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1、第1章流体属性与流体静力学本讲稿第一页，共三十七页 从微观的角度而言不论液体还是气体其分子与分子之间都是从微观的角度而言不论液体还是气体其分子与分子之间都是存在间隙的，例如海平面条件下，空气分子的平均自由程为存在间隙的，例如海平面条件下，空气分子的平均自由程为 l 1010-8-8 mmmm，但是这个距离与我们宏观上关心的物体（如飞行器）的，但是这个距离与我们宏观上关心的物体（如飞行器）的任何一个尺寸任何一个尺寸 L L 相比较都是微乎其微的，相比较都是微乎其微的，l/L L 1 1 流体力学和空气动力学是从宏观上研究流体（空气）的运动规律流体力学和空气动力学是从宏观上研究流体（空气）的运动规
2、律和作用力（流体内部和流体对物体）的规律的学科，流体力学和空气和作用力（流体内部和流体对物体）的规律的学科，流体力学和空气动力学常用动力学常用“介质介质”一词表示它所处理一词表示它所处理 的流体，流体包含液体的流体，流体包含液体和气体和气体1.1 1.1 流体属性流体属性流体属性流体属性1.1.1 1.1.1 连续介质的概念连续介质的概念连续介质的概念连续介质的概念本讲稿第二页，共三十七页 当受到物体扰动时，流体或空气所表现出的是大量分子运动体现出的宏观特当受到物体扰动时，流体或空气所表现出的是大量分子运动体现出的宏观特性变化如压强、密度等，而不是个别分子的行为。性变化如压强、密度等，而不是个
3、别分子的行为。一旦满足连续介质假设，就可以把流体的一切物理性质如密度、压强、温度及一旦满足连续介质假设，就可以把流体的一切物理性质如密度、压强、温度及宏观运动速度等表为空间和时间的连续可微函数，便于用数学分析工具来解决问题。宏观运动速度等表为空间和时间的连续可微函数，便于用数学分析工具来解决问题。一般一般用用努生数努生数即分子平均自由程与物体特征尺寸之比来判断流体是否满足连续即分子平均自由程与物体特征尺寸之比来判断流体是否满足连续介质假设介质假设 Nu=l/L 0dp0体积减小体积减小dv0dv0，考虑到一定质量的流体考虑到一定质量的流体 m=m=v v=常数常数,其密度与体积成反比其密度与体
4、积成反比:体积弹性模量可写为：体积弹性模量可写为：(N/m (N/m2 2)当当E E较大，则流体不容易被压缩，反之当较大，则流体不容易被压缩，反之当E E较小则流体容易被压缩。液体的较小则流体容易被压缩。液体的E E一般较大，通常一般较大，通常可视为不可压缩流体，气体的可视为不可压缩流体，气体的E E通常较小，且与热力过程有关，故通常较小，且与热力过程有关，故 气体具有压缩性。对具体流动气体具有压缩性。对具体流动问题是否应考虑空气压缩性要看流动产生的压强变化是否引起密度显著变化，一般情况下，当空问题是否应考虑空气压缩性要看流动产生的压强变化是否引起密度显著变化，一般情况下，当空气流动速度较低
5、时，压强变化引起的密度变化很小，可不考虑空气压缩性对流动特性的影响。气流动速度较低时，压强变化引起的密度变化很小，可不考虑空气压缩性对流动特性的影响。1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 流体的压缩性与弹性、空气的流动性流体的压缩性与弹性、空气的流动性流体的压缩性与弹性、空气的流动性流体的压缩性与弹性、空气的流动性本讲稿第六页，共三十七页 气体是流体的一种，它具有流动性。气体是流体的一种，它具有流动性。气体受到扰动后，扰动的影响将会以气体受到扰动后，扰动的影响将会以波动的形式传播开去，扰动传播的速度即为声速，因此扰动的传播与气体的弹波动的形式传播开去，扰动传播的速度即为声速，因此扰动
6、的传播与气体的弹性有关。性有关。后面讲到高速流动时会证明，这里的后面讲到高速流动时会证明，这里的等于声速的平方。所以气体的弹性决定于它的密度和声速。等于声速的平方。所以气体的弹性决定于它的密度和声速。而当飞行速度超过音速之后，扰动传播的速度仍是声速，相对于飞行速度而言，它而当飞行速度超过音速之后，扰动传播的速度仍是声速，相对于飞行速度而言，它就慢了，飞机没有飞到跟前，空气微团是没有预感的，只是飞到跟前时才突然地被推开，就慢了，飞机没有飞到跟前，空气微团是没有预感的，只是飞到跟前时才突然地被推开，这时流动性就很差了。这时流动性就很差了。对于飞行器而言，单说空气的流动性就不够了，而必须在飞行器的对
