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1、会计学1有限元法课件有限元法课件课程介绍课程介绍n n一、课程内容：n n 1、有限元法理论基础；n n 2、有限元软件ANSYS应用。n n二、学习方法：n n 理论与实践相结合，即通过应用有限元分析n n 实际问题来掌握有限元理论。n n三、学时数：36学时（理论学时+上机学时）n n四、考核方式：平时成绩+报告成绩工程有限单元法工程有限单元法第1页/共109页第一章第一章 概述概述n n1.1 1.1 有限元法概述有限元法概述 n n 有限元法诞生于20世纪中叶，随着计算机技术和计算方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最为有效的方法，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题。工程
2、有限单元法工程有限单元法第2页/共109页一、什么是有限元法？一、什么是有限元法？一、什么是有限元法？一、什么是有限元法？n n 有限元法是将连续体理有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，想化为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相这些单元仅在有限个节点上相连接，即用有限个单元的集合连接，即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度来代替原来具有无限个自由度的连续体。的连续体。工程有限单元法工程有限单元法第3页/共109页有限元方法是分析连续体的一种很有效的近似计算方法。是计算机问世以后迅速发展起来的一种广泛用于工程结构建模与分析的方法。说明工程实际问题与计算方法说明工程实际
3、问题与计算方法息息相关。息息相关。自然现象的背后都对应有相关的物理本质与事物规律，用数学方法对物理本质与事物规律进行描述可以得到普适性定律和特定性定理，以及各种形式的（如代数、微分或积分）数学方程，即数学模型。工程有限单元法工程有限单元法第4页/共109页对于一个实际的工程问题，建立数学模型时，不仅需要根据实际物理背景采用有效的数学方法，还要考虑求解的效率、结果的精度以及方法的适用性等因素，即分析方法。常用的分析方法有：1.对线性的、边界规则的简单问题，一般可以利用解析法，得到精确解。2.对于许多实际工程问题，由于研究系统的庞大，使得微分方程、边界和初始条件的复杂性大大增加，一般难以得到它的精
4、确解。对非线性的、边界不规则等问题，一般不存在精确的解析解，只能利用数值法（如，有限差分法FDM、有限元方法FEM等）得到近似解。工程有限单元法工程有限单元法第5页/共109页有限元方法的发展有限元方法的发展n n首先，有限元方法在航空结构分析中取得了明显的成效首先，有限元方法在航空结构分析中取得了明显的成效首先，有限元方法在航空结构分析中取得了明显的成效首先，有限元方法在航空结构分析中取得了明显的成效 1941 1941年，年，Hrenikoff Hrenikoff 利用框架分析法（利用框架分析法（framework framework method method）分析平面弹性体，将平面弹性
5、体描述为杆和梁）分析平面弹性体，将平面弹性体描述为杆和梁 的组合体；的组合体；1943 1943年年,Courant,Courant 在采用三角形单元及最小势能原理研在采用三角形单元及最小势能原理研 究扭转究扭转问题时，利用分片连续函数在子域问题时，利用分片连续函数在子域中近似中近似描述未知描述未知函数函数n n此后，有限元方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、此后，有限元方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、此后，有限元方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、此后，有限元方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、流固耦合（水弹性）问题流固耦合（水弹性）问题流固耦合（水弹性）
6、问题流固耦合（水弹性）问题，均均均均有发展有发展有发展有发展。工程有限单元法工程有限单元法第6页/共109页 现如今，有限元法广泛应用于航空航天、汽车工业、桥现如今，有限元法广泛应用于航空航天、汽车工业、桥现如今，有限元法广泛应用于航空航天、汽车工业、桥现如今，有限元法广泛应用于航空航天、汽车工业、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、生物医梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、生物医梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、生物医梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、生物医学等设计过程中的结构与力学分析。学等设计过程中的结构与力学分析。学等设计过程中的结构与力学分析。学等设计过
