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1、 第十一章第十一章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 幂级数两类问题:在收敛域内和函数求 和展 开 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 其中(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项.则在复习复习:若函数的某邻域内具有 n+1 阶导数,该邻域内有:f(x)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 f(x)
2、的的幂级幂级数数为f(x)的泰勒级数泰勒级数.则称当x0=0 时,(1)对此级数,它的收敛域是什么？(2)在收敛域内,和函数是否为 f(x)?问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 泰勒公式可以表示为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 定理定理1各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数证明证明:设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 内具有“”“”目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 定理定理2 若 f(x)能展成 x 的幂级数,唯一的,证明证明:则显然结论成立.则这种展开式是设 f
3、(x)所展成的幂级数为且与它的麦克劳林级数相同.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1 直接展开法直接展开法第一步第二步第三步是否为直接展开成幂级数的步骤:展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知函数的幂级数0.展开式求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;判定在收敛区间(R,R)内 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 将函数展开成 x 的幂级数.解解:其收敛半径为 故得级数 其余项故(在0与x 之间)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2 将展开成 x
4、 的幂级数.解解:得级数:其收敛半径为 其余项(在0与x 之间)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 对上式两边求导可推出:间接展开间接展开 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例3 将函数展开成 x 的幂级数,其中m为任意常数.解解:于是得 级数由于级数在开区间(1,1)内收敛.因此对任意常数 m,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 称为二项展开式二项展开式.注：注：(1)在 x=1 处的收敛性与 m 有关.(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式就是代数学中的二项式定理二项式定理.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 间接展开法
5、间接展开法利用已知函数的幂级数展开式,例例4 展开成 x 的幂级数.解解:将所给函数展开成 幂级数.将函数类似地 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例5 将函数展开成 x 的幂级数.解解:从 0 到 x 积分,定义且连续,域为上式右端的幂级数在 x=1 收敛,所以展开式对 x=1 也是成立的,于是收敛即得 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例6 将展成解解:的幂级数.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例7 将展成 x1 的幂级数.解解:目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用已知函数的幂级数展开式.2.常用函数的幂级数展开式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 当 m=1 时 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 思考与练习思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示提示:后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示提示:目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 备用题备用题 1将下列函数展开成 x 的幂级数解解:时,因此 级数条件收敛,连续,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 将在x=0处展为幂级数.解解:因此