7、于飞行器而言，单说空气的流动性就不够了，而必须在飞行器的飞行速度和扰动的传播速度的比值之下来谈流动性。飞行速度和扰动的传播速度的比值之下来谈流动性。当飞行速度远小于音速时（低速飞行）当飞行速度远小于音速时（低速飞行）,扰动在空气里传播速度相对扰动在空气里传播速度相对于飞行速度而言是很快的，这时流动性很好。于飞行速度而言是很快的，这时流动性很好。飞行速度再大上去，到了高超音速范围，空气简直像没有流动性一样，飞行速度再大上去，到了高超音速范围，空气简直像没有流动性一样，而像固体的粒子那样向飞行器打来而像固体的粒子那样向飞行器打来 。1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 流体的压缩性与弹性
8、、空气的流动性流体的压缩性与弹性、空气的流动性流体的压缩性与弹性、空气的流动性流体的压缩性与弹性、空气的流动性本讲稿第七页，共三十七页飞行器的飞行速度飞行器的飞行速度 v v 和扰动的传播速度和扰动的传播速度 a a 的比值称为马赫数的比值称为马赫数 M Ma a：由于气体的弹性决定于声速，因此马赫数的大小可以看成是由于气体的弹性决定于声速，因此马赫数的大小可以看成是气体相对压缩性气体相对压缩性的一个指标的一个指标 当飞行速度远小于音速时（低速飞行），即马赫数较小时当飞行速度远小于音速时（低速飞行），即马赫数较小时 ，可以认为，可以认为此时流动的弹性影响相对较大，即压缩性影响相对较小，从而低速
9、气体有此时流动的弹性影响相对较大，即压缩性影响相对较小，从而低速气体有可能被当作不可压缩流动来处理。可能被当作不可压缩流动来处理。而当马赫数较大之后，可以认为此时流动的弹性影响相对较小，即压缩性影而当马赫数较大之后，可以认为此时流动的弹性影响相对较小，即压缩性影响相对较大，从而气体就不能被当作不可压缩流动来处理，而必须考虑流动的压响相对较大，从而气体就不能被当作不可压缩流动来处理，而必须考虑流动的压缩性效应。缩性效应。可以证明，近似划分气体压缩性影响的马赫数界线为可以证明，近似划分气体压缩性影响的马赫数界线为 M Ma a 0.3 0.3 ,即即当马赫数小于当马赫数小于0.30.3时，气体的压
10、缩性影响可以忽略不计，或者换言之，此时流时，气体的压缩性影响可以忽略不计，或者换言之，此时流动速度的变化不会引起气体密度的显著变化。动速度的变化不会引起气体密度的显著变化。1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 流体的压缩性与弹性、空气的流动性流体的压缩性与弹性、空气的流动性流体的压缩性与弹性、空气的流动性流体的压缩性与弹性、空气的流动性本讲稿第八页，共三十七页 实际流体都有粘性，不过有大有小，空气和水的粘性都不算大，日常实际流体都有粘性，不过有大有小，空气和水的粘性都不算大，日常生活中人们不会理会它，但观察河流岸边的漂浮物可以看到粘性的存在。生活中人们不会理会它，但观察河流岸边的漂浮
11、物可以看到粘性的存在。下述直匀流流过平板表面的实验突出表明了粘性的影响：下述直匀流流过平板表面的实验突出表明了粘性的影响：yu 由于粘性影响，原来是均匀的气流流至平板后直接贴着板面的一层速度降为零由于粘性影响，原来是均匀的气流流至平板后直接贴着板面的一层速度降为零，称为流体与板面间无滑移。稍外一层的气流受到层间摩擦作用速度也也下降至接，称为流体与板面间无滑移。稍外一层的气流受到层间摩擦作用速度也也下降至接近于零，但由于不紧挨板面多少有些速度，层间的互相牵扯作用一层层向外传递，近于零，但由于不紧挨板面多少有些速度，层间的互相牵扯作用一层层向外传递，离板面一定距离后，牵扯作用逐步消失，速度分布变为
12、均匀。离板面一定距离后，牵扯作用逐步消失，速度分布变为均匀。1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性本讲稿第九页，共三十七页 取其中相邻的二层流体来看，慢层对快层有向后的牵扯而使其有变慢的趋势，而取其中相邻的二层流体来看，慢层对快层有向后的牵扯而使其有变慢的趋势，而快层对慢层有向前的牵扯使其有变快的趋势快层对慢层有向前的牵扯使其有变快的趋势uu+du 流体相邻层间存在着抵抗层间相互错动的趋势这一特性称为流体的粘性，流体相邻层间存在着抵抗层间相互错动的趋势这一特性称为流体的粘性，层间的这一抵抗力即摩擦力或剪切力，单位面积上的剪切力称为剪切应力层间的这一抵抗力即摩擦力或剪切力，单位面积上的剪切
13、力称为剪切应力 牛顿提出，流体内部的剪切力牛顿提出，流体内部的剪切力与流体的角变形率成与流体的角变形率成 正比（注意正比（注意对于固体而言，对于固体而言，与与 成正比）成正比）考考虑虑如上如上图图的流体元的流体元变变形，可以形，可以证证明明单单位位时间时间内的角内的角变变形形 等于速度梯等于速度梯度度 ，这这是因是因为为=（u+du)dt-udt=dudt,又又=ddydydytt+dt其中比例系数其中比例系数是反映粘性大小的物性参数，称为动力粘性系数是反映粘性大小的物性参数，称为动力粘性系数 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性流体的粘性流体的粘性本讲稿第十页