7、程中的结构与力学分析。实例1(EMA-火箭发动机,卫星,雷达)工程有限单元法工程有限单元法第7页/共109页实例实例2 2(汽车汽车,工程机械工程机械)工程有限单元法工程有限单元法第8页/共109页工程有限单元法工程有限单元法第9页/共109页工程有限单元法工程有限单元法第10页/共109页二、有限元法的基本思想二、有限元法的基本思想二、有限元法的基本思想二、有限元法的基本思想n n有限元法的基本思想是：“分与合”。n n n n“分”是为了划分单元，进行单元分析；n n“合”则是为了集合单元，对整体结构进行综合分析。n n结构离散结构离散-单元分析单元分析-整体求解整体求解工程有限单元法工程
8、有限单元法第11页/共109页n n2.12.1有限元法的实现过程有限元法的实现过程工程有限单元法工程有限单元法第12页/共109页(1)(1)对象象离散化离散化 当当研研究究对对象象为为连连续续介介质质问问题题时时，首首先先需需要要将将所所研研究究的的对对象象进进行行合合理理的的离离散散化化分分割割，即即根根据据精精度度预预期期或或经经验验将将连连续续问问题进题进行有限元分割。行有限元分割。(2 2)单元分析元分析 有有限限元元方方法法的的核核心心工工作作是是单单元元分分析析，通通过过分分析析各各单单元元的的结结点点力力与与结结点点位位移移之之间间的的关关系系和和边边界界条条件件，以以便便建
9、建立立单单元元刚刚度矩度矩阵阵。(3 3)构造构造总体方程体方程 将将单单元元刚刚度度矩矩阵阵组组成成总总体体方方程程刚刚度度矩矩阵阵，且且总总体体方方程程应应满满足足相相邻邻单单元元在在公公共共结结点点上上的的位位移移协协调调条条件件，即即整整个个结结构构的的所有所有结结点点载载荷与荷与结结点位移之点位移之间应间应存在相互的存在相互的变变量关系。量关系。工程有限单元法工程有限单元法第13页/共109页4 4.解总体方程解总体方程n n 在求解有限元模型时，应考虑总体刚度方程中引入的边界条件，以便得到符合实际情况的唯一解。5.5.输出结果输出结果n n 有限元模型求解结束后，可通过数值解序列或
10、由其构成的图形显示研究对象的物理结构变形情况以及各种物理量间的变化关系，如通过列表显示各种数据信息，用等值线分布图显示等受力点，或动画显示各种量的变化过程。工程有限单元法工程有限单元法第14页/共109页1)1)直接方法直接方法n n 直接直接方法是指直接从结构力学引伸得到。直接方法方法是指直接从结构力学引伸得到。直接方法具有简单、物理意义明确、易于理解等特点具有简单、物理意义明确、易于理解等特点。2)2)变分方法变分方法n n 变分方法是一种最常用的方法之一，主要用于线性变分方法是一种最常用的方法之一，主要用于线性问题的模型建立。问题的模型建立。n n3)3)加权残值法加权残值法n n 对于
11、线性自共轭形式方程，加权残值法可得到和变对于线性自共轭形式方程，加权残值法可得到和变分法相同的结果，如得到一个对称的刚度矩阵。对于那些分法相同的结果，如得到一个对称的刚度矩阵。对于那些“能量泛函能量泛函”不存在的问题（主要是一些非线性问题和依不存在的问题（主要是一些非线性问题和依赖于时间的问题）加权残值法是一种很有效的方法。赖于时间的问题）加权残值法是一种很有效的方法。2.2 2.2 建立有限元方程的常用方法建立有限元方程的常用方法工程有限单元法工程有限单元法第15页/共109页n n通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界通常，实际
12、工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界规则与不规则问题。规则与不规则问题。规则与不规则问题。规则与不规则问题。有限元法其实是非线性问题，有限元法其实是非线性问题，如图如图右右所所示。示。2.3 2.3 有限元法与工程求解问题的关系有限元法与工程求解问题的关系工程有限单元法工程有限单元法第16页/共109页三、有限元法的基本步骤三、有限元法的基本步骤三、有限元法的基本步骤三、有限元法的基本步骤n n 无论对于什么样的结构，有限元分析过程都是类似的。其基本步骤为：n n （1）研究分析结构的特点，包括结构形状与边界、载荷工况等；n n （2）将连
13、续体划分成有限单元，形成计算模型，包括确定单元类型与边界条件、材料特性等；工程有限单元法工程有限单元法第17页/共109页n n（3）以单元节点位移作为未知量，选择适当的位移函数来表示单元中的位移，再用位移函数求单元中的应变，根据材料的物理关系，把单元中的应力也用位移函数表示出来，最后将作用在单元上的载荷转化成作用在单元上的等效节点力，建立单元等效节点力和节点位移的关系。这一过程就是单元特性分析。工程有限单元法工程有限单元法第18页/共109页n n（4 4）利用结构力的平衡条件）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，集合成的结构重新连接起
