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1、6.1 平面四结点等参元 6.1.1 坐标变换与等参单元 随单元形状而不同的局部坐标系，称为单元的自然坐标系 实单元 母单元 第1页/共38页正方形的四个边对应于实际单元的边界，四个顶点也一一对应于四个结点；正方形内任一点 都对应于实际单元内的一个点 第2页/共38页实单元与母单元的一一对应关系可写为 第3页/共38页用结点的坐标值 插值表示出单元内的坐标 与单元分析中常用的结点位移插值一样，也可称为形状函数，称为几何形状函数。代入上式，则得 变成图(b)中相应线 两个单元的等百分线也一一对应 的直线，通过式(6-1)变换之后即是 平面上23直线 这种变换中含有乘积项 这不是一种简单的线性变换
2、关系。第4页/共38页 为形状函数矩阵，这里采用了同样的形状函数(6-2)式，用同样的结点插值表示出单元的几何坐标 与位移 这种单元称为等参单元。也可以用不同的结点，不同的形状函数分别插值单元几何坐标 和位移 有所谓超参数单元和亚参数单元，但应用较少。第5页/共38页第6页/共38页第7页/共38页第8页/共38页(3/4 3/4)第9页/共38页6.1.2 单元刚度矩阵的计算 第10页/共38页第11页/共38页 6.1.3 等参变换的条件和等参单元的收敛性 1.等参变换的条件 两个坐标之间一对一变换的条件是Jacobi行列式 不得为0 第12页/共38页从上式可见，只要以下三种情况之一成立
3、，即就将出现 0的情况，因此在笛卡儿坐标内划分单元时，要注意防止以上所列举情况的发生。(b)所示单元结点3，4退化为一个结点，在该点(c)所示单元结点2，3退化为一个结 点，在该点(d)所示单元在结点l，2，3，而在结点4，在单元内连续，所以存在=0 第13页/共38页 2等参单元的收敛性 第14页/共38页6.2 八结点曲边等参单元第15页/共38页的二次函数，所以是曲边2-6-3的方程 它是 每一条边都是一条二次曲线。如令 得第16页/共38页 6.2.2 等参单元等效结点力 1集中力 如处作用集中载荷，将代入 第17页/共38页2体积力 第18页/共38页 3表面力 第19页/共38页6
4、.3 二十结点三维等参单元 6.3.1 形状函数 第20页/共38页6.4 数值积分 在前几节的刚度矩阵和等效结点力的计算公式中，都需要作如下形式的积分运算 数值积分有两类方法，一类方法积分点是等间距，例如辛普生方法；另一类方法积分点是不等间距的，例如高斯方法。在有限单元法中，由于被积函数很复杂，一般采用高斯求积法，因为它可以用较少的积分点达到较高的精度，从而可节省机时。第21页/共38页6.4.1 一维高斯求积公式 n20.577351.0000030.774590.000000.555550.8888840.861130.339980.347850.65214举例：如取n=4 第22页/共
5、38页 积分点数目n的选取与被积函数 有关,当 m次多项式时，则取 当 不是多项式时，则需通过一些试算来判断选取适当的n值，n不能取得过大，否则计算工作急剧增加。6.4.2 二维及三维高斯求积公式 第23页/共38页第24页/共38页第25页/共38页6.4.3 等参元计算中数值积分阶次的选择 当在计算中必须进行数值积分时，如何选择数值积分的阶次将直接影响计算的精度和计算工作量。如果选择不当，甚至会导致计算的失败。选择积分阶次的原则，以一维问题刚度矩阵的积分为例：如果插值函数N中的多项式阶数为p，微分算子L中导数的阶次是m，则有限元得到的被积函数是 次多项式(对于 等参元假设 是常数时)。为保
6、证原积分的精度，应选择高斯积分的阶次，这时可以精确积分至 第26页/共38页次多项式，可以达到精确积分刚度矩阵的要求。对于二维，三维单元，则需要对被积函数值进一步的分析，例如二维4结点双线性单元，它的插值函数中包含 项，在假设单元的 是常数(单元形状为矩形或平行四边形)的情况下，刚度矩阵的被积函数中包含 项。由于被积函数在 和 方向的最高次为2，所以要达到精确积分，应采用22阶高斯积分。如果单元的 常数，则需要选取更多的积分点。第27页/共38页第28页/共38页6.4.4 二维三角形单元和三维四面体单元的Hammer积分 在三角形单元和四面体单元中，自然坐标是面积坐标和体积坐标，积分具有如下
7、形式 积分限中包含了变量自身，Hammer等导出了有效的积分方案。二维三角形单元以及三维四面体单元的积分点位置，权函数见表6-3及6-4。第29页/共38页第30页/共38页第31页/共38页6.5 应力修匀应力解的误差表现于：(1)单元内部不满足平衡方程；(2)单元与单元的交界面上应力一般不连续；(3)在力的边界上一般也不满足力的边界条件。介绍几种应力解的处理和改善方法，其中有一些是简单易行而又行之有效的，在实际计算中经常采用；有些则伴随有相当大的计算工作量，必要时才采用。第32页/共38页6.5.1 单元平均或结点平均 最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕结点各单元应力的平均值。1
8、取相邻单元应力的平均值 平均应力 (单元(1)应力十单元(2)应力)平均应力 2取围绕结点各单元应力的平均值第33页/共38页6.5.2 总体应力磨平 用位移元解得的应力场在全域是不连续的，我们可以用总体应力磨平的方法来改进计算结果，得到在全域连续的应力场。总体磨平应力方法就是构造一个改进的应力解 ，此改进解在全域是连续的。改进解 与有限单元法求得的应力解 应满足加权最小二乘的原则。第34页/共38页 6.5.3 单元应力磨平 应力总体磨平方法的主要缺点是计算工作量十分庞大。为了减少改进应力结果的工作量，当单元足够小时，磨平可以在各个单元内进行。对于利用数值积分的曲边单元，经验表明在积分点上算得的应力具有最好的精度，而在结点上算得的应力的精度最差。这是因为形状函数的精度在靠近插值区域的边缘时通常都是较差的。所以形函数的导数和应力在单元内部的精度将优于单元的边界。工程上感兴趣的是边缘和结点上的应力：为了克服边缘和结点上应力不连续和精度较差等缺点，比较实用的办法是在每个单元内用最小二乘方法修匀，而在结点上取有关单元应力的平均值。第35页/共38页第36页/共38页结结 束束第37页/共38页感谢您的观看。第38页/共38页