14、，共三十七页从而得到著名的牛顿粘性公式：从而得到著名的牛顿粘性公式：其中其中的单位是帕：的单位是帕：N/m2，动动力粘性系数力粘性系数的的单单位是位是：帕秒：帕秒：Ns/m2从牛从牛顿顿粘性公式可以看出：粘性公式可以看出：1.流体的剪应力与压强流体的剪应力与压强 p p 无关（注意到固体摩擦力与正压力有关无关（注意到固体摩擦力与正压力有关)。2.当当 0 时，时，即无论剪应力多小，只要存在剪应力，流体就会即无论剪应力多小，只要存在剪应力，流体就会发生变形运动，因此牛顿粘性公式可看成是易流性的数学表达。发生变形运动，因此牛顿粘性公式可看成是易流性的数学表达。3.当当 时，时，0，即只要流体静止或
15、无变形，就不存在剪应力，即只要流体静止或无变形，就不存在剪应力，换言之，流体不存在静摩擦力。换言之，流体不存在静摩擦力。4.由于流体与固体表面无滑移，故壁面处由于流体与固体表面无滑移，故壁面处 为有限值，所以壁面处为有限值，所以壁面处剪应力剪应力 0 也为有限值。也为有限值。1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性流体的粘性流体的粘性本讲稿第十一页，共三十七页 液体和气体液体和气体产产生粘性的物理原因不同，液体分子生粘性的物理原因不同，液体分子结结构构紧紧密，液体的粘性主要来密，液体的粘性主要来自于液体分子自于液体分子间间的内聚力，气体分子的内聚力，气体分子结结构松
16、散，气体粘性主要来自于气体分子的构松散，气体粘性主要来自于气体分子的热热运运动动，因此液体和气体的，因此液体和气体的动动力粘性系数随温度的力粘性系数随温度的变变化化趋势刚趋势刚好相反，但粘性系数与好相反，但粘性系数与压压强强基本无关基本无关 液体和气体的动力粘性系数随温度变化的关系可查阅相应表格或近似液体和气体的动力粘性系数随温度变化的关系可查阅相应表格或近似公式，如气体动力粘性系数的萨特兰公式，等等。公式，如气体动力粘性系数的萨特兰公式，等等。在在许许多空气多空气动动力学力学问题问题里，粘性力和里，粘性力和惯惯性力同性力同时时存在，在式子存在，在式子中中和和往往以（往往以（/）的组合形式出现
17、，用符号）的组合形式出现，用符号表示表示因为因为量纲只包含长度和时间，为运动学量，称为运动粘性系数。量纲只包含长度和时间，为运动学量，称为运动粘性系数。液体与气体动力粘性系数随温度变化的趋势为：液体与气体动力粘性系数随温度变化的趋势为：液体：液体：温度升高，动力粘性系数变小，反之变大温度升高，动力粘性系数变小，反之变大 气体：气体：温度升高，动力粘性系数变大，反之变小温度升高，动力粘性系数变大，反之变小 空气粘性不大空气粘性不大,初步近似可忽略其粘性作用，忽略粘性的流体称为理想流体。初步近似可忽略其粘性作用，忽略粘性的流体称为理想流体。1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性本讲稿第十二页
18、，共三十七页按照作用力的性质和作用方式，可分为按照作用力的性质和作用方式，可分为彻体力彻体力和和表面力表面力两类两类彻体力：外力场作用于流体微团质量中心，大小与微团质量成正比的非接触力，彻体力：外力场作用于流体微团质量中心，大小与微团质量成正比的非接触力，例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于彻体力，也有称为体积力或例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于彻体力，也有称为体积力或质量力的，由于彻体力按质量分布，故一般用单位质量的彻体力表示，并且往质量力的，由于彻体力按质量分布，故一般用单位质量的彻体力表示，并且往往写为分量形式：往写为分量形式：其中其中 是微团体积，是微团体积，为密度
19、，为密度，为作用于微团的彻体力，为作用于微团的彻体力，i i、j j、k k分别是三个坐标方向的单位向量，分别是三个坐标方向的单位向量，f fx x 、f fy y 、f fz z 分别分别是三个方向的单位质量彻体力分量是三个方向的单位质量彻体力分量 。1.2 1.2 作用在流体微团上的力的分类作用在流体微团上的力的分类本讲稿第十三页，共三十七页表面力：相邻流体或物体作用于所研究流体团块外表面，大小与流体团块表面积成正比表面力：相邻流体或物体作用于所研究流体团块外表面，大小与流体团块表面积成正比的接触力。由于表面力按面积分布，故用单位面积上的接触力即接触应力表示，由于接的接触力。由于表面力按面