14、来，集合成整体的有限元方程，求解出节整体的有限元方程，求解出节点位移。点位移。n n重点：对于不同的结构，要采重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但各种单元的用不同的单元，但各种单元的分析方法又是一致的。分析方法又是一致的。工程有限单元法工程有限单元法第19页/共109页四、有限元法的学习路线四、有限元法的学习路线四、有限元法的学习路线四、有限元法的学习路线n n 从最简单的平面结构入手，由浅入深，介绍有限元理论及其相关应用。n n 工程有限单元法工程有限单元法第20页/共109页五、有限元法的发展与应用五、有限元法的发展与应用五、有限元法的发展与应用五、有限元法的发展与应用n n 有限元
15、法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。工程有限单元法工程有限单元法第21页/共109页（一）算法与有限元软件（一）算法与有限元软件（一）算法与有限元软件（一）算法与有限元软件n n 从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。n n 理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：n n 大型线性方程组的解法，n n 非线性问题的解法。工程有限单元法工程有限单元法第22页/共109页目前应用较多的通用有限元软件如下
16、表：目前应用较多的通用有限元软件如下表：目前应用较多的通用有限元软件如下表：目前应用较多的通用有限元软件如下表：软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件 另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。工程有限单元法工程有限单元法第23页/共109页（二）应用实例（二）应用实例（二）应用实例（二）应用实例n n有限元法已经成功地应用在以下一些领
17、域：n n 固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；n n 传热学；n n 电磁场；n n 流体力学。工程有限单元法工程有限单元法第24页/共109页转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车工程研究院动，用转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车工程研究院动，用转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车工程研究院动，用转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车工程研究院动，用MSC/NastranMSC/NastranMSC/NastranMSC/Nastran完成）完成）完成）完成）工程有限单元法工程有限单元法第25页/共109页基于基于基于基于ANSYSANSYSANSYSANSYS
18、的齿轮啮合仿真的齿轮啮合仿真的齿轮啮合仿真的齿轮啮合仿真 工程有限单元法工程有限单元法第26页/共109页n n第第2 2章章 弹性力学基本方程及平弹性力学基本方程及平面问题的有限元法面问题的有限元法工程有限单元法工程有限单元法第27页/共109页2.1 2.1 2.1 2.1 弹性力学简介弹性力学简介弹性力学简介弹性力学简介n n 本课程中的有限单元法理论要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。工程有限单元法工程有限单元法第28页/共109页弹性力学弹性力学弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系区别与联系区别与联系 材料力学材料力学
19、材料力学材料力学n n1 1、研究的内容：研究的内容：研究的内容：研究的内容：基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。n n 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。n n2 2、研究的对象：研究的对象：研究的对象：研究的对象：有相同也有区别。有相同也有区别。有相同也有区别。有相同也有区别。n n 材料
20、力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于
21、第三个尺板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。寸，或三个尺寸相当的构件。寸，或三个尺寸相当的构件。寸，或三个尺寸相当的构件。工程有限单元法工程有限单元法第29页/共109页弹性力学弹性力学弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系区别与联系区别与联系 材料力学材料力学材料力学材料力学n n3、研究的方法：研究的方法：有较大的区有较大的区别。别。n n 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是
