六 syms x y y=dsolve(Dy-2/(x+1)*y=(x+1)(5/2),x)y=2/3*(x+1)(3/2)*x2+4/3*(x+1)(3/2)*x+2/3*(x+1)(3/2)+C1*x2+2*C1*x+C1解：解：第21页，共29页，编辑于2022年，星期六 syms x y解：解：y=dsolve(Dy*(cos(x)2+y-tan(x)=0,y(0)=0,x)y=(-exp(2*i*x)+i-i*exp(2*i*x)-1+exp(-1/cos(x)*sin(x)+2*i*x)+exp(-1/cos(x)*sin(
9、x)/(exp(2*i*x)+1)第22页，共29页，编辑于2022年，星期六解：解：syms x y y=dsolve(D2y=Dy/x+x*exp(x),x)y=x*exp(x)-exp(x)+C1+C2*x2第23页，共29页，编辑于2022年，星期六 syms x y y=dsolve(D2y+4*y=cos(2*x),y(0)=1,Dy(0)=2,x)y=(1/8*sin(2*x)*cos(2*x)+1/4*x)*sin(2*x)+1/8*cos(2*x)3+sin(2*x)+7/8*cos(2*x)解：解：第24页，共29页，编辑于2022年，星期六二、案例应用二、案例应用第25页
10、，共29页，编辑于2022年，星期六 syms t I I=dsolve(2*DI+10*I=3*sin(5*t),t)I=-3/20*cos(5*t)+3/20*sin(5*t)+exp(-5*t)*C1 I0=dsolve(2*DI+10*I=3*sin(5*t),I(0)=6,t)I0=-3/20*cos(5*t)+3/20*sin(5*t)+123/20*exp(-5*t)第26页，共29页，编辑于2022年，星期六Example6(市场调查）市场调查）对一新产品做市场调研，对一新产品做市场调研，把它免费提供给有把它免费提供给有100万居民的城市中的万居民的城市中的1000人，在人，在
11、调查期间，城市人口保持不变。假设产品被接受的速度与调查期间，城市人口保持不变。假设产品被接受的速度与已拥有它和没拥有它的人数成比例。若四周后，有已拥有它和没拥有它的人数成比例。若四周后，有3000人接受了此产品，会接受此产品的人数关于时间的人接受了此产品，会接受此产品的人数关于时间的函数函数。第27页，共29页，编辑于2022年，星期六 syms x t x=dsolve(Dx=k*x*(1000000-x),x(0)=1000,t)x=1000000/(1+999*exp(-1000000*k*t)k=solve(1000000/(1+999*exp(-1000000*k*4)=3000,k
12、)k=-1/4000000*log(997/2997)k=-1/4000000*log(997/2997)k=2.7515e-007第28页，共29页，编辑于2022年，星期六Example7(电机温度电机温度)一台电机开动后，每分钟温度一台电机开动后，每分钟温度升高升高10度，同时按冷却定理不断散发热量，设电机所在车度，同时按冷却定理不断散发热量，设电机所在车间室温保持间室温保持15度，求电机温度与时间关系度，求电机温度与时间关系.syms H t H=dsolve(DH=10-k*(H-15),H(0)=15,t)H=10/k+15-10*exp(-k*t)/k第29页，共29页，编辑于2022年，星期六