20、积分布，故用单位面积上的接触力即接触应力表示，由于接触应力一般与表面法线方向并不重合，故又可以将接触应力分解为法向应力和切向应力触应力一般与表面法线方向并不重合，故又可以将接触应力分解为法向应力和切向应力ATPn法向应力即静压强，切向应力即摩擦法向应力即静压强，切向应力即摩擦应力或剪切应力：应力或剪切应力：上述画出的表面力对整个流体而言是内力，对所画出的流体团块来说则是外力。上述画出的表面力对整个流体而言是内力，对所画出的流体团块来说则是外力。1.2 1.2 1.2 1.2 作用在流体微团上的力的分类作用在流体微团上的力的分类作用在流体微团上的力的分类作用在流体微团上的力的分类本讲稿第十四页，
21、共三十七页 流体内任取一个剖面一般有法向应力和切向应力，但切向应力完全是由粘性流体内任取一个剖面一般有法向应力和切向应力，但切向应力完全是由粘性产生的，而流体的粘性力只有在流动时才存在，静止流体是不能承受切向应力的产生的，而流体的粘性力只有在流动时才存在，静止流体是不能承受切向应力的 流体中的法向应力称为压强流体中的法向应力称为压强 p p（注），其指向沿着表面的内法线（注），其指向沿着表面的内法线方向，压强的量纲是方向，压强的量纲是 力力/长度长度 2 2，单位为（，单位为（N/mN/m2 2）或）或 （帕：（帕：P Pa a）在理想（无粘）流体中，不在理想（无粘）流体中，不论论流体静止流体
22、静止还还是运是运动动，尽管一般，尽管一般压压强强是位置的函数是位置的函数 p=p(x,y,z),但在同一点但在同一点处压处压强强不因受不因受压压面方位不同而面方位不同而变变化，化，这这个个结结果称果称为为理理想流体内想流体内压压强强是各向同性的是各向同性的。注：关于有粘的运动流体，严格说来压强指的是三个互相垂直方向注：关于有粘的运动流体，严格说来压强指的是三个互相垂直方向的法向力的平均值，加负号的法向力的平均值，加负号。1.3 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性本讲稿第十五页，共三十七页 如讨
23、论如讨论P P点处压强，在周围取如图微元点处压强，在周围取如图微元4 4面体面体ABCO,ABCO,作用在各表面的压强如作用在各表面的压强如图所示，理想流体无剪切应力，由于图所示，理想流体无剪切应力，由于dxdx、dydy、dzdz的取法任意，故面的取法任意，故面ABCABC的法线方的法线方向向n n方向也是任意的方向也是任意的yxzdxdydzpzpxpypnnABCoP分别沿分别沿 x x、y y、z z三个方向建立力的平衡关系：三个方向建立力的平衡关系：x x方向合外力质量方向合外力质量加速度（加速度（x x方向）方向）方程左端等于：方程左端等于：方程右端等于：三阶小量方程右端等于：三阶
24、小量00，由此可得：，由此可得：因为图中的因为图中的n n方向为任取，故各向同性得证方向为任取，故各向同性得证同理可得：同理可得：即即：1.3 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性本讲稿第十六页，共三十七页下面我们来研究压强在静止流体中的分布规律。下面我们来研究压强在静止流体中的分布规律。在平衡流体（静止或相对静止）中取定一笛卡儿坐标系在平衡流体（静止或相对静止）中取定一笛卡儿坐标系oxyz，坐标轴方位任意。，坐标轴方位任意。在流体内取定一点在流体内取定一点P（x,y,z）,然后以该点为中心点沿
25、坐标轴三个方向取三个然后以该点为中心点沿坐标轴三个方向取三个长度长度dx,dy,dz,划出一微元六面体作为分析对象划出一微元六面体作为分析对象:假设：假设：六面体体积：六面体体积：d=dxdydz中心点坐标：中心点坐标：x,y,z中心点压强：中心点压强：p=p（x,y,z）中心点密度：中心点密度：=（x,y,z）中心点中心点处处沿三个方向的沿三个方向的单单位位质质量量彻彻体力体力 fx,fy,fz微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示,如图为如图为x x方向彻体力，方向彻体力，其他方向同理可得。由于流体静止故无剪应力。其他方