22、在建立这三方面条件时，采用了不同的分研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出况的假设。这
23、样虽然大大简化了数学推演，但是得出况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也引用那些假设，
24、分析的方法比较严密，得出的结论也引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。工程有限单元法工程有限单元法第30页/共109页弹性力学弹性力学弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系区别与联系区别与联系 材料力学材料力学材料力学材料力
25、学例如，材料力学在研究有孔的拉伸构件通常就假定拉应力在净截断面均匀分布。工程有限单元法工程有限单元法第31页/共109页弹性力学弹性力学弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系区别与联系区别与联系 材料力学材料力学材料力学材料力学n n 总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。n n 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假
26、定。工程有限单元法工程有限单元法第32页/共109页弹性力学基本方程弹性力学基本方程弹性力学基本方程弹性力学基本方程n n 一、弹性力学中的几个基本概念：1、体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。2、面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。工程有限单元法工程有限单元法第33页/共109页 3 3 3 3、内力、平均应力和应力内力、平均应力和应力内力、平均应力和应力内力、平均应力和应力 （1 1 1 1）内力（）内力（）
27、内力（）内力（Internal forcesInternal forcesInternal forcesInternal forces）：是物体本身不同部分之）：是物体本身不同部分之）：是物体本身不同部分之）：是物体本身不同部分之间相互作用的力；间相互作用的力；间相互作用的力；间相互作用的力；（2 2 2 2）平均应力（）平均应力（）平均应力（）平均应力（the average stress the average stress the average stress the average stress）：设作用在包）：设作用在包）：设作用在包）：设作用在包含含含含P P P P点某一个截面点
28、某一个截面点某一个截面点某一个截面mnmnmnmn上上上上的单元面积（的单元面积（的单元面积（的单元面积（elementary area elementary area elementary area elementary area）A A A A 上的力为上的力为上的力为上的力为FFFF ，则，则，则，则F/F/F/F/A A A A 称为称为称为称为A A A A 上的平均应力；上的平均应力；上的平均应力；上的平均应力；（3 3 3 3）应力：如果假设内力分布连续，命）应力：如果假设内力分布连续，命）应力：如果假设内力分布连续，命）应力：如果假设内力分布连续，命 A A A A无无无无 限
29、减小并限减小并限减小并限减小并趋向趋向趋向趋向P P P P点点点点,则则则则F/F/F/F/A A A A 将趋向一个极限将趋向一个极限将趋向一个极限将趋向一个极限 p p p p:这个极限这个极限这个极限这个极限P P P P就叫做物体在截面就叫做物体在截面就叫做物体在截面就叫做物体在截面mnmnmnmn上，在上，在上，在上，在P P P P点的应力。点的应力。点的应力。点的应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。工程有限单元法工程有限单元法第34页/共109页 内力、平均应力和应力的概内力、平均应力和应力的概念念工程有限单元法工程有限单元法第35页/共109页n n4.4.正应力和切应
30、力的概念正应力和切应力的概念 正应力：应力在作用截面法线方向的分量；正应力：应力在作用截面法线方向的分量；切应力：应力在作用截面切线方向的分量。切应力：应力在作用截面切线方向的分量。正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度分别为分别为d dx,x,x,x,dy,dy,dy,dy,dz.dz.dz.dz.正平行六面体应力如图所示正平行六面体应力如图所示.工程有限单元法工程有限单元法第36页/共109页n n(1)应力的表示n n 正应力用表示.它的下标表示作用方