26、向同理可得。由于流体静止故无剪应力。xyzPdxdydz1.4 1.4 1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程本讲稿第十七页，共三十七页x x方向的表面力为：方向的表面力为：x x方向的彻体力为：方向的彻体力为：流体静止，则流体静止，则x x方向的合外力为零：方向的合外力为零：两两边边同除以同除以 d=dxdydz 并令并令 d 趋于趋于零，可得零，可得x方向平衡方程：方向平衡方程：同理可得同理可得y,zy,z方向的平衡方程：方向的平衡方程：流体平衡微分方程流体平衡微分方程1.4 1.4 1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程流体
27、静平衡微分方程流体静平衡微分方程本讲稿第十八页，共三十七页这三个式子表明当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，必然是由于彻这三个式子表明当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，必然是由于彻体力在该方向有分量的缘故体力在该方向有分量的缘故将上三个式子分别乘以将上三个式子分别乘以dxdx，dydy，dzdz，然后相加起来，得到：，然后相加起来，得到：此式左端是个全微分：此式左端是个全微分：如果右端的三个彻体力分量如果右端的三个彻体力分量 f fx x，f fy y，f fz z，符合下列关系的话：符合下列关系的话：则则第一式右端括号也是某个函数的全微分。第一式右端括号也是某个函数的全微分。记
28、该记该函数函数为为（x,y,zx,y,z），称），称为彻为彻体力的体力的势势函数，或称函数，或称彻彻体力体力为为有有势势力。只有在有力。只有在有势势力作用下流体才可能平衡。重力、力作用下流体才可能平衡。重力、惯惯性力性力和和电电磁力都磁力都为为有有势势力。力。1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程本讲稿第十九页，共三十七页当彻体力为有势力时，则平衡微分方程可写为：当彻体力为有势力时，则平衡微分方程可写为：设彻体力与势函数的关系为：设彻体力与势函数的关系为：等压面的概念：流场中压强相等的空间点组成的几何曲面或平面等压面的概念：流场中压强相等的空间点组成的几何曲面或平面p=c等压面在
29、等压面上满足：在等压面上满足：上式上式积积分后分后为为一几何曲面或平面，一几何曲面或平面，该该曲面上曲面上满满足足 dp=0，上方程称上方程称为为等等压压面面方程方程如果我如果我们们知道某一点的知道某一点的压压强强值值 pa 和和彻彻体力体力势势函数函数 a a 的的值值,则则任何其任何其它点的压强和势函数之间的关系便可表为：它点的压强和势函数之间的关系便可表为：或：或：1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程本讲稿第二十页，共三十七页等压面方程还可写为：等压面方程还可写为：其中：其中：为彻体力向量为彻体力向量为等压面上的向径为等压面上的向径等压面上式表明：等压面处处与彻体力相正交
30、上式表明：等压面处处与彻体力相正交例如：例如：1.1.在重力场下静止液体等压面必然为水平面在重力场下静止液体等压面必然为水平面gaa3.在水平向右加速容器中的液体除了受到重力之在水平向右加速容器中的液体除了受到重力之外，还受到向左的惯性力，二者合成的彻体力向外，还受到向左的惯性力，二者合成的彻体力向左下方，因此等压面是向右倾斜的平面左下方，因此等压面是向右倾斜的平面2.在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还受到向下的惯性力，在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还受到向下的惯性力，二者合成的彻体力均为向下，因此等压面也是水平面二者合成的彻体力均为向下，因此等压面也是水平面1.4 1.4
31、1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程本讲稿第二十一页，共三十七页1.5 1.5 1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律设封闭容器自由面处压强为设封闭容器自由面处压强为p p0 0，如图建立坐标系，考虑距水平轴高度为，如图建立坐标系，考虑距水平轴高度为 y y 处的某单处的某单位质量流体，其彻体力可表示为：位质量流体，其彻体力可表示为：积分得（注意积分得（注意g g）：）：此式称为平衡基本方程此式称为平衡基本方程其中其中g g为重力加速度，代入平衡