31、向.如x 表示正应力沿着 x 方向;剪应力用 表示,它有两个下标,例如xy 表示剪应力作用在垂直 x轴的平面上,但沿着 y方向.n n(2)应力的符号n n 如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向，这个面就称为正面，这个面上的应力就以沿着坐标轴的正方向为正；沿着坐标轴的负方向为负。工程有限单元法工程有限单元法第37页/共109页 这个应力符号的规定与材料力学的不同这个应力符号的规定与材料力学的不同,在材料在材料力学中力学中:正应力的符号为拉为正正应力的符号为拉为正,压为负压为负;而剪应力而剪应力为正面向下的为正为正面向下的为正;负面向上为正负面向上为正.或用右手法则确或用右手法则确定定:右手姆
32、指沿面的外法线时右手姆指沿面的外法线时,其余四个手指反时针为其余四个手指反时针为正正,顺时针为负顺时针为负.材料力学中正的剪应力弹性力学中正的剪应力工程有限单元法工程有限单元法第38页/共109页n n剪应力互等定律剪应力互等定律 n n 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。线的剪应力是互等的。线的剪应力是互等的。线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同大小相等，正负号也相同大小相等，正负号也相同大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两
33、个角码可以对调。因此剪应力记号的两个角码可以对调。因此剪应力记号的两个角码可以对调。因此剪应力记号的两个角码可以对调。工程有限单元法工程有限单元法第39页/共109页n n可可可可以以以以证证证证明明明明:如如如如果果果果 这这这这六六六六个个个个量量量量在在在在P P P P点点点点是是是是已已已已知知知知的的的的，就就就就可可可可以以以以求求求求得得得得经经经经过过过过该该该该点点点点的的的的任任任任何何何何面面面面上上上上的的的的正正正正应应应应力力力力和和和和剪剪剪剪应应应应力力力力，因因因因此此此此，这这这这六六六六个个个个量量量量可可可可以以以以完完完完全全全全确确确确定定定定该该
34、该该点的应力状态，它们就称为在该点的点的应力状态，它们就称为在该点的点的应力状态，它们就称为在该点的点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量应力分量应力分量应力分量。n n 一一一一般般般般说说说说来来来来，弹弹弹弹性性性性体体体体内内内内各各各各点点点点的的的的应应应应力力力力状状状状态态态态都都都都不不不不相相相相同同同同，因因因因此此此此，描描描描述述述述弹弹弹弹性性性性体体体体内内内内应应应应力力力力状状状状态态态态的的的的上上上上述述述述六六六六个个个个应应应应力力力力分分分分量量量量并并并并不是常量，而是坐标不是常量，而是坐标不是常量，而是坐标不是常量，而是坐标x x x x、y
35、y y y、z z z z的函数。的函数。的函数。的函数。n n六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：来表示：来表示：来表示：工程有限单元法工程有限单元法第40页/共109页n n5 5 5 5、形变和正应变、剪应变的概念、形变和正应变、剪应变的概念、形变和正应变、剪应变的概念、形变和正应变、剪应变的概念n n （1）形变:n n 形状的改变，它包含长度和角度的改变。n n （2）正应变：各线段单位长度的伸缩。以伸长为正；缩短为负。n n （3）剪应变：n n 各线段之间的直角的
36、改变。6、位移 是指位置的移动.它在 x,y 和 z 轴上的投影用 u,v 和 w,来表示。它的符号是沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。工程有限单元法工程有限单元法第41页/共109页二、弹性力学中关于材二、弹性力学中关于材料性质的基本假定料性质的基本假定n n(1)(1)(1)(1)连续性连续性连续性连续性:假定物体是连续假定物体是连续.即整个物体的体积都即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满被组成这个物体的介质所填满,不留任何空隙不留任何空隙.这样这样,物体内的物理量物体内的物理量,例如应力形变和应变例如应力形变和应变,才可能是连才可能是连续的续的,才可以用连续函数来表示才可以用连
37、续函数来表示;n n(2)(2)完全弹性完全弹性完全弹性完全弹性:假定物体是完全弹性的假定物体是完全弹性的.所谓弹性所谓弹性,是指物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的是指物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的性质性质.而完全弹性是指物体能完全恢复原形而没有任而完全弹性是指物体能完全恢复原形而没有任何剩余变形何剩余变形.n n(3)(3)均匀性均匀性均匀性均匀性:假定物体是均匀的假定物体是均匀的,整个物体由同一材整个物体由同一材料组成料组成.n n(4)(4)各向同性各向同性各向同性各向同性:假定物体是各向同性的假定物体是各向同性的,即物体的弹即物体的弹性性质在所有各个方向都相同性性质