32、微分方程得：为重力加速度，代入平衡微分方程得：或：或：上式表明，在平衡流体中上式表明，在平衡流体中p p/与与y y之和为常数。之和为常数。显然，静止流体中等压面为水平面显然，静止流体中等压面为水平面 y yc cp0。xygy本讲稿第二十二页，共三十七页对于不同高度上的对于不同高度上的1、2两点，平衡两点，平衡基本方程可以写为基本方程可以写为:平衡流体中不同高度处，压力水头与高度水头可以互相转换，但总水头保持不变。平衡流体中不同高度处，压力水头与高度水头可以互相转换，但总水头保持不变。的几何意的几何意义为义为:y-代表所研究流体质点在坐标系中所处高度，称为高度水头代表所研究流体质点在坐标系中
33、所处高度，称为高度水头 p/-代表所研究流体质点在真空管中上升高度，称为压力水头代表所研究流体质点在真空管中上升高度，称为压力水头H-由于方程量纲为高度，该积分常数代表上述二高度之和称为由于方程量纲为高度，该积分常数代表上述二高度之和称为总水头，如图所示：总水头，如图所示：y2。11yxp0。yH真空1.5 1.5 1.5 1.5 重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分布规律本讲稿第二十三页，共三十七页 的物理意的物理意义为义为:y-代表单位重量流体的重力势能简称势能代表单位重量流体的重力势能简称势能 p/-代
34、表单位重量流体的压力势能简称压力能代表单位重量流体的压力势能简称压力能H-代表平衡流体中单位重量流体的总能量代表平衡流体中单位重量流体的总能量平衡基本方程平衡基本方程 表明表明:平衡流体中势能与压力能可以互相转换，但总能量保持不变平衡流体中势能与压力能可以互相转换，但总能量保持不变假设自由液面距水平轴距离为假设自由液面距水平轴距离为H，则，则自由面与自由面与 y 处流体满足：处流体满足：。xygp0yHh其中其中 h=H-y 是所论液体距自由面的深度是所论液体距自由面的深度1.5 1.5 1.5 1.5 重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分
35、布规律重力场中静止液体中的压强分布规律本讲稿第二十四页，共三十七页式式 表明：表明：平衡流体中距自由面深平衡流体中距自由面深 h 处的压强来自于两部分的贡献：处的压强来自于两部分的贡献：一是上方单位面积上的液重一是上方单位面积上的液重h，因此压强随距自由面的淹没深度而线性增加，因此压强随距自由面的淹没深度而线性增加 二是自由面上的压强贡献二是自由面上的压强贡献 P0，而该贡献处处相同与深度无关，而该贡献处处相同与深度无关当自由面为大气压当自由面为大气压 pa 时，距自由面深时，距自由面深h处的压强可表为：处的压强可表为：压强的计量：压强的计量：以真空为压强参考值计量的压强称为绝对压强，如上式中
36、的以真空为压强参考值计量的压强称为绝对压强，如上式中的 p以大气压以大气压pa为参考压强，高出大气压部分的压强称为相对压强为参考压强，高出大气压部分的压强称为相对压强 pb=p-pa以大气压以大气压pa为参考压强，不足大气压部分的压强称为真空度为参考压强，不足大气压部分的压强称为真空度 pv=pa-p对于同一个压强值对于同一个压强值 p，其相对压强，其相对压强 pb 与其真空度与其真空度 pv 之间的关系为之间的关系为pb=-pv 1.5 1.5 1.5 1.5 重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分布规律本讲
37、稿第二十五页，共三十七页湿式大气压力计 例：湿式大气压力表的工作原理例：湿式大气压力表的工作原理 有一种大气压力表是用汞柱的高度来表达大气压的数值的。有一种大气压力表是用汞柱的高度来表达大气压的数值的。一根上端封闭的长玻璃管和一个盛汞的底盒，玻管竖立。玻管中一根上端封闭的长玻璃管和一个盛汞的底盒，玻管竖立。玻管中有汞与底盒中的汞连通。玻管中汞柱的有汞与底盒中的汞连通。玻管中汞柱的 上端是真空的上端是真空的。参看右参看右图图，把坐，把坐标标平面平面xy放在管中汞柱的上表面，放在管中汞柱的上表面，该该处处的的按式按式 ，玻管下面与盒中汞面等高的，玻管下面与盒中汞面等高的A处处(距上表面的深度距上表
38、面的深度为为h)的压强的压强 pA 是是 而而 pA 和大气和大气压压 pa 是相等的，即是相等的，即这样这样，要，要计计算大气算大气压压的的值值的的话话，只要把气，只要把气压压表上表上读读下来的汞柱高度下来的汞柱高度米乘以汞的重度米乘以汞的重度就是了，大气压的读数往往只说汞柱高就行了，一个标准气压是就是了，大气压的读数往往只说汞柱高就行了，一个标准气压是760毫米汞柱。毫米汞柱。1.5 1.5 1.5 1.5 重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分布规律重力场中静止液体中的压强分布规律本讲稿第二十六页，共三十七页1.6 1.6 1.6 1.
39、6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题在以匀加速运动或匀角速度转动的相对平衡流体中，如果将坐标系固连在以匀加速运动在以匀加速运动或匀角速度转动的相对平衡流体中，如果将坐标系固连在以匀加速运动或匀角速度转动的容器上，对液体引入惯性力或匀角速度转动的容器上，对液体引入惯性力(达朗伯原理达朗伯原理)，则同样可以利用平衡微分，则同样可以利用平衡微分方程求解问题。方程求解问题。如图圆筒作匀角速转动如图圆筒作匀角速转动 ，求其中求其中液体的等压面形状和压强分布规律。液体的等压面形状和压强分布规律。yxr2r2y2x将坐标系固连于转筒，并建如图坐标系。考虑将坐标系固连于
40、转筒，并建如图坐标系。考虑距底壁为距底壁为 z z,半径为半径为 r r 处单位质量流体，会受到一处单位质量流体，会受到一个向下的彻体力大小为个向下的彻体力大小为 g g,此外还受到一个向外的惯此外还受到一个向外的惯性力大小为性力大小为2 2r r。在直角坐标系中，三个方向的彻体力可表为在直角坐标系中，三个方向的彻体力可表为 yzg本讲稿第二十七页，共三十七页求等压面：由等压面方程求等压面：由等压面方程可得：可得：积分得：积分得：即：即：为为旋旋转转抛物面族抛物面族特别地，设自由面最低点距坐标原点高特别地，设自由面最低点距坐标原点高 H H 时（如图），可定出自由面对时（如图），可定出自由面对
41、应的常数：应的常数：r r=0 0 时，时，c c=z=z=H H故自由面方程为故自由面方程为其中其中 称为超高，即液面高出抛物线顶点的部分。称为超高，即液面高出抛物线顶点的部分。yzgH1.6 1.6 1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题本讲稿第二十八页，共三十七页求压强分布：由平衡微分方程方程求压强分布：由平衡微分方程方程可得：可得：积分得：积分得：由自由面条件，可定出积分常数：由自由面条件，可定出积分常数：x x=y y=0 0 ，z z=H H 时时,p p=p pa a，定得积分常数，定得积分常数 c c=p pa a+g Hg H
42、，带入上述积分结果，得带入上述积分结果，得如果令方括号等于如果令方括号等于H H，则上式可以写为：，则上式可以写为：其中其中 H H 即为从自由面向下的淹没深度，等于即为从自由面向下的淹没深度，等于超高加上距顶点的深度。超高加上距顶点的深度。yzgHH上述压强分布表明，在旋转平衡液体中，压强随深度上述压强分布表明，在旋转平衡液体中，压强随深度线性增加，随半径呈平方增加线性增加，随半径呈平方增加1.6 1.6 1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题本讲稿第二十九页，共三十七页即在上图中，即在上图中，A点处压强大于自由面顶点处压强，而点处压强大于自
43、由面顶点处压强，而B点处压强又大于点处压强又大于A点处压强，点处压强，C点处压强又大于点处压强又大于B点处压强。点处压强。此外压强分布还与旋转角速度的平方此外压强分布还与旋转角速度的平方 2 成正比，这是因为离心力是以旋成正比，这是因为离心力是以旋转角速度的平方转角速度的平方 2 成正比的，如旋转角速度很大，这个彻体力可以很大成正比的，如旋转角速度很大，这个彻体力可以很大，从而一，从而一定半径处的压强会很大。定半径处的压强会很大。由于随半径不同各处的惯性离心力不同，因此合成的惯性力方向随半径而变化，在外由于随半径不同各处的惯性离心力不同，因此合成的惯性力方向随半径而变化，在外侧惯性力较大故合彻
44、体力方向趋于水平侧惯性力较大故合彻体力方向趋于水平，在圆心附近惯性力较小故合彻体力方向趋于，在圆心附近惯性力较小故合彻体力方向趋于垂直，这是旋转平衡液体的等压面成为抛物面形状的原因。垂直，这是旋转平衡液体的等压面成为抛物面形状的原因。旋转液体的特点在在工程中也有很重要的应旋转液体的特点在在工程中也有很重要的应用，例如旋转铸造或离心铸造等，对于铸造用，例如旋转铸造或离心铸造等，对于铸造薄壁容器、列车车轮等有重要意义薄壁容器、列车车轮等有重要意义右图为旋转液体压强分布演示：右图为旋转液体压强分布演示：1.6 1.6 1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题液体的相对平