38、在所有各个方向都相同.n n 符合以上四个假定的物体符合以上四个假定的物体,称为称为理想弹性体理想弹性体理想弹性体理想弹性体.工程有限单元法工程有限单元法第42页/共109页n n(5)(5)小变形假定小变形假定小变形假定小变形假定:假定物体的位移和形变是微小的假定物体的位移和形变是微小的.即物体的位移远小于物体原来的尺寸即物体的位移远小于物体原来的尺寸,而且应变和转而且应变和转角都远小于角都远小于1.1.n n 因此因此,本课程所讨论的问题本课程所讨论的问题,都是都是理想弹性体的小理想弹性体的小理想弹性体的小理想弹性体的小变形问题变形问题变形问题变形问题.工程有限单元法工程有限单元法第43页
39、/共109页三、三、弹性力学的研究方弹性力学的研究方法法n n 在弹性体内部,考虑静力学,几何学和物理学三方面条件,分别建立三套基本方程.n n 此外,在弹性体的边界上,建立边界条件.位移边界条件边界条件应力边界条件工程有限单元法工程有限单元法第44页/共109页弹性力学的基本变量弹性力学的基本变量工程有限单元法工程有限单元法第45页/共109页弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程-平衡方程平衡方程由物体的受力平衡条件建立的方程：工程有限单元法工程有限单元法第46页/共109页弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程-几何方程几何方程由物体的受力变形后，各应变分量和位移分量的关系建立的方程：工程有
40、限单元法工程有限单元法第47页/共109页弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程-物理方程物理方程由物体材料本身的物理特性建立的方程，其中E-弹性模量；-泊松比；G-剪切弹性模量。且对各向同性材料，工程有限单元法工程有限单元法第48页/共109页在限元法中，物理方程可表示为：在限元法中，物理方程可表示为：在限元法中，物理方程可表示为：在限元法中，物理方程可表示为：工程有限单元法工程有限单元法第49页/共109页弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程-边界条件边界条件工程有限单元法工程有限单元法第50页/共109页四、弹性力学问题的解法四、弹性力学问题的解法n n空间弹性力学问题共有15个方程，3个
41、平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力分量 ，6个应变分量 ，3个位移分量 ，共有15个未知函数，在给定边界条件时，问题是可解的。n n弹性力学问题的提法是，给定作用在物理全部边界或内部的作用，求解物理由此产生的应力场和位移场。工程有限单元法工程有限单元法第51页/共109页n n 按照三种不同的边界条件，弹性力学问题可分为应力边界条件问题、位移边界问题和混合边界。n n 由于有限元模型是对实际结构的反映，对有限元模型施加合适的载荷条件和边界条件，是正确求解有限元解的关键。工程有限单元法工程有限单元法第52页/共109页根据先求出的基本未知量的不同，弹性力学问题根据先求出的基本
42、未知量的不同，弹性力学问题根据先求出的基本未知量的不同，弹性力学问题根据先求出的基本未知量的不同，弹性力学问题有三种方法：有三种方法：有三种方法：有三种方法：n n（1 1）应力法应力法：以应力分量作为基本未知量，此时将：以应力分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。求得应一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。求得应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求出位移分量。出位移分量。n n（2 2）位移法位移法：以位移分量作为基本未知量，此时将：以位移分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。求
43、得位一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。求得位移分量后，用几何方程求应变分量，再由物理方程求移分量后，用几何方程求应变分量，再由物理方程求应力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。应力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。n n（3 3）混合法混合法：采用各点的一部分位移分量和一部分：采用各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。应力分量作为基本未知量，混合求解。工程有限单元法工程有限单元法第53页/共109页五、五、虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图图图图1-8a1-8a1-8a1-8a示示示示一一一一平平平平衡衡衡衡的的的的杠杠杠杠杆杆杆杆，对对对对C
44、C C C点点点点写写写写力矩平衡方程：力矩平衡方程：力矩平衡方程：力矩平衡方程：图图图图1-8b1-8b1-8b1-8b表表表表示示示示杠杠杠杠杆杆杆杆绕绕绕绕支支支支点点点点C C C C转转转转动动动动时时时时的的的的刚体位移图：刚体位移图：刚体位移图：刚体位移图：综合可得：综合可得：综合可得：综合可得：即：即：即：即：上上上上式式式式是是是是以以以以功功功功的的的的形形形形式式式式表表表表述述述述的的的的。表表表表明明明明：图图图图a a a a的的的的平平平平衡衡衡衡力力力力系系系系在在在在图图图图b b b b的的的的位位位位移移移移上上上上作作作作功功功功时时时时，功功功功的的的
45、的总总总总和和和和必必必必须须须须等等等等于于于于零零零零。这这这这就就就就叫叫叫叫做虚功原理。做虚功原理。做虚功原理。做虚功原理。第54页/共109页虚功原理虚功原理n n 进进进进一一一一步步步步分分分分析析析析。当当当当杠杠杠杠杆杆杆杆处处处处于于于于平平平平衡衡衡衡状状状状态态态态时时时时，和和和和 这这这这两两两两个个个个位位位位移移移移是是是是不不不不存存存存在在在在的的的的，但但但但是是是是如如如如果果果果某某某某种种种种原原原原因因因因，例例例例如如如如人人人人为为为为地地地地振振振振一一一一下下下下让让让让它它它它倾倾倾倾斜斜斜斜，一定满足上式的关系。一定满足上式的关系。一定
46、满足上式的关系。一定满足上式的关系。n n 将将将将这这这这个个个个客客客客观观观观存存存存在在在在的的的的关关关关系系系系抽抽抽抽象象象象成成成成一一一一个个个个普普普普遍遍遍遍的的的的原原原原理理理理，去去去去指指指指导导导导分分分分析和计算结构。析和计算结构。析和计算结构。析和计算结构。n n 对对对对于于于于在在在在力力力力的的的的作作作作用用用用下下下下处处处处于于于于平平平平衡衡衡衡状状状状态态态态的的的的任任任任何何何何物物物物体体体体，不不不不用用用用考考考考虑虑虑虑它它它它是是是是否否否否真真真真正正正正发发发发生生生生了了了了位位位位移移移移，而而而而假假假假想想想想它它它
47、它发发发发生生生生了了了了位位位位移移移移，(由由由由于于于于是是是是假假假假想想想想，故故故故称称称称为为为为虚虚虚虚位位位位移移移移)，那那那那么么么么，物物物物体体体体上上上上所所所所有有有有的的的的力力力力在在在在这这这这个个个个虚虚虚虚位位位位移移移移上上上上的的的的总总总总功功功功必必必必定定定定等等等等于于于于零零零零。这这这这就就就就叫叫叫叫做做做做虚虚虚虚位位位位移移移移原原原原理理理理，也也也也称称称称虚虚虚虚功功功功原原原原理理理理。在在在在图图图图1-8a1-8a1-8a1-8a中中中中的的的的 和和和和 所所所所作作作作的的的的功功功功就就就就不不不不是是是是发发发发
48、生生生生在在在在它它它它本本本本身身身身(状状状状态态态态a)a)a)a)的的的的位位位位移移移移上上上上，(因因因因为为为为它它它它本本本本身身身身是是是是平平平平衡衡衡衡的的的的，不不不不存存存存在在在在位位位位移移移移)，而而而而是是是是在在在在状状状状态态态态(b)(b)(b)(b)的的的的位位位位移移移移上上上上作作作作的的的的功功功功。可可可可见见见见，这这这这个个个个位移对于状态位移对于状态位移对于状态位移对于状态(a)(a)(a)(a)来说就是虚位移，亦即是状态来说就是虚位移，亦即是状态来说就是虚位移，亦即是状态来说就是虚位移，亦即是状态(a)(a)(a)(a)假象的位移。假象
49、的位移。假象的位移。假象的位移。工程有限单元法工程有限单元法第55页/共109页虚功原理虚功原理n n 必必必必须须须须指指指指出出出出，虚虚虚虚功功功功原原原原理理理理的的的的应应应应用用用用范范范范围围围围是是是是有有有有条条条条件件件件的的的的，它它它它所所所所涉涉涉涉及及及及到到到到的的的的两两两两个个个个方方方方面面面面，力力力力和和和和位位位位移移移移并并并并不不不不是是是是随随随随意意意意的的的的。对对对对于于于于力力力力来来来来讲讲讲讲，它它它它必必必必须须须须是是是是在在在在位位位位移移移移过过过过程程程程中中中中处处处处于于于于平平平平衡衡衡衡的的的的力力力力系系系系；对对
50、对对于于于于位位位位移移移移来来来来讲讲讲讲，虽虽虽虽然然然然是是是是虚虚虚虚位位位位移移移移，但但但但并并并并不不不不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。n n 还还还还要要要要注注注注意意意意，当当当当位位位位移移移移是是是是在在在在某某某某个个个个约约约约束束束束条条条条件件件件下下下下发发发发生生生生时时时时，则则则则在在在在该该该该约约约约束束束束力力力力方方方方向向向向的的的的位位