45、衡问题本讲稿第三十页，共三十七页1.7 1.7 标准大气标准大气 气象条件逐日都有些变化，更不用说不同的季节了气象条件逐日都有些变化，更不用说不同的季节了,并且不同地区气象也并且不同地区气象也不相同。无论做飞行器设计，还是做实验研究，都要用到大气的条件，为了便不相同。无论做飞行器设计，还是做实验研究，都要用到大气的条件，为了便于比较，工程上需要规定一个标准大气。这个标准是按中纬地区的平均气象条于比较，工程上需要规定一个标准大气。这个标准是按中纬地区的平均气象条件定出来的。这样做计算时，都依此标准进行计算；做实验时，也都换算成标件定出来的。这样做计算时，都依此标准进行计算；做实验时，也都换算成标
46、准条件下的数据。准条件下的数据。标标准大气准大气规规定在海平面上，大气温度定在海平面上，大气温度为为 15 或或 T0=288.15K，压强，压强 p0=760 毫米汞柱毫米汞柱=101325牛牛/米米2，密度，密度0=1.225千克千克/米米3 从基准面到从基准面到11 km11 km的高空称为对流层，在对流层内大气密度和的高空称为对流层，在对流层内大气密度和温度随高度有明显变化，温度随高度增加而下降，高度每增加温度随高度有明显变化，温度随高度增加而下降，高度每增加1km1km，温度下降，温度下降 6.5 K6.5 K，即：，即：从从 11 km 11 km 到到 21km 21km 的高空
47、大气温度基本不变，称为同温层，在同温层内的高空大气温度基本不变，称为同温层，在同温层内温度保持为温度保持为 216.5 K216.5 K。普通飞机主要在对流层和平流层里活动。普通飞机主要在对流层和平流层里活动。本讲稿第三十一页，共三十七页 我我们们可以用静平衡微分方程把可以用静平衡微分方程把压压强强随高度而下降的随高度而下降的变变化化规规律推律推导导出来。出来。出出发发点只能是平衡微分方程，因点只能是平衡微分方程，因为为大气的密度大气的密度是变量是变量。y（km）T（k）020406080100120160200240 280 320 360 400 高度大于高度大于 21km 以上时大气温度
48、随高度的变化参见下图，大气温度随高度变以上时大气温度随高度的变化参见下图，大气温度随高度变化的原因复杂，主要因素有：地表吸收太阳热量、臭氧吸热与电离放热、空气或宇化的原因复杂，主要因素有：地表吸收太阳热量、臭氧吸热与电离放热、空气或宇宙尘埃受短波辐射升温等。宙尘埃受短波辐射升温等。1.7 1.7 标准大气标准大气本讲稿第三十二页，共三十七页在如图坐标系中考虑某高度上的单位质量空气微元，在如图坐标系中考虑某高度上的单位质量空气微元，其受到的彻体力分量为其受到的彻体力分量为某个高度上的大气压强可以看作是面积为某个高度上的大气压强可以看作是面积为1米米2的一根上端无界的空气柱的重量的一根上端无界的空
49、气柱的重量压下来所造成的压下来所造成的，如图，如图代入平衡微分方程：代入平衡微分方程：根据状态方程根据状态方程 ，密度写为压强和温度，密度写为压强和温度的表达即的表达即 代入平衡微分方程得代入平衡微分方程得T 是高度是高度 y 的已知函数，的已知函数，严格说来严格说来 g 也随也随 y 有所变化，但在对流层这个范围内，有所变化，但在对流层这个范围内，其影响极小，这里就把它当作常数看了，其值为其影响极小，这里就把它当作常数看了，其值为9.80665米米/秒秒2。将。将 T 的式子代入，的式子代入，即可分离变数即可分离变数 1.7 1.7 1.7 1.7 标准大气标准大气标准大气标准大气本讲稿第三
50、十三页，共三十七页代入微分方程：代入微分方程：下标下标H代表高度为代表高度为H米处的大气参数。米处的大气参数。相应的密度比是：相应的密度比是：在对流层：在对流层：进行积分，得：进行积分，得：根据地面的标准大气参数即可得出对流层某高度根据地面的标准大气参数即可得出对流层某高度H处压强和密度分布处压强和密度分布1.7 1.7 1.7 1.7 标准大气标准大气标准大气标准大气本讲稿第三十四页，共三十七页在平流在平流层层内，即内，即11km到到20km为为止，止，代入微分方程代入微分方程 并并积积分：分：结果得：结果得：下标下标“11”代表代表H=11000米处的参数米处的参数 其他高度上的压